费马点及其在中考中的应用

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费马点及其在中考中的应用

费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 ‎ ‎  费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物理学家.费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余爱好. 然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌.他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人. 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家. 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在△ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”. ‎ ‎  ‎ 二、探索费马点 ‎ ‎  1. 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,则费马点就是这个内角的顶点. ‎ 下面来验证这个结论: 如图1,对三角形内任意一点P,延长BA至点C′,使得AC′=AC,‎ 作∠C′AP′=∠CAP,并且使得AP′=AP. 即把△APC以A为中心做旋转变换. ‎ ‎  则△APC≌△AP′C′, ‎ ‎  ∵∠BAC≥120°,∴∠PAP′≤60°. ‎ ‎  ∴在等腰三角形PAP′中,AP≥PP′, ‎ ‎∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC.‎ 所以A是费马点. ‎ ‎     ‎ ‎             图1                                     图2‎ ‎2. 如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 ‎120°的点. ‎ 如图2,以B点为中心,将△APB旋转60°到△A′BP′. 因为旋转60°,且PB=P′B,所以△P′PB为正三角形. ‎ ‎  因此,PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC. ‎ ‎  由此可知当A′,P′,P,C四点共线时,PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小. ‎ ‎  当A′,P′,P共线时,∵∠BP′P=60°,∴∠A′P′B=∠APB=120°. ‎ ‎  同理,若P′,P,C共线时,则∵∠BPP′=60°, ∴∠BPC=120°. ‎ 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点. ‎ ‎ ‎ ‎  三、费马点的简单应用 ‎ ‎  近几年,在全国各地的中考中,时常可以看见费马点的影子. ‎ 例1(2009浙江湖州--25) ‎ 若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点. ‎ ‎(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,‎ 则PB的值为________; ‎ ‎(2)如图3,在锐角△ABC外侧作等边△ACB,连结BB′.‎ 求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC. ‎ ‎ ‎ ‎  解:(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°,∴∠PBA=∠PCB. ‎ ‎  又∠APB=∠BPC=120°, ‎ ‎∴△PBA∽△PCB,则PB2=PA×PC=12,   即PB=2‎ ‎. ‎ ‎(2)证明:在BB′上取点P,使∠BPC=120°,连结AP,再在PB′上 截取PE=PC,连结CE. ‎ ‎  ∵PC=CE,AC=CB′,∠PCA=∠ECB′, ‎ ‎  ∴△ACP≌△B′CE. ‎ ‎  ∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′. ‎ ‎  ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°, ‎ ‎  ∴P为△ABC的费马点,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC. ‎ ‎ ‎ 例2 (2009北京) 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0), ‎ ‎  C(0,4),延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB,交BC的延长线于点E. ‎ ‎  (1)求D点的坐标; ‎ ‎  (2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF,EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,试确定此直线的解析式; ‎ ‎  (3)设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明) ‎ ‎ ‎ ‎【析】本题第三问要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明.如果不知原理,比较难找,用常规数学的方法,会涉及到一元二次方程的判别式的问题,并不容易想到.而用费马点的知识就能轻松找出这个G点. ‎ 由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0,6),所以,本题第三问便可以转化为:AO⊥OM于点O,AO=6,MO=6,G点从M出发,向O点运动到达G点后,再沿GA到达A点.若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置.‎ ‎(如图5,G点按照上述要求到达A点所用的时间为t) ‎ 解法一: 方程解法 ‎ ‎  设GO=x,则MG=6-x,AG=, ‎ ‎  则t=, ‎ ‎  移项平方得:3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0, ‎ ‎  ∵方程有解, ‎ ‎  Δ=(12-4t)2-12(36+24t-4t2)≥0  解得t≥6, ‎ ‎  将t=6代回方程,求出x=2时,t最小. ‎ ‎ ‎ 解法二:费马点解法 ‎ ‎  如图6,要使MG+AG最小,即使MG+2AG最小. ‎ ‎  作A关于MO的对称点A', ‎ ‎  则MG+2AG=MG+AG+A'G, ‎ 即MG+AG+A'G最小.故G为△AA'M的费尔马点.作∠GAO=30°,交MO于G点,则∠AGM=∠A'GM=∠AG A'=120°,故G点为所求. OG=2. ‎ ‎  由此利用费马点的解法可以看出: ‎ 当动点G在OM上的运动速度是在AG上的2倍的时候,动点的位置与MO的长度无关,与AO的长度有关,GO长是AO长的倍.‎ ‎2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单!(仅供参考)‎ 其中为与轴的交点,由前两个问题容易得知为等边三角形, 为轴上的任意一点,作,,∴,故速度为走完所用的时间等于速度为走完所用的时间,即,故以速度走完和以走完的时间和,其实就是以速度走完路程,由速度一定,路程最短,时间最少!再由垂线段最短,最短路程就是,此时点就是点。求该点坐标就不难了!‎
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