2014山东省荷泽市中考数学试卷

2014山东省荷泽市中考数学试卷

‎2014年山东省荷泽市中考数学试卷 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（2014山东省荷泽市，1，3分）比－1大的数是 （　　）‎ A．－3 B． C．0 D．－1‎ ‎【答案】C．‎ ‎2．（2014山东省荷泽市，2，3分）如图，直线∥∥，等边△ABC的顶点B、C分别在直线和上，边BC与直线所夹锐角为25°，则∠的度数为 （　　）‎ A．25° B．45° C．35° D．30°‎ 第2题 ‎【答案】C．‎ ‎3．（2014山东省荷泽市，3，3分）下列计算中，正确的是 （　　）‎ A．＝ B．＝1 C．＝－3 D．＝±3‎ ‎【答案】B．‎ ‎4．（2014山东省荷泽市，4，3分）2014年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：‎ 区县 曹县 单县 威武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区 可吸入颗粒物（mg/m3）‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.18‎ ‎0.18‎ ‎0.13‎ ‎0.16‎ ‎0.14‎ ‎0.14‎ 该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是 （　　）‎ A．0.15和0.14 B．0.18和0.15 C．0.18和0.14 D．0.15和0.15‎ ‎【答案】D．‎ ‎5．（2014山东省荷泽市，5，3分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为 （　　）‎ ‎【答案】B．‎ ‎6．（2014山东省荷泽市，6，3分）已知关于的一元二次方程＝0有一个非零根，则的值为 （　　）‎ A．1 B．－1 C．0 D．－2‎ ‎【答案】A．‎ ‎7．（2014山东省荷泽市，7，3分）若点M（，）满足＝，则点M所在象限是 （　　）‎ A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限 D．不能确定 ‎【答案】B．‎ ‎8．（2014山东省荷泽市，8，3分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长为，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是 （　　）‎ ‎【答案】A．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）‎ ‎9．（2014山东省荷泽市，9，3分）2014年“原创新春微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信62800条，将62800用科学计数法表示应为＿＿＿．‎ ‎【答案】．‎ ‎10．（2014山东省荷泽市，10，3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为＿＿＿＿＿．‎ 第10题 ‎【答案】50°．‎ ‎11．（2014山东省荷泽市，11，3分）分解因式：＝＿＿＿＿＿＿．‎ ‎【答案】．‎ ‎12．（2014山东省荷泽市，12，3分）如图，平行于轴的直线AC分别交函数＝（≥0）与＝（≥0）的图象于B，C两点，过点C作轴的平行线交的图象于点D，直线DE∥AC，交的图象于E，则＝＿＿＿＿＿．‎ 第12题 ‎【答案】．‎ ‎13．（2014山东省荷泽市，13，3分）如图所示，在△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第四象限，且AO︰BO＝1︰．若点A（，）的坐标满足＝，则点B（，）的坐标，所满足的关系式为＿＿＿＿＿．‎ 第13题 ‎【答案】＝．‎ ‎14．（2014山东省荷泽市，14，3分）下面是一个按某种规律排列的数阵：‎ 根据数阵排列的规律，第（是整数，且≥3）行从左至右第个数是＿＿＿（用含的代数式表示）．‎ ‎【答案】．‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分79分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（2014山东省荷泽市，15，12分，每题6分）‎ ‎（1）计算：；‎ ‎【答案】解：原式＝＝．‎ ‎（2）解不等式组并判断＝是否为该不等式组的解．‎ ‎【答案】解：‎ 由①得＝－3．‎ 由②得≤1．‎ ‎∴原不等式组的解集是－3＜≤1．‎ ‎∵＞1，‎ ‎∴＝不是该不等式组的解．‎ ‎16．（2014山东省荷泽市，16，12分，每题6分）‎ ‎（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．‎ ‎【答案】解：∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠EAD＝∠CAD．‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴∠CAD＝∠ADE．‎ ‎∴∠EAD＝∠ADE．‎ ‎∴AE＝DE．‎ ‎∵BD⊥AD， ‎ ‎∴∠EAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠BDE＝90°．‎ ‎∴∠ABD＝∠BDE．‎ 又∵∠EAD＝∠ADE，‎ ‎∴DE＝BE．‎ ‎∴DE＝AB＝×5＝2.5．‎ ‎（2）已知＝0，求的值．‎ ‎【答案】解：原式＝＝．‎ ‎∵＝0，‎ ‎∴＝－1．‎ ‎∴原式＝＝－23．‎ ‎17．（2014山东省荷泽市，17，14分，每题7分）‎ ‎（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克．已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B 两种饮料各生产了多少瓶？‎ ‎【答案】解：方法一：‎ 设A饮料生产了瓶，则B瓶饮料生产了瓶．根据题意，得 ‎＝270．‎ 解得＝30．‎ ‎＝70．‎ 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．‎ 方法二：设A饮料生产了瓶，则B瓶饮料生产了瓶．根据题意，得 解得 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．‎ ‎（2）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）．‎ ‎①求的值和一次函数的解析式；‎ ‎②结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集．‎ ‎【答案】解：①把点B（2，1）代入＝，得 ‎1＝．‎ ‎∴＝2．‎ 把A（1，0）和B（2，1）代入＝，得 ‎，解得．‎ ‎∴一次函数的解析式为＝．‎ ‎②＞2．‎ ‎18．（2014山东省荷泽市，18，10分）‎ 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连结BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连结DC并延长交AB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若＝，求cos∠ABC的值．‎ ‎【答案】解：（1）证明：如图，连结OC，AC与OD相交于点F．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°．‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴∠AFO＝90°．‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD．‎ 又∵OA＝OC，OD＝OD，‎ ‎∴△AOD≌△COD．‎ ‎∴∠DCO＝∠DAO．‎ ‎∵AD是⊙O的切线，切点为A．‎ ‎∴∠DAO＝90°．‎ ‎∴∠DCO＝90°．‎ ‎∴CO⊥DE．‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）设CE＝（＞0），则DE＝．‎ ‎∴AD＝DC＝．‎ ‎∴在Rt△DAE中，AE＝＝．‎ ‎∵OD∥BC，＝，‎ ‎∴BE＝2OB．‎ ‎∴OA＝AE＝．‎ 在Rt△AOD中，OD＝＝．‎ ‎∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝＝．‎ ‎19．（2014山东省荷泽市，19，10分）‎ 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：‎ 男生 女生 人数 类别 ‎（1）王老师一共调查了多少名同学？‎ ‎（2）C类女生有＿＿＿＿名，D类男生有＿＿＿＿名，并将上面条形统计图补充完整；‎ ‎（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．‎ ‎【答案】解：（1）÷15%＝20．‎ 答：王老师一共调查了20名同学．‎ ‎（2）C类女生有3名，D类男生有1名．条件统计图补充如下图所示．‎ 男生 女生 人数 类别 ‎（3）A类学生是1名男生和2名女生，D类学生是1名男生和1名女生，分别记作A男、A女1、A女2，D男、D女．用表格列出所有可能的结果如下：‎ A男 A女1‎ A女2‎ D男 A男　D男 A女1　D男 A女2　D男 D女 A男　D女 A女1　D女 A女2　D女 由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中恰好是一位男同学和一位女同学的情形有3种．‎ ‎∴P（恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．‎ ‎20．（2014山东省荷泽市，20，10分）‎ 已知，如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN＝45°，连结MN．‎ ‎（1）若正方形的边长为，求BM·DN的值；‎ ‎（2）若BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，BM平分∠PBC，DN平分∠CDQ，‎ ‎∴∠MAB＝∠ADN＝135°．‎ ‎∴∠BMA＋∠BAM＝45°．‎ ‎∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠BAM＋∠NAD＝45°．‎ ‎∴∠BMA＝∠NAD．‎ ‎∴△ABM∽△NDA．‎ ‎∴＝． ‎ 又∵AB＝AD＝，‎ ‎∴BM·ND＝AD·AB＝．‎ ‎（2）以BM、MN、DN为三边围成的三角形是直角三角形．‎ 证明：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，则AE＝AM，BM＝DE，DAE＝∠BAM，∠ADE＝∠ABM＝135°．‎ ‎∴∠NAE＝∠NAD＋∠DAE＝∠NAD＋∠BAM＝90°－∠MAN＝90°－45°＝45°．‎ ‎∴∠NAE＝∠MAN．‎ 又∵AM＝AE，AN＝AN，‎ ‎∴△AMN≌△AEN．‎ ‎∴NE＝MN．‎ ‎∵∠NDE＝360°－∠NDA－∠EDA＝360°－135°－135°＝90°，‎ ‎∴ND2＋DE2＝NE2．‎ ‎∴ND2＋BM2＝MN2．‎ ‎∴以BM、MN、DN为三边围成的三角形是直角三角形．‎ ‎21．（2014山东省荷泽市，21，10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知抛物线＝．‎ ‎（1）求证：无论为何值，该抛物线与轴总有两个交点；‎ ‎（2）该抛物线与轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与轴的交点坐标为（0，－5），求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP＝MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE＝PD．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵＝＝36＞0，‎ ‎∴无论为何值，该抛物线与轴总有两个交点．‎ ‎（2）把（0，－5）代入＝，得 ‎＝－5．‎ 解得＝±2．‎ 当＝2时，抛物线为＝．令＝0，＝0，解得＝5，＝－1，于是A（－1，0），B（5，0），此时OA＜OB，符合题意．‎ 当＝－2时，抛物线为＝．令＝0，＝0，解得＝－5，＝1，于是A（－5，0），B（1，0），此时OA＞OB，不符合题意，舍去．‎ ‎∴抛物线的解析式为＝．‎ ‎（3）如图，∵MC⊥EM，CD⊥MC，‎ ‎∴∠EMP＝∠PCD．‎ ‎∵PE⊥PD，CD⊥MC，‎ ‎∴∠MPE＋∠PEM＝∠MPE＋∠CPD＝90°．‎ ‎∴∠PEM＝∠CPD．‎ 又∵PE＝PD，∠EMP＝∠PCD，‎ ‎∴△EPM≌△PDC．‎ ‎∴PM＝DC，EM＝PD．‎ 由抛物线＝的，得对称轴是直线＝＝2，N（2，0）．．‎ 设P（，）（－1＜＜2），则C（，），D（，）．‎ ‎∵CD＝MP，‎ ‎∴＝，即＝．①‎ 把C（，）代入＝，得 ‎＝．②‎ 由①②解得＝1，＝－2（舍去＝11，＝18）．‎ ‎∴PC＝＝6．‎ ‎∴ME＝6，OE＝OM＋ME＝7．‎ ‎∴E（7，0）．‎ ‎∴存在点E，使得PE＝PD，点E坐标为（7，0）．‎