中考数学一轮复习 数与式 整式及其运算

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中考数学一轮复习 数与式 整式及其运算

第2讲 整式及其运算 第一章 数与式 知识盘点 1 、单项式、多项式、整式的概念 2 、同类项 3 、幂的运算法则 4 、整式乘法法则与除法法则 5 、乘法公式 1 . 法则公式的逆向运用 法 则 公式既可正向运用 , 也可逆向运用.当直接 计 算有 较 大困 难时 , 考 虑 逆向运用 , 可起到化 难为 易的功效. 2 . 整式运算中的整体思想 在 进 行整式运算或求代数式 值时 , 若将注意力和着眼点放在 问题 的整体 结 构上 , 把一些 紧 密 联 系的代数式作 为 一个整体来 处 理. 借助 “ 整体思想 ” , 可以拓 宽 解 题 思路 , 收到事半功倍之效.整体思想最典型的是 应 用于乘法公式中 , 公式中的字母 a 和 b 不 仅 可以表示 单项 式 , 也可以表示多 项 式 , 如 ( x - 2 y + z )( x + 2 y - z ) = [ x - (2 y - z )][ x + (2 y - z )] = x 2 - (2 y - z ) 2 = x 2 - 4 y 2 + 4 yz - z 2 . 难点与易错点 1 . ( 2015 · 厦门 ) 已知一个单项式的系数是 2 , 次数是 3 , 则这个单项式可以是 ( ) A . - 2 xy 2 B . 3 x 2 C . 2 xy 3 D . 2 x 3 2 . ( 2015 · 黔南州 ) 下列运算正确的是 ( ) A . a · a 5 = a 5 B . a 7 ÷ a 5 = a 3 C . (2 a ) 3 = 6 a 3 D . 10 ab 3 ÷( - 5 ab ) =- 2 b 2 D D 夯实基础 C B 5 . ( 2015 · 日照 ) 观察下列各式及其展开式: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 … 请你猜想 (a + b) 10 的展开式第三项的系数是 ( ) A . 36 B . 45 C . 55 D . 66 B 点拔: ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; ( a + b ) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ; ( a + b ) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 ; ( a + b ) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 ; ( a + b ) 7 = a 7 + 7a 6 b + 21a 5 b 2 + 35a 4 b 3 + 35a 3 b 4 + 21a 2 b 5 + 7ab 6 + b 7 ; 第 8 个式子系数分别为: 1 , 8 , 28 , 56 , 70 , 56 , 28 , 8 , 1 ; 第 9 个式子系数分别为: 1 , 9 , 36 , 84 , 126 , 126 , 84 , 36 , 9 , 1 ; 第 10 个式子系数分别为: 1 , 10 , 45 , 120 , 210 , 252 , 210 , 120 , 45 , 10 , 1 , 则 ( a + b ) 10 的展开式第三项的系数为 45. 故选 B 【 例 1 】   (1)( 2015 · 连云港 ) 下列运算正确的是 ( ) A . 2 a + 3 b = 5 ab B . 5 a - 2 a = 3 a C . a 2 · a 3 = a 6 D . ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 (2) ( 2015 · 北海 ) 下列运算正确的是 ( ) A . 3 a + 4 b = 12 a B . ( ab 3 ) 2 = ab 6 C . (5 a 2 - ab ) - (4 a 2 + 2 ab ) = a 2 - 3 ab D . x 12 ÷ x 6 = x 2 (3) 计算: 3(2 xy - y ) - 2 xy = . 【 点评 】  整式的加减 , 实质 上就是合并同 类项 , 有括号的 , 先去括号 , 只要算式中没有同 类项 , 就是最后的 结 果. B C 4xy - 3y 典例探究 C D 解析:原式=- x + 2 - 12 + 15x = 14x - 10 3 解析:- 4x a y + x 2 y b =- 3x 2 y , 可知- 4x a y , x 2 y b , - 3x 2 y 是同类项 , 则 a = 2 , b = 1 , 所以 a + b = 3 【 点评 】   (1) 判断同 类项时 , 看字母和相 应 字母的指数 , 与系数无关 , 也与字母的相关位置无关 , 两个只含数字的 单项 式也是同 类项 ; ( 2) 只有同 类项 才可以合并. A D B A 【 点评 】   (1) 幂 的运算法 则 是 进 行整式乘除法的基 础 , 要熟 练 掌握 , 解 题时 要明确运算的 类 型 , 正确运用法 则 ; ( 2) 在运算的 过 程中 , 一定要注意指数、系数和符号的 处 理. D B 【 点评 】  注意多 项 式乘多 项 式的运算中要做到不 重不漏 , 应 用乘法公式 进 行 简 便 计 算 , 另外去括号 时 , 要注意符号的 变 化 , 最后把所得式子化 简 , 即合并同 类项 , 再代 值计 算. 解: ∵ 2a 2 + 3a - 6 = 0 , 即 2a 2 + 3a = 6 , ∴ 原式= 6a 2 + 3a - 4a 2 + 1 = 2a 2 + 3a + 1 = 6 + 1 = 7 【 例 5 】   (1)( 2015 · 遵义 ) 下列运算正确的是 ( ) A . 4 a - a = 3 B . 2(2 a - b ) = 4 a - b C . ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 D . ( a + 2)( a - 2) = a 2 - 4 (2) ( 2015 · 邵阳 ) 已知 a + b = 3 , ab = 2 , 则 a 2 + b 2 的值为 ( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 【 点评 】   (1) 在利用完全平方公式求 值时 , 通常用到以下几种 变 形: ① a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 - 2 ab ; ② a 2 + b 2 = ( a - b ) 2 + 2 ab ; ③ ( a + b ) 2 = ( a - b ) 2 + 4 ab ; ④ ( a - b ) 2 = ( a + b ) 2 - 4 ab . 注意公式的 变 式及整体代入的思想. (2) 算式中的局部直接使用乘法公式、 简 化运算 , 任何 时 候都要遵循先化 简 , 再求 值 的原 则. D C - 3 试题  计算 ① x 3 ·x 5 ; ② x 4 ·x 4 ; ③ (a m + 1 ) 2 ; ④ ( - 2a 2 ·b) 2 ; ⑤ (m - n) 6 ÷(n - m) 3 . 错解   ① x 3 ·x 5 = x 3 × 5 = x 15 ; ② x 4 ·x 4 = 2x 4 ; ③ (a m + 1 ) 2 = a 2m + 1 ; ④ ( - 2a 2 ·b) 2 =- 2 2 a 4 b 2 ; ⑤ (m - n) 6 ÷(n - m) 3 = (m - n) 6 - 3 = (m - n) 3 . 剖析   幂 的四种运算 ( 同底数幂相乘、 幂 的乘方、 积 的乘方、同底数 幂 相除 ) 是学 习 整式乘除的基 础 , 对幂 运算的性 质 理解不深刻 , 记忆 不牢固 , 往往会出 现这样 或那 样 的 错误.针对 具体 问题 要分清 问题 所 对应 的基本形式 , 以便合理运用法 则 , 对 符号的 处 理 , 应 特 别 引起 重 视. 正解   ① x 3 · x 5 = x 3 + 5 = x 8 ; ② x 4 · x 4 = x 4 + 4 = x 8 ; ③ ( a m + 1 ) 2 = a ( m + 1 ) × 2 = a 2m + 2 ; ④ ( - 2a 2 · b ) 2 = ( - 2 ) 2 a 4 b 2 = 4a 4 b 2 ; ⑤ ( m - n ) 6 ÷( n - m ) 3 = ( n - m ) 6 ÷( n - m ) 3 = ( n - m ) 3
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