河北省中考真题数学

河北省中考真题数学

‎2017年河北省中考真题数学 一、选择题(本大题共16小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列运算结果为正数的是( )‎ A.(-3)2‎ B.-3÷2‎ C.0×(-2017)‎ D.2-3‎ 解析：A、原式=9，符合题意；‎ B、原式=-1.5，不符合题意；‎ C、原式=0，不符合题意，‎ D、原式=-1，不符合题意.‎ 答案：A.‎ ‎2.把0.0813写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为( )‎ A.1‎ B.-2‎ C.0.813‎ D.8.13‎ 解析：把0.0813写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为8.13. ‎ 答案：D.‎ ‎3.用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析：根据量角器的使用方法进行选择即可.‎ 答案：C.‎ ‎4. =( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析：根据乘方和乘法的意义即可求解. ‎ 答案：B.‎ ‎5.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( )‎ A.①‎ B.②‎ C.③‎ D.④‎ 解析：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形.‎ 答案：C.‎ ‎6.如图为张小亮的答卷，他的得分应是( )‎ A.100分 B.80分 C.60分 D.40分 解析：根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可.‎ 答案：B.‎ ‎7.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )‎ A.增加了10%‎ B.减少了10%‎ C.增加了(1+10%)‎ D.没有改变 解析：根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答.‎ 答案：D.‎ ‎8.如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形.‎ 答案：A.‎ ‎9.求证：菱形的两条对角线互相垂直.‎ 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.‎ 求证：AC⊥BD.‎ 以下是排乱的证明过程：‎ ‎①又BO=DO；‎ ‎②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；‎ ‎③∵四边形ABCD是菱形；‎ ‎④∴AB=AD.‎ 证明步骤正确的顺序是( )‎ A.③→②→①→④‎ B.③→④→①→②‎ C.①→②→④→③‎ D.①→④→③→②‎ 解析：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵对角线AC，BD交于点O，‎ ‎∴BO=DO，‎ ‎∴AO⊥BD，‎ 即AC⊥BD，‎ ‎∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②.‎ 答案：B.‎ ‎10.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )‎ A.北偏东55°‎ B.北偏西55°‎ C.北偏东35°‎ D.北偏西35°‎ 解析：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，‎ ‎∴乙的航向不能是北偏西35°.‎ 答案：D.‎ ‎11.如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析：选项A不正确.理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，‎ 因为15＞14，所以这个图形不可能存在.‎ 答案：A.‎ ‎12.如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )‎ A.4+4-=6‎ B.4+40+40=6‎ C.4+=6‎ D.4-1÷+4=6‎ 解析：根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可.‎ 答案：D.‎ ‎13.若=_____+，则_____中的数是( )‎ A.-1‎ B.-2‎ C.-3‎ D.任意实数 解析：直接利用分式加减运算法则计算得出答案.‎ 答案：B.‎ ‎14.甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图，‎ 比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是( )‎ A.甲组比乙组大 B.甲、乙两组相同 C.乙组比甲组大 D.无法判断 解析：根据中位数定义分别求解可得.‎ 答案：B.‎ ‎15.如图，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y=(x＞0)的图象是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析：找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4，即可得出答案.‎ 答案：D.‎ ‎16.已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：‎ 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是( )‎ A.1.4‎ B.1.1‎ C.0.8‎ D.0.5‎ 解析：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1.‎ 答案：C.‎ 二、填空题(本大题共3小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分.把答案写在题中横线上)‎ ‎17.如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为_____m.‎ 解析：∵AM=AC，BN=BC，‎ ‎∴AB是△ABC的中位线，‎ ‎∴AB=MN=100m.‎ 答案：100.‎ ‎18.如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=_____°.‎ 解析：先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论.‎ 答案：56.‎ ‎19.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{-，-}=_____；若min{(x-1)2，x2}=1，则x=_____.‎ 解析：首先理解题意，进而可得min{-，-}=-，min{(x-1)2，x2}=1时再分情况讨论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案.‎ 答案：-；2或-1.‎ 三、解答题(本大题共7小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎20.在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p.‎ ‎(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？‎ ‎(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p.‎ 解析：(1)根据以B为原点，则C表示1，A表示-2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示-3，B表示-1，进而得到p的值；‎ ‎(2)根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，据此可得p的值.‎ 答案：(1)若以B为原点，则C表示1，A表示-2，‎ ‎∴p=1+0-2=-1；‎ 若以C为原点，则A表示-3，B表示-1，‎ ‎∴p=-3-1+0=-4；‎ ‎(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示-28，B表示-29，A表示-31，‎ ‎∴p=-31-29-28=-88.‎ ‎21.编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图.之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%.‎ ‎(1)求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；‎ ‎(2)在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；‎ ‎(3)最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分.‎ 解析：(1)由第6名学生命中的个数为5×40%=2可得答案，并补全条形图；‎ ‎(2)由这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，根据概率公式可得；‎ ‎(3)根据众数的定义得出前6名学生积分的众数即可得.‎ 答案：(1)第6名学生命中的个数为5×40%=2，‎ 则第6号学生的积分为2分，‎ 补全条形统计图如下：‎ ‎(2)这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，‎ ‎∴选上命中率高于50%的学生的概率为；‎ ‎(3)由于前6名学生积分的众数为3分，‎ ‎∴第7号学生的积分为3分.‎ ‎22.发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数.‎ 验证 (1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？‎ ‎(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数.‎ 延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由.‎ 解析：验证(1)计算(-1)2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；‎ ‎(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；‎ 延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数.‎ 答案：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.‎ 验证(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，‎ 即(-1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍；‎ ‎(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，‎ 它们的平方和为：(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2‎ ‎=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4‎ ‎=5n2+10，‎ ‎∵5n2+10=5(n2+2)，‎ 又n是整数，‎ ‎∴n2+2是整数，‎ ‎∴五个连续整数的平方和是5的倍数；‎ 延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，‎ 它们的平方和为：(n-1)2+n2+(n+1)2‎ ‎=n2-2n+1+n2+n2+2n+1‎ ‎=3n2+2，‎ ‎∵n是整数，‎ ‎∴n2是整数，‎ ‎∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.‎ ‎23.如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.‎ ‎(1)求证：AP=BQ；‎ ‎(2)当BQ=4时，求的长(结果保留π)；‎ ‎(3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.‎ 解析：(1)连接OQ.只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；‎ ‎(2)求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；‎ ‎(3)由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8.‎ 答案：(1)证明：连接OQ.‎ ‎∵AP、BQ是⊙O的切线，‎ ‎∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，‎ ‎∴∠APO=∠BQO=90°，‎ 在Rt△APO和Rt△BQO中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△APO≌Rt△BQO，‎ ‎∴AP=BQ.‎ ‎(2)∵Rt△APO≌Rt△BQO，‎ ‎∴∠AOP=∠BOQ，‎ ‎∴P、O、Q三点共线，‎ ‎∵在Rt△BOQ中，cosB=，‎ ‎∴∠B=30°，∠BOQ=60°，‎ ‎∴OQ= OB=4，‎ ‎∵∠COD=90°，‎ ‎∴∠QOD=90°+60°=150°，‎ ‎∴优弧的长=，‎ ‎(3)∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，‎ ‎∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8.‎ ‎24.如图，直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x=-5与x轴交于点D，直线y=与x轴及直线x=-5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB.‎ ‎(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；‎ ‎(2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；‎ ‎(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里.‎ 解析：(1)利用坐标轴上点的特点确定出点C的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点E坐标，进而得到点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；‎ ‎(2)直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论，‎ ‎(3)先求出直线AB与x轴的交点坐标，判断出点C不在直线AB上，即可.‎ 答案：(1)在直线y=中，‎ 令y=0，则有0=，‎ ‎∴x=-13，‎ ‎∴C(-13，0)，‎ 令x=-5，则有y=-×(-5)-=-3，‎ ‎∴E(-5，-3)，‎ ‎∵点B，E关于x轴对称，‎ ‎∴B(-5，3)，‎ ‎∵A(0，5)，‎ ‎∴设直线AB的解析式为y=kx+5，‎ ‎∴-5k+5=3，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+5；‎ ‎(2)由(1)知，E(-5，-3)，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∵C(-13，0)，‎ ‎∴CD=-5-(-13)=8，‎ ‎∴S△CDE=CD×DE=12，‎ 由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，‎ ‎∴S四边形ABDO=(BD+OA)×OD=20，‎ ‎∴S=S△CDE+S四边形ABDO=12+20=32，‎ ‎(3)由(2)知，S=32，‎ 在△AOC中，OA=5，OC=13，‎ ‎∴S△AOC=OA×OC==32.5，‎ ‎∴S≠S△AOC，‎ 理由：由(1)知，直线AB的解析式为y=x+5，‎ 令y=0，则0=x+5，‎ ‎∴x=-≠-13，‎ ‎∴点C不在直线AB上，‎ 即：点A，B，C不在同一条直线上，‎ ‎∴S△AOC≠S.‎ ‎25.平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.‎ ‎(1)当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；‎ ‎(2)当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；‎ ‎(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π)‎ 解析：(1)分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；‎ ‎(2)如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E.在Rt△APE中，tanA=，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；‎ ‎(3)分三种情形分别求解即可.‎ 答案：(1)如图1中，‎ ‎①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°-∠Q′P′B-∠Q′P′D=180°-90°-10°=80°，‎ ‎②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°-(∠QPB-∠QPD)=180°-(90°-10°)=100°，‎ 综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°.‎ ‎(2)如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E.‎ ‎∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=，‎ ‎∴tan∠ABP=2，‎ 在Rt△APE中，tanA=，设PE=4k，则AE=3k，‎ 在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，‎ ‎∴EB=2k，‎ ‎∴AB=5k=10，‎ ‎∴k=2，‎ ‎∴PE=8，EB=4，‎ ‎∴PB=，‎ ‎∵△BPQ是等腰直角三角形，‎ ‎∴BQ=PB=4.‎ ‎(3)①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F.则四边形BEPF是矩形.‎ 在Rt△AEB中，∵tanA=，∵AB=10，‎ ‎∴BE=8，AE=6，‎ ‎∴PF=BE=8，‎ ‎∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，‎ ‎∴PF=BF=FQ=8，‎ ‎∴PB=PQ=8，‎ ‎∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π.‎ ‎②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE=x.‎ 易证△PBE≌△QPF，‎ ‎∴PE=QF=x，EB=PF=8，‎ ‎∴DF=AE+PE+PF-AD=x-1，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠FDQ=∠A，‎ ‎∴tan∠FDQ=tanA=，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=4，‎ ‎∴PE=4，，‎ 在Rt△PEB中，PB=，‎ ‎∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π ‎③如图5中，‎ 当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，‎ ‎∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π，‎ 综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.‎ ‎26.某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)，符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数)，且得到了表中的数据.‎ ‎(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；‎ ‎(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；‎ ‎(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大，求m.‎ 解析：(1)设y=a+，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18-(6+)，则 =0可作出判断；‎ ‎(2)将n=1、x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3)可求得k的值，先由18=6+求得x=50，根据50=2n2-26n+144可判断；‎ ‎(3)第m个月的利润W=x(18-y)=18x-x(6+)=24(m2-13m+47)，第(m+1)个月的利润为W′=24[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35)，分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得.‎ 答案：(1)由题意，设y=a+，‎ 由表中数据可得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y=6+，‎ 由题意，若12=18-(6+)，则=0，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴不可能；‎ ‎(2)将n=1、x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3)，得：120=2-2k+9k+27，‎ 解得：k=13，‎ ‎∴x=2n2-26n+144，‎ 将n=2、x=100代入x=2n2-26n+144也符合，‎ ‎∴k=13；‎ 由题意，得：18=6+，‎ 解得：x=50，‎ ‎∴50=2n2-26n+144，即n2-13n+47=0，‎ ‎∵△=(-13)2-4×1×47＜0，‎ ‎∴方程无实数根，‎ ‎∴不存在；‎ ‎(3)第m个月的利润为W，‎ W=x(18-y)=18x-x(6+)=12(x-50)=24(m2-13m+47)，‎ ‎∴第(m+1)个月的利润为W′=24[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35)，‎ 若W≥W′，W-W′=48(6-m)，m取最小1，W-W′取得最大值240；‎ 若W＜W′，W-W′=48(m-6)，由m+1≤12知m取最大11，W-W′取得最大值240；‎ ‎∴m=1或11.‎