牡丹江市2013年中考数学卷

牡丹江市2013年中考数学卷

黑龙江省牡丹江市2013年中考数学试卷（市区卷） ‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎ 平行四边形 B．‎ ‎ 圆 C．‎ ‎ 正五边形 D．‎ ‎ 等腰三角形 ‎　‎ ‎2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≠0‎ B．‎ x＞2‎ C．‎ x≥2‎ D．‎ x≠2‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6x2+3x=9x3‎ B．‎ ‎6x2•3x=18x2‎ C．‎ ‎（﹣6x2）3=﹣36x6‎ D．‎ ‎6x2÷3x=2x ‎　‎ ‎4．（3分）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ ‎　‎ ‎5．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜2‎ B．‎ x＞﹣3‎ C．‎ ‎﹣3＜x＜1‎ D．‎ x＜﹣3或x＞1‎ ‎　‎ ‎7．（3分）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎10或4‎ D．‎ ‎10或2‎ ‎　‎ ‎8．（3分）若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ ‎　‎ ‎9．（3分）若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎1‎ ‎　‎ 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎11．（3分）2012年我国的国内生产总值达到519000亿元，请将519000用科学记数法表示，记为　5.19×105　．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　AC=BD　（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为　0.4a　元．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是　4　．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，则这个圆的半径是　2　．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是　3n+4　．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值是　﹣2或6　．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为　6　．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　﹣2　．‎ ‎　‎ ‎20．（3分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为　（﹣5，7）或（5，﹣7）　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分60分）‎ ‎21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x=﹣4．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．‎ 注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE为等腰三角形，且点E不在边BC所在的直线上，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（必选且只选一类节目），将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人．‎ 请根据所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次抽取的学生人数．‎ ‎（2）补全条形图，在扇形统计图中的横线上填上正确的数值，并直接写出“体育”对应的扇形圆心角的度数．‎ ‎（3）该校有3000名学生，求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人？‎ ‎　‎ ‎25．（8分）快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．‎ 请结合图象信息解答下列问题：‎ ‎（1）快、慢两车的速度各是多少？‎ ‎（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？‎ ‎（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．‎ ‎（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．‎ ‎（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．‎ ‎（3）若AC=6，DE=4，则DF=　2或10　．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：‎ 甲种图书 乙种图书 进价（元/本）‎ ‎16‎ ‎28‎ 售价（元/本）‎ ‎26‎ ‎40‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）有哪几种进书方案？‎ ‎（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．‎ ‎（1）求点A，B的坐标．‎ ‎（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 黑龙江省牡丹江市2013年中考数学试卷（市区卷） ‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．B　‎ ‎2．D　‎ ‎3．D　‎ ‎4．C　‎ ‎5．B　‎ ‎6．C　‎ ‎7．D　‎ ‎8．B　‎ ‎9．C　‎ ‎10．B ‎　‎ 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎11． 5.19×105‎ ‎　‎ ‎12． AC=BD ‎　‎ ‎13． 0.4a ‎　‎ ‎14． 4‎ ‎　‎ ‎15． 2‎ ‎　‎ ‎16． 3n+4‎ ‎　‎ ‎17．﹣2或6‎ ‎　‎ ‎18． 6　‎ ‎　‎ ‎19．﹣2　‎ ‎　‎ ‎20．（﹣5，7）或（5，﹣7）　‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分60分）‎ ‎21．解：原式=•‎ ‎=，‎ 当x=﹣4时，原式==﹣1．‎ ‎　‎ ‎22．解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得：‎ ‎16﹣4b+c=﹣3，‎ c﹣4b=﹣19，‎ ‎∵对称轴是x=﹣3，‎ ‎∴﹣=﹣3，‎ ‎∴b=6，‎ ‎∴c=5，‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；‎ ‎（2）∵CD∥x轴，‎ ‎∴点C与点D关于x=﹣3对称，‎ ‎∵点C在对称轴左侧，且CD=8，‎ ‎∴点C的横坐标为﹣7，‎ ‎∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12，‎ ‎∵点B的坐标为（0，5），‎ ‎∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，‎ ‎∴△BCD的面积=×8×7=28．‎ ‎　‎ ‎23．解：∵AC=4，BC=4，‎ ‎∴AB=8，‎ ‎∵△CDE为等腰三角形，‎ ‎∴当CD=CE时，EC=CD=8，‎ ‎∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，‎ ‎∴AO=CO=2，‎ ‎∴EO=AO﹣AE=AO﹣（AC﹣CD）=8﹣2，‎ 当ED=CE时，E，O重合，△CED是等腰三角形，此时EO=0．‎ ‎　‎ ‎24．解：（1）由条形图可知，喜爱戏曲节目的学生有3人，‎ ‎∵喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人，‎ ‎∴喜爱体育节目的学生有：3×3+1=10人，‎ ‎∴本次抽取的学生有：4+10+15+18+3=50人；‎ ‎（2）喜爱C类电视节目的百分比为：×100%=30%，‎ ‎“体育”对应的扇形圆心角的度数为：360°×=72°．‎ 补全统计图如下：‎ ‎（3）∵喜爱娱乐节目的百分比为：×100%=30%，‎ ‎∴该校3000名学生中喜爱娱乐节目的学生有：3000×30%=900人．‎ ‎　‎ ‎25．解；（1）如图所示：快车一共行驶了7小时，中间停留了1小时，慢车一共行驶了6小时，‎ ‎∵由图可得出两地相距360km，‎ ‎∴快车速度为：360×2÷6=120（km/h），‎ 慢车速度为：360÷6=60（km/h）；‎ ‎（2）∵快车速度为：120km/h，‎ ‎∴360÷120=3（h），‎ ‎∴A点坐标为；（3，360）‎ ‎∴B点坐标为（4，360），‎ 可得E点坐标为：（6，360），D点坐标为：（7，0），‎ ‎∴设BD解析式为：y=kx+b，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴BD解析式为：y=﹣120x+840，‎ 设OE解析式为：y=ax，‎ ‎∴360=6a，‎ 解得：a=60，‎ ‎∴OE解析式为：y=60x，‎ 当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：60x=﹣120x+840，‎ 解得：x=，‎ 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；‎ ‎（3）根据两车第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后两车再次相距150km，当快车到达乙地后返回时两车可以相距150km，‎ 综上所述：在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数是3次．‎ ‎　‎ ‎26．解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，‎ ‎∴四边形AFDE是平行四边形．‎ ‎∴AF=DE，‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴∠FDB=∠C 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴∠FDB=∠C ‎∴DF=BF ‎∴DE+DF=AB=AC；‎ ‎（2）图②中：AC+DF=DE．‎ 图③中：AC+DE=DF．‎ ‎（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；‎ 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．‎ 故答案是：2或10．‎ ‎　‎ ‎27．解：（1）设购进甲种图书x本，则购进乙书（100﹣x）本，根据题意得出：‎ ‎，‎ 解得：48≤x≤50．‎ 故有3种购书方案：甲种书：48种，乙种书：52本；甲种书：49种，乙种书：51本；甲种书：50种，乙种书：50本；‎ ‎（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，‎ 故购进甲种书：48种，乙种书：52本利润最大为：48×（26﹣16）+52×（40﹣28）=1104（元）；‎ ‎（3）根据题意得出：72a+96b=1104，‎ 尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，可以购买：（1104﹣96）÷72=14（个）．‎ 答：最多可以购买排球和篮球共15个．‎ ‎　‎ ‎28．解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，得：x1=6，x2=8．‎ ‎∵OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，‎ ‎∴OA=6，OB=8，‎ ‎∴A（6，0），B（0，8）．‎ ‎（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．‎ 在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．‎ ‎∴sin∠OBA===．‎ ‎∵sin∠1=，‎ ‎∴∠OBA=∠1．‎ ‎∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠ADE．‎ 在△AOB与△DEA中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△DEA（ASA）．‎ ‎∴AE=OB=8，DE=OA=6．‎ ‎∴OE=OA+AE=6+8=14，‎ ‎∴D（14，6）．‎ ‎∵反比例函数y=的图象经过点D，‎ ‎∴k=14×6=84．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，‎ ‎①当AB：AM1=2：1时，‎ 过点M1作M1E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AE=4，M1E=3．‎ 过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，‎ ‎∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，‎ ‎∴OF=OB+BF=8+3=11，‎ ‎∴N1（4，11）；‎ ‎②当AB：AM2=1：2时，‎ 同理可求得：N2（16，20）．‎ 综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．‎ ‎　‎