中考数学相似三角形压轴题

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中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题 一、选择题 ‎1. (2014年江苏宿迁3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是【 】‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题 ‎1.(2015贺州)如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=.有以下的结论:①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).‎ 三、解答题 ‎1. (2014年福建三明14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(﹣2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;‎ ‎(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎2. (2014年湖北十堰12分)已知抛物线C1:的顶点为A,且经过点B(﹣2,﹣1).‎ ‎(1)求A点的坐标和抛物线C1的解析式;‎ ‎(2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点,求S△OAC:S△OAD的值;‎ ‎(3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由.‎ ‎3. (2014年湖南郴州10分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).‎ ‎(1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?‎ ‎(2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.‎ ‎(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CPD是等腰三角形?‎ ‎4. (2014年湖南衡阳10分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3m)(其中m>0),顶点为D.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);‎ ‎(2)如图①,当m=2时,点P为第三象限内的抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;‎ ‎(3)如图②,当m取何值时,以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似?‎ ‎5. (2014年湖南益阳12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2,若S=S1+S2,求S的最小值.‎ ‎6. (2014年内蒙古呼伦贝尔13分)以AB为直径作半圆O,AB=10,点C是该半圆上一动点,连接AC、BC,延长BC至点D,使DC=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,在点C运动过程中:‎ ‎(1)如图1,当点E与点O重合时,连接OC,试判断△COB的形状,并证明你的结论;‎ ‎(2)如图2,当DE=8时,求线段EF的长;‎ ‎(3)当点E在线段OA上时,是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出此时线段OE的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎7. (2014年山东日照14分)如图1,在菱形OABC中,已知OA=,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点.‎ ‎(1)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上.‎ ①当OP+PC的最小值时,求出点P的坐标;‎ ②在①的条件下,连接PE、PF、EF得△PEF,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三角形与△PEF相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎8. (2014年山东威海12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线相交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数.‎ ‎9. (2014年宁夏区10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,P是BC边上不同于B、C的一动点,过P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接AP.‎ ‎(1)试说明不论点P在BC边上何处时,都有△PBQ与△ABC相似;‎ ‎(2)若AC=3,BC=4,当BP为何值时,△AQP面积最大,并求出最大值;‎ ‎(3)在Rt△ABC中,两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC,是否存在一个的值,使Rt△AOP既与Rt△ACP全等,也与Rt△BQP全等.‎ ‎10.(2014年新疆区、兵团12分)如图,直线与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t≤3).‎ ‎(1)写出A,B两点的坐标;‎ ‎(2)设△AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式;并求出当t为何值时,△AQP的面积最大?‎ ‎(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,并直接写出此时点Q的坐标.‎ ‎11.(2014年新疆乌鲁木齐14分)如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.‎ ‎(1)求证:△OAD≌△EAB;‎ ‎(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;‎ ‎(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?若有,求出点P的坐标;‎ ‎(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.‎ ‎12.(2014年云南省9分)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCD是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.‎ ‎(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式);‎ ‎(2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为,过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎13.(2014年浙江湖州12分)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)‎ ‎(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;‎ ‎(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;‎ ‎(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎14. (2013年山东日照14分)已知,如图(a),抛物线经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°,。‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;[来源:学#科#网]‎ ‎(3)如图(b),点Q为上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。‎ ‎15. (2013年贵州黔西南16分)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C ‎(1)求抛物线的函数解析式.‎ ‎(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标.[来源:学§科§网]‎ ‎(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎16. (2013年福建南平14分)如图,已知点A(0,4),B(2,0).‎ ‎(1)求直线AB的函数解析式;‎ ‎(2)已知点M是线段AB上一动点(不与点A、B重合),以M为顶点的抛物线y=(x﹣m)2+n与线段OA交于点C.‎ ‎①求线段AC的长;(用含m的式子表示)‎ ‎②是否存在某一时刻,使得△ACM与△AMO相似?若存在,求出此时m的值.‎ ‎17. (2013年云南曲靖12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.‎ ‎(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎18. (2013年云南红河9分)如图,抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E.‎ ‎(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;‎ ‎(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎ ‎ ‎19. (2013年新疆乌鲁木齐14分)如图.在平面直角坐标系中,边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上,连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上,BF与AD交于点E.‎ ‎(1)求证:△OAD≌△EAB;‎ ‎(2)求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式;‎ ‎(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,其关于直线BF的对称点在x轴上?若有,求出点P的坐标;‎ ‎(4)连接OE,若点M是直线BF上的一动点,且△BMD与△OED相似,求点M的坐标.‎ ‎20.(2013年广西百色10分)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合),连结EB、ED。‎ ‎(1)如果∠CBD=∠E,求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)当点E运动到什么位置时,△EDB≌△ABD,并给予证明;‎ ‎(3)若tanE=,BC=,求阴影部分的面积。(计算结果精确到0.1)‎ ‎(参考数值:π≈3.14, ≈1.41,≈1.73) ‎ ‎21. ( 2013年广西贵港11分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由.‎ ‎22. (2015福建漳州)如图,在OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动 点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以 acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.‎ ‎ 设运动时间为t秒.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ (1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;‎ ‎(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.‎ ‎23. (2015湖北襄阳)如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.‎ ‎(1)求AD的长及抛物线的解析式;‎ ‎(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?‎ ‎(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎24. (2015湖南常德)如图,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).‎ ‎ (1)求二次函数的解析式:‎ ‎ (2)求证:△ACB是直角三角形;‎ ‎ (3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎ 25. (2015钦州)如图,在平面直角坐标系中,以点B(0,8)为端点的射线BG∥x轴,点A是射线BG上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线,垂足为E,且与x轴交于点F,过点A作AC⊥OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.[来源:学科网]‎ ‎(1)用含t的式子表示点E的坐标为_______;‎ ‎(2)当t为何值时,∠OCD=180°?‎ ‎(3)当点C与点F不重合时,设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.‎
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