中考数学压轴题破解策略专题对角互补模型

中考数学压轴题破解策略专题对角互补模型

专题 16《对角互补模型》 破解策略 1．全等型之“90°” 如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB，则 （1）CD＝CE； （2）OD＋OE＝ OC； （3） ． 证明　方法一：如图，过点 C 分别作 CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为 M，N． 由角平分线的性质可得 CM＝CN，∠MCN＝90°． 所以∠MCD＝∠NCE， 从而△MCD≌△NCE（ASA）， 故 CD＝CE． 易证四边形 MONC 为正方形． 所以 OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝ OC． 所以 ． 方法二：如图，过 C 作 CF⊥OC，交 OB 于点 F． 易 证 ∠DOC ＝ ∠EFC ＝ 45° ， CO ＝ CF ， ∠DCO ＝ ∠ECF． 所以△DCO≌△ECF（ASA） 所以 CD＝CE，OD＝FE， 可得 OD＋OE＝OF＝ ． A O B D C E 2 21 2OCD OCES S OC∆ ∆+ = 2 2 21 2OCD OCE MONCS S S ON OC∆ ∆+ = = =正方形 2OC N M A O B D C E F A O B D C E 所以 ． 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则： （1）CD＝CE； （2）OE－OD＝ OC； （3） ． 如图，证明同上． 2．全等型之“120” 如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB，则： （1）CD＝CE； （2）OD＋OE＝OC； （3） ． 证明　方法一：如图，过点 C 分别作 CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为 M，N． 所以 B A E C O D F D O C E A B N M D O C E A B O B E C D A 21 2OCD OCE OCFS S S OC∆ ∆ ∆+ = = 2 21 2OCE OCDS S OC∆ ∆− = 23 4OCD OCES S OC∆ ∆+ = 232 4OCD OCE ONCS S S OC∆ ∆ ∆+ = = 易证△MCD≌△NCE（ASA）， 所以 CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC． 方法二：如图，以 CO 为一边作∠FCO＝60°，交 OB 于点 F，则△OCF 为等边三角形． 易证△DCO≌△ECF（ASA）． 所以 CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC， ∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝ OC 2 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时，则： （1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝ OC 2 如图，证明同上． 3、全等型之“任意角” 如图，∠AOB＝2 ，∠DCE＝180°－2 ，OC 平分∠AOB，则： （1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC·cos ；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC 2·sin cos 证明：方法一：如图，过点 C 分别作 CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为 M，N N M A D C E BO F A D C E BO E O B A CD N M E O B A C D FE O B A CD EO B A CD 4 3 4 3 α α α α α M N EO B A CD 易证△MCD≌△NCE（ASA） ∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos ∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC 2·sin cos 方法二：如图，以 CO 为一边作∠FCO＝180°－2 ，交 OB 于点 F． 易证△DCO≌△ECF（ASA） ∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos ∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sin cos 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与 BO 的延长线交于点 E 时，则： （1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cos ；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sin cos 如图，证明同上 4、相似性之“90°” 如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝ ，则 CE＝CD·tan 方法一：如图，过点 C 分别作 CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为 M、N 易证△MCD∽△NCE，∴ ，即 CE＝CD·tan 方法二：如图，过点 C 作 CF⊥OC，交 OB 于点 F． FEO B A C D E O B A C D M NE O B A C D FE O B A C D D A O B C E M N D A O C E α α α α α α α α α α α α αtan=== CM CN CD CE MD NE α 易证△DCO∽△ECF，∴ ，即 CE＝CD·tan 方法三：如图，连接 DE． 易证 D、O、E、C 四点共圆 ∴∠CDE＝∠COE＝ ，故 CE＝CD·tan 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则 CE＝CD·tan 如图，证明同上． 例题讲解 例 1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC 所对弧 BC 上任取一点 D，连接 AD，BD，CD． （1）如图 1，若∠BAC＝120°，那么 BD＋CD 与 AD 之间的数量关系是什么？ （2）如图 2，若∠BAC＝ ，那么 BD＋CD 与 AD 之间的数量关系是什么？ 解：（1）BD＋CD＝ AD F D A O B C E EO B D C A M N EO B D C A F EO B D C A EO B D CA 图1A O B C D 图2A O B C D αtan=== CO CF CD CE OD FE α α α α α 3 D A O B C E 如图 3，过点 A 分别向∠BDC 的两边作垂线，垂足分别为 E、F． 由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD＋CD＝2DE＝ AD ⑵BD＋CD＝2ADsin ． 如图 4，作∠EAD＝∠BAC，交 DB 的延长线于点 E． 则△EBA≌△DCA，所以 BE＝CD，AE＝AD． 作 AF⊥DE 于点 F，则∠FAD＝ ．所以 BD＋CD＝DE＝2DF＝2ADsin ． 例 2 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动，并使 其一条直角边始终经过点 A，另一条直角边与 BC 相交于点 F． ⑴求证：PA＝PE； ⑵如图 2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且 AD＝10，CD＝8，求 AP：PE 的值； ⑶如图 3，在⑵的条件下，当 P 滑动到 BD 的延长线上时，AP：PE 的值是否发生变化？ 解：⑴如图 4，过点 P 分别作 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为 M，N． 则 PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知条件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△ 图3 F E A O B C D 3 2 α D F B E O A C 图 4 2 α 2 α 图 3 A D B E P F C A D B P CE 图 2 A D P B E C 图 1 APM≌△EPN． 故 AP＝PE． ⑵如图 5，过点 P 分别作 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为 M，N．则 PM∥AD，PN∥ CD． 所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得 ，所以 ． 易证△APM∽△EPN，所以 ． ⑶AP：PF 的值不变．[如图，理由同⑵] 进阶训练 1．如图，四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰 Rt△ABD 和 Rt△CBD，其中∠BAD 和∠BCD 都是直角，另一条对角线 AC 的长度为 2，则四边形 ABCD 的面积为_________． 答案：四边形 ABCD 的面积为 2． 【提示】易证 A、B、C、D 四点共圆，则∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之 ‘90°’”的结论可得 S 四边形 ABCD＝ AC2＝2． 图 4 A D P B E CN M PM BP PN AD BD CD = = 5 4 PM AD PN CD = = 5 4 AP PM PE PN = = 图 5 A D B P CE N M 图 6 A D B E P F C M N A B C D 第 1 题图 1 2 2．在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，D 是 BC 边的中点，∠EDF＝120°，DE 与 AB 边相 交于点 E，DF 与 AC 边（或 AC 边的延长线）相交于点 F． ⑴如图 1，DF 与 AC 边相交于点 F，求证：BE＋CF＝ AB； ⑵如图 2，将图 1 中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与 AC 边的延长线交于 点 F，作 DN⊥AC 于点 N，若 DN＝FN，求证：BE＋CF＝ （BE－CF）． 答案：略． 【提示】⑴过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G，证△DEG≌△DFC，从而 BE＋CF＝BE＋EG＝BG ＝ AB． ⑵过点 D 作 DG∥AC 交 AB 于点 G，同⑴可得 BE－CF＝ AB＝DC＝ ，延长 AB 至点 H， 使得 BH＝CF，则 DH＝DF＝DE，从而 BE＋CF＝HE＝ DE＝ × DN＝2DN，所以 BE ＋CF＝ （BE－CF）． 第 1 题图 1 A E F CDB A E F CDB N 第 1 题图 2 1 2 3 1 2 第 1 题答图 1 A E F CDB G 1 2 2 3 DN 2 2 2 3 3．在菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠MON＋∠BCD＝180°，∠MON 绕点 O 旋转，射线 OM 交 BC 于点 E，射线 ON 交 CD 于点 F，连结 EF． ⑴如图 1，当∠ABC＝90°时，△OEF 的形状是____； ⑵如图 2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由； ⑶如图 3，在⑴的条件下，将∠MON 的顶点移动到 AO 的中点 O'处，∠MO'N 绕点 O'旋转， 仍满足∠MO'N＋∠BCD＝180°，射线 O'M 交直线 BC 于点 E，射线 O'N 交直线 CD 于点 F， 当 BC＝4，且 时，求 CE 的长． 答案：⑴等腰直角三角形；⑵△OEF 是等边三角形；⑶线段 CE 的长为 3 ＋3 或 3 － 3． 【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得 OE＝OF．⑶两种情况，如图： 第 1 题答图 2 A E F CD B N H G ' 9 8 O EF ABCD S S = 四边形 第 3 题图 1 A D B C O M E F N A B C D O F EM N 第 3 题图 2 A D B C O O' 第 3 题图 3 3 3 第 3 题答图 A D B C O O' F N E M E' M' F' N'