2013中考数学二轮复习讲义

2013中考数学二轮复习讲义

第 1 讲：整体思想 诠释定义： 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征， 从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体 思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数 学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的 中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面 具有独特的作用． 考点透析： 考点一：数与式的运算中的整体思想 考点二：方程(组)或不等式(组)中的整体思想 分析：此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问题，首先要观察条件和需要求解的代数式， 然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解． 考点三：在函数中的应用 例 4：已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数． (1)求证：y 是 x 的一次函数； (2)当 y＝－15 时，x＝－1；当 x＝7 时，y＝1.求这个函数的 分析：此题在解方程组时，单独解出 k，m，n 是不可能的，也涉及不必要的．故将 kn＋m 看成一个整体求 解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法． 考点四：几何与图形中的整体思想 例 5：如图 Z1－1，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，半径都是 0.5 cm，则图中阴影部分的面积是 （ ） 解析：由于不能求出各个扇形的面积，因此，要将三个阴影部分看作一个整体考虑，注意到三角形内角和为 180°，所以三个扇形的圆心角和为 180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为 0.5 cm 的半圆的面积． 第 2 讲 分类讨论思想 诠释定义： 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考察．这种分类思考的方法是一种 重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面： (1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨 论；(3)由于图形的不确定性引起的讨论；(4)由于题目含有字母而引起的讨论．分类的原则：①分类中的每一 部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行． 考点透析 考点一：方程中的分类讨论 例 1：(2011 年湖北十堰)已知关于 x 的方程 mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0， 求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根． 考点二：几何中的分类讨论 例 2：(2010 年广东佛山)一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种 类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分 类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 分析：等腰三角形的顶角、顶点不确定，相似三角形的对应关系不确定是中考的热点题型 例 1：先化简，再求值：    a＋2 a2－2a－ a－1 a2－4a＋4 ÷a－4 a－2，其中 a 满足 a2－2a－1＝0. 分析：对分式进行化简结果为 1 a2－2a，如果先把 a 的值求出 再代入计算，显得繁琐，但如果把 a2－2a 看成一个整体，则由 已知可得其值为 1. 例 2：(2010 年广西桂林)已知 x＋1 x＝3，则代数式 x2＋1 x2的 值为________． 如图 Z2－1，在△ABC 中，∠ACB＞∠ABC. (1)若∠BAC 是锐角，请探索在直线 AB 上有多少个点 D， 能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数？ 第 3 讲 数形结合的思想 诠释定义： 数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论 之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地 结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．运 用这一数学思想解题，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征． 考点一：实际问题的数形结合 例 1：(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电 价方案，图 Z3－1 中的折线反映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函 数关系式． (1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表： 档 次 第 一档 第二档 第三档 每 月 用 电 量 x(度) 0 ＜x≤140 __________ __________ (2)小明家某月用电 120 度，需交电费________元 (3)求第二档每月电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)之间的函数关系式 (4)在每月用电量超过 230 度时，每月多用 1 度电要比第二档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，求 m 的值． 考点二：几何问题的数形结合 例 2：(2012 年辽宁营口)如图 Z3－2，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，剪掉 阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A，B，C，D 四个点重合于 点 P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒． (1)若折叠后长方体底面正方形的面积为 1 250 cm2，求长方体包装盒的高； (2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 x(单位：cm)，长方体的侧面积为 S(单位：cm2)，求 S 与 x 的函数关系式，并求 x 为何值时，S 的值最大． 第 4 讲 归纳与猜想 诠释定义： 规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出 了一组变化了的数字、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，总结数字、 式子、图形的变化规律，或分类归纳，或整体归纳，掌控一定的探索技巧．它体现了“从特殊到一般”的数学 思想方法，考查学生分析、理解问题的能力，观察、联想、归纳的能力以及探究和创新的能力．题型可涉及 填空、选择或解答． 考点一：数字或代数式的猜想 例 1：(2012 年广东珠海)观察下列等式 12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32， 34×473＝374×43， 62×286＝682×26 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相 同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52×______＝______×25； ②______×396＝693×______. (2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等 式”一般规律的式子(含 a，b)，并证明． 规律方法：做这种数字猜想题最好在草稿纸上按顺序排好每个数字，然后写多几个，找到规律就 好办了． 考点二：几何图形中的猜想 例 2：(2012 年广东广州)如图 Z4－1，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径 画半圆，记为第 1 个半圆；以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径画半 圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆……按此规律，继续画半圆， 则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的________倍，第 n 个半圆的面积为__________(结果保 留π)． 规律方法：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 第 5 讲 方案设计 诠释定义： 方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数 学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式． 方案设计问题有以下几种情况：①利用方程(组)知识进行方案设 计；②利用不等式(组)知识进行方案设计；③利用函数知识进行 方案设计；④通过计算比较进行方案设计． 考点一：方案设计 例 1：(2012 年黑龙江牡丹江)某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用 1 600 元购进足球 8 个和篮球 14 个，并且篮球的单价比足球的单价多 20 元，请解答下列问题： (1)求出足球和篮球的单价； (2)若学校欲用不超过 3 240 元，且不少于 3 200 元再次购进两种球 50 个，求出有哪几种购买 方案？ (3)在(2)的条件下，若已知足球的进价为 50 元，篮球的进价为 65 元，则在第二次购买方案中， 哪种方案商家获利最多？ 规律方法：解决此类问题，重在读懂题目，理解题意和弄清数量关系．通过阅读将实际问题分析、 抽象、转化为相关的代数式，进而列出方程或不等式，最终解答数学问题． 考点二：最值问题 例 2：(2012 年山东聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过 程中发现，每月销售量 y(单位：万件)与销售单价 x(单位：元)之间的关系可以近似地看作一 次函数 y＝－2x＋100(利润＝售价－制造成本)． (1)写出每月的利润 z(单位：万元)与销售单价 x(单位：元) 之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每 月能获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于 32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 第 6 讲阅读理解型问题 诠释定义; 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应特别引起我们的重视．这类问题一般 文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能 力，又考查学生的解题能力，属于新颖题． 解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新 知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题． 考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 考点二：阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 例 2：阅读下面的例题： 解方程 x2－|x|－2＝0. 解：(1)当 x≥0 时，原方程可化为 x2－x－2＝0， 解得 x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)． (2)当 x<0 时，原方程可化为 x2＋x－2＝0， 解得 x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2. 所以原方程的根是 x1＝2，x2＝－2. 请参照上述例题解方程 x2－|x－1|－1＝0，求方程的根。 阅读试题信息，借助已有方法或通过归纳探索解决新问题 提出新问题 若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大(小)值是多少？ 例 1：从 A，B，C 3 人中选取 2 人当代表，有 A 和 B，A 和 C，B 和 C 3 种不同的选法，抽象成数学模型是：从 3 个元素中 选取 2 个元素的组合，记作 C2 3＝3×2 2×1＝3.一般地，从 m 个元素 中选取 n 个元素的组合，记作 Cn m＝m m－1  m－2 ·…· m－n＋1 n n－1  n－2 ·…·2×1 . 根据以上分析，从 6 人中选取 4 人当代表的不同选法有 ______种． 例 3：(2012 年四川达州)问题背景 若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可 以设矩形的一边长为 x，面积为 s，则 s 与 x 的函数关系式为 s ＝－x2＋1 2x(x>0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的 最大值． 分析问题 若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系 式为 y＝2      x＋1 x (x>0)，问题就转化为研究该函数的最大(小)值 了． 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y＝2      x＋1 x (x>0)的最 大(小)值． 第 7 讲 开放探究题 诠释定义; 开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性， 学生犹如八仙过海，各显神通． 探索性问题的特点是：问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、 比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所求的结论、条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决 问题的能力和创新意识．开放探究题常见的类型有：①条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件 不唯一；②结论开放型，即在给定的条件下，结论不唯一；③策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一． 考点一条件开放与探索 (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个关系式作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写 形式：“如果……那么……”)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 考点二 结论开放与探索 例 2：有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点 甲：对称轴是 x＝4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点 的三角形的面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：----------------- 考点三：策略开放与探索 解：根据题意，可考虑圆心分别在顶点、直角边和斜边上，设计出符合题意的方案示意图．可以设计如图 Z7 －2 的四种方案． x … 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 … y … … (1)实践操作：填写上表，并用描点法在图 Z6－1 中画出函 数 y＝2      x＋1 x (x>0)的图象； (2)观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x＝________时， 函数 y＝2       x＋1 x (x>0)有最____值(填“大”或“小”)，是 ________； (3)推理论证：在问题背景中提到，通过配方可求二次函数 s＝－x2＋1 2x(x>0)的最大值．请你尝试通过配方求函数y＝2      x＋1 x (x>0)的最大(小)值，以证明你的猜想[提示：当 x＞0 时，x＝( x)2]． 例 1：(2012 年四川广元)如图 Z7－1，在△AEC 和△DFB 中，∠E＝∠F，点 A，B，C，D 在同一直线上，有如下三个关 系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF. 例 3：在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布 料．现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AC＝BC＝4.今要从这 种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边 缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边 相切．请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半 径(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)．