中考数学压轴题之三角形存在性问题

中考数学压轴题之三角形存在性问题

中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性 题型特点 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．‎ 解题思路 ‎①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；‎ ‎②分类讨论，画图；‎ ‎③建等式，对结果验证取舍．‎ 对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：‎ ‎ ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．‎ ‎②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．‎ ‎③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．‎ 难点拆解 ‎①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为-1；‎ ‎②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；‎ ‎③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．‎ ‎④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．‎ 1. ‎（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。交于A，B两点． ‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．‎ ‎（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. ‎（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误！未找到引用源。与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且00)与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线过点M(2，2)，求实数m的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积．‎ ‎（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．‎ ‎（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，C，F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 1. ‎（2012福建福州）如图1，已知抛物线错误！未找到引用源。（a≠0）经过A(3，0)，B(4，4)两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．‎ ‎（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P，O，D分别与点N，O，B对应）．‎ 1. ‎（2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 1. ‎（2012浙江丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=错误！未找到引用源。．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=错误！未找到引用源。，AC与y轴交于点E.‎ ‎（1）求AC所在直线的函数解析式．‎ ‎（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积．‎ ‎（3）已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 三角形的存在性 1． ‎（1）．‎ ‎（2）C．‎ ‎（3）存在，符合条件的点M的坐标分别为 ‎．‎ 2． ‎（1）C（0，-3），b=-，c=-3．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）存在，符合条件的t值分别为t1=-1，t2=，t3=．‎ 3． ‎（1）．‎ ‎（2）△ANO的面积为12．‎ ‎（3）①证明略；②能，A．‎ 4． ‎（1），C（-1，4）．‎ ‎（2）存在，符合条件的点D的坐标为（0，3）或（0，1）．‎ ‎（3）P或P．‎ 5． ‎（1）．‎ ‎ （2）存在，符合条件的点Q的坐标分别为Q1、Q2、Q3、Q4．‎ ‎ （3）．‎ 1. ‎（1）m=4．‎ ‎（2）S△BCE=6．‎ ‎（3）H（1，）．‎ ‎（4）存在，m=．‎ 1. ‎（1）．‎ ‎（2），点D的坐标为（2，-2）．‎ ‎（3）点P的坐标为（，）或（，）．‎ 2. ‎（1）B（b，0），C（0，）．‎ ‎（2）存在，点P的坐标为（，）．‎ ‎（3）存在，符合条件的点Q的坐标为（1，错误！未找到引用源。）或 ‎（1，4）．‎ 3. ‎（1）．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）存在，符合条件的点P坐标为