中考数学相似三角形压轴题

中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题 一、选择题 ‎1. （2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 】‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题 ‎1.（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．‎ 三、解答题 ‎1. （2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；‎ ‎（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2. （2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．‎ ‎（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；‎ ‎（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；‎ ‎（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．‎ ‎3. （2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？‎ ‎（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．‎ ‎（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？‎ ‎4. （2014年湖南衡阳10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？‎ ‎5. （2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．‎ ‎6. （2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：‎ ‎（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；‎ ‎（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎7. （2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．‎ ‎（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．‎ ①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；‎ ②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎8. （2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．‎ ‎9. （2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．‎ ‎（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；‎ ‎（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．‎ ‎10．（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．‎ ‎（1）写出A，B两点的坐标；‎ ‎（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？‎ ‎（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．‎ ‎11．（2014年新疆乌鲁木齐14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．‎ ‎（1）求证：△OAD≌△EAB；‎ ‎（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；‎ ‎（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；‎ ‎（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．‎ ‎12．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎13．（2014年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）‎ ‎（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；‎ ‎（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；‎ ‎（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎14. （2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°，。‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；[来源:学#科#网]‎ ‎（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。‎ ‎15. （2013年贵州黔西南16分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C ‎（1）求抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．[来源:学§科§网]‎ ‎（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎16. （2013年福建南平14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．‎ ‎（1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．‎ ‎①求线段AC的长；（用含m的式子表示）‎ ‎②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．‎ ‎17. （2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．‎ ‎（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎18. （2013年云南红河9分）如图，抛物线y=﹣x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；‎ ‎（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎ ‎ ‎19. （2013年新疆乌鲁木齐14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．‎ ‎（1）求证：△OAD≌△EAB；‎ ‎（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；‎ ‎（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；‎ ‎（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．‎ ‎20.（2013年广西百色10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。‎ ‎（1）如果∠CBD＝∠E，求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明；‎ ‎（3）若tanE＝，BC＝，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1)‎ ‎(参考数值：π≈3.14, ≈1.41，≈1.73) ‎ ‎21. （ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎22. （2015福建漳州）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动 点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．‎ ‎ 设运动时间为t秒．[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；‎ ‎(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ ‎23. （2015湖北襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．‎ ‎（1）求AD的长及抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？‎ ‎（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎24. （2015湖南常德）如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).‎ ‎ （1）求二次函数的解析式：‎ ‎ （2）求证：△ACB是直角三角形；‎ ‎ （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎ 25. （2015钦州）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．[来源:学科网]‎ ‎（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；‎ ‎（2）当t为何值时，∠OCD=180°？‎ ‎（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．‎