天津市南开区中考圆证明题专项复习试卷含答案

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天津市南开区中考圆证明题专项复习试卷含答案

‎2018年 九年级数学中考复习 圆 证明题 专项复习卷 ‎1、如图,点A,B在⊙O上,直线AC是⊙O的切线,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.求证:AC=CD.‎ ‎2、如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.‎ ‎(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;    ‎ ‎(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.    ‎ ‎3、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,以BD为直径的⊙O和AB相切于点P.‎ ‎(1)求证:BP平分∠ABC;    ‎ ‎(2)若PC=1,AP=3,求BC的长.    ‎ ‎4、已知:如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,∠PBA=∠C.‎ ‎(1)求证:PB是⊙O的切线.‎ ‎(2)若OP∥BC,且OP=8,∠C=60°,求⊙O的半径.‎ ‎5、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点M,MN⊥AC于点N.‎ 求证:MN是⊙O的切线.‎ ‎6、如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:∠BDC=∠A;‎ ‎(2)若CE=4,DE=2,求⊙O的直径.‎ ‎7、已知:AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.‎ ‎(1)求证:DC=BD ‎(2)求证:DE为⊙O的切线.‎ ‎ ‎ ‎8、如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的直线与AB的延长线交于点D,连接AC,BC,∠BCD=∠CAB.E是⊙O上一点,弧CB=弧CE,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证:DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为3,sinD=,求线段AF的长.‎ ‎9、如图,已知MN是⊙O的直径,直线PQ与⊙O相切于P点,NP平分∠MNQ.‎ ‎(1)求证:NQ⊥PQ;‎ ‎(2)若⊙O的半径R=2,NP=,求NQ的长.‎ ‎10、已知:AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC;连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.   ‎ ‎ (1)求证:DC=BD ‎ ‎ (2)求证:DE为⊙O的切线 ‎11、如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF和AD.‎ ‎(1)求证:EF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为2,∠EAC=60°,求AD的长.‎ ‎12、如图,AB是⊙O的直径,点E是上的一点,∠DBC=∠BED.‎ ‎⑴求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎⑵已知AD=3,CD=2,求BC的长.‎ ‎13、如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.‎ ‎(1)求∠ABC的度数;‎ ‎(2)求证:AE是⊙O的切线;‎ ‎(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.‎ ‎14、已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.‎ ‎(1)求证:AB=AC;‎ ‎(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.‎ ‎15、如图,以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点,且与边AB相交于点E,D是弧BE的中点,CD交AB于F,AC=AF.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若EF=5,DF=,求⊙O的半径.‎ 参考答案 ‎1、∵直线AC与⊙O相切,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,即∠OAB+∠CAB=90°,‎ ‎∵OC⊥OB,∴∠BOC=90°,∴∠B+∠ODB=90°,‎ 而∠ODB=∠ADC,∴∠ADC+∠B=90°,∴OA=OB,‎ ‎∴∠OAB=∠B,∴∠ADC=∠CAB,∴AC=CD.‎ ‎2、(1)解:PC与圆O相切,理由为:  过C点作直径CE,连接EB,如图, ∵CE为直径,∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°,∵AB∥DC,∴∠ACD=∠BAC, ∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.∴∠E=∠BCP, ∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°,∴CE⊥PC,∴PC与圆O相切; (2)解:∵AD是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AD, ∵BC∥AD,∴AM⊥BC,∴BM=CM=BC=3,∴AC=AB=9, 在Rt△AMC中,AM= =6, 设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=6﹣r, 在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2, 即32+(6﹣r)2=r2, 解得r=, ∴CE=2r= ,OM=6 ﹣ = ,∴BE=2OM= , ∵∠E=∠MCP,∴Rt△PCM∽Rt△CEB,∴ = ,即 = ,∴PC= ‎ ‎3、(1)证明:连接OP, ∵AC是⊙O的切线,∴OP⊥AC,BC⊥AC,∴OP∥BC,∴∠OPB=∠PBC, ∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠PBC=∠OBP,∴BP平分∠‎ ABC (2)作PH⊥AB于H.∵PB平分∠ABC,PC⊥BC,PH⊥AB,∴PC=PH=1, 在Rt△APH中,AH= =2 ,∵∠A=∠A,∠AHP=∠C=90°,∴△APH∽△ABC, ∴ = ,∴ = ,∴AB=3 ,∴BH=AB﹣AH= , 在Rt△PBC和Rt△PBH中,,∴Rt△PBC≌Rt△PBH,∴BC=BH= .       4、(1)证明:连接OB,∵AC是⊙O直径,∴∠ABC=90°,‎ ‎∵OC=OB,∴∠OBC=∠C,∵∠PBA=∠C,∴∠PBA=∠OBC,即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°,‎ ‎∴OB⊥PB,∵OB为半径,∴PB是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵OC=OB,∠C=60°,∴△OBC为等边三角形,∴BC=OB,‎ ‎∵OP∥BC,∴∠CBO=∠POB,∴∠C=∠POB,‎ 在△ABC和△PBO中∵,∴△ABC≌△PBO(ASA),∴AC=OP=8,即⊙O的半径为4.‎ ‎5、证明:连接OM,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵OB=OM,∴∠B=∠OMB,∴∠OMB=∠C,∴OM∥AC,‎ ‎∵MN⊥AC,∴OM⊥MN.∵点M在⊙O上,∴MN是⊙O的切线.‎ ‎6、(1)证明:连接OD,‎ ‎∵CD是⊙O切线,∴∠ODC=90°,即∠ODB+∠BDC=90°,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠ODB+∠ADO=90°,∴∠BDC=∠ADO,‎ ‎∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BDC=∠A;‎ ‎(2)∵CE⊥AE,∴∠E=∠ADB=90°,‎ ‎∴DB∥EC,∴∠DCE=∠BDC,∴∠DCE=∠A,∵CE=4,DE=2‎ ‎∴在Rt△ACE中,可得AE=8∴AD=6‎ 在在Rt△ADB中  可得BD=3∴根据勾股定理可得 ‎7、证明:(1)连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,∴DC=BD;‎ ‎(2)连接半径OD,∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠CED,‎ 又∵DE⊥AC,∴∠CED=90°,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.‎ ‎8、(1)证明:连接OC,BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°.‎ ‎∵OA=OC,∴∠1=∠2.∵∠DCB=∠BAC=∠1.∴∠DCB+∠3=90°.∴OC⊥DF.∴DF是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:在Rt△OCD中,OC=3,sinD=.∴OD=5,AD=8.‎ ‎∵=,∴∠2=∠4.∴∠1=∠4.∴OC∥AF.∴△DOC∽△DAF.∴.∴AF=.‎ ‎9、(1)证明:连结OP,如图,∴直线PQ与⊙O相切,∴OP⊥PQ,‎ ‎∵OP=ON,∴∠ONP=∠OPN,∵NP平分∠MNQ,∴∠ONP=∠QNP,∴∠OPN=∠QNP,∴OP∥NQ,∴NQ⊥PQ;‎ ‎(2)解:连结PM,如图,∵MN是⊙O的直径,∴∠MPN=90°,‎ ‎∵NQ⊥PQ,∴∠PQN=90°,而∠MNP=∠QNP,∴Rt△NMP∽Rt△NPQ,‎ ‎∴=,即=,∴NQ=3.‎ ‎10、(1)证明:(1)连接AD;∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.‎ 又∵AB=AC∴DC=BD ‎(2)连接半径OD;∵OA=OB,CD=BD,∴OD∥AC.∴∠0DE=∠CED.‎ 又∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.‎ ‎11、(1)证明:连接CE,如图所示:‎ ‎∵AC为⊙O的直径,∴∠AEC=90°.∴∠BEC=90°.‎ ‎∵点F为BC的中点,∴EF=BF=CF.∴∠FEC=∠FCE.‎ ‎∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE.∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°,‎ ‎∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.∴EF是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵OA=OE,∠EAC=60°,∴△AOE是等边三角形.∴∠AOE=60°.∴∠COD=∠AOE=60°.‎ ‎∵⊙O的半径为2,∴OA=OC=2在Rt△OCD中,∵∠OCD=90°,∠COD=60°,‎ ‎∴∠ODC=30°.∴OD=2OC=4,∴CD=.在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°,AC=4,CD=.‎ ‎∴AD==.‎ ‎ ‎ ‎12、1)AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,从而得出∠BAD=∠DBC,即∠ABC=90°,即可证明BC是⊙O的切线;(2)可证明△ABC∽△BDC,则=,即可得出BC=; ‎ ‎13、解:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°; ‎ ‎(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC=30°,‎ ‎∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线;‎ ‎(3)如图,连接OC,∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°,∴劣弧AC的长为.‎ ‎14、(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,∵∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC;‎ ‎ (2)解:连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BC,由(1)知AB=AC,∴BE=CE=BC=,‎ ‎∵△CDE∽△CBA,∴,∴CE•CB=CD•CA,AC=AB=4,‎ ‎∴•2=4CD,∴CD=.‎ ‎15、(1)证明:连结OD、OC,如图,∵D是弧BE的中点,∴OD⊥BE,∴∠D+∠3=90°,‎ ‎∵∠3=∠2,∴∠D+∠2=90°,∵AF=AC,OD=OC,∴∠1=∠2,∠D=∠4,‎ ‎∴∠1+∠4=90°,∴OC⊥AC,∴AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:设⊙O的半径为r,则OF=OE﹣EF=r﹣5,‎ 在Rt△ODF中,∵OD2+OF2=DF2,∴r2+(r﹣5)2=()2,‎ 整理得r2﹣5r﹣6=0,解得r1=6,r2=﹣1,∴,⊙O的半径为6.‎
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