2014湖南省长沙市中考数学试卷

2014湖南省长沙市中考数学试卷

‎2014年湖南省长沙市中考数学试卷 ‎（满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分）‎ 1、 ‎1.（2014湖南省长沙市，第1题，3分）的倒数是（ ）‎ A 2 B ‎-2 ‎ C D －‎ ‎【答案】A ‎2. （2014湖南省长沙市，第2题，3分）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）‎ A 圆锥 B 六棱柱 C 球 D 四棱锥 ‎【答案】C ‎3. （2014湖南省长沙市，第3题，3分）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（ ）‎ A 3和3 B 3 和‎4 C 4和3 D 4 和4 ‎ ‎【答案】B ‎4. （2014湖南省长沙市，第4题，3分）平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）‎ A、相等 B、互相平分 C、互相垂直 D、互相垂直且相等 ‎【答案】B ‎5. （2014湖南省长沙市，第5题，3分）下列计算正确的是（ ）‎ A B C ‎2a+‎3a=‎6a D ‎ ‎【答案】D ‎6. （2014湖南省长沙市，第6题，3分）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=‎10 cm,BC=‎4 cm,则AD的长为（ ）‎ A ‎2 cm B ‎3 cm C ‎4 cm D ‎‎6 cm ‎【答案】B ‎7. （2014湖南省长沙市，第7题，3分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）‎ A x＞1 B x≥‎1 C x＞3 D x≥3‎ ‎【答案】C ‎8. j（2014湖南省长沙市，第8题，3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（ ）‎ A 1 B C 2 D 2‎ ‎【答案】C ‎9. j（2014湖南省长沙市，第9题，3分）下列四个图形图案中，分别以它们所在圆 的圆 心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）‎ ‎【答案】A ‎10. （2014湖南省长沙市，第10题，3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）‎ ‎【答案】D 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分.）‎ ‎11. （2014湖南省长沙市，第11题，3分）如图，直线a//b,直线c分别与a，b相交，∠1＝70°则∠2＝ 度.‎ ‎【答案】110‎ ‎12. （2014湖南省长沙市，第12题，3分）抛物线的顶点坐标是 .‎ ‎【答案】（2，5）‎ ‎13. （2014湖南省长沙市，第13题，3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=100°则∠ACB= 度.‎ ‎【答案】50‎ ‎14. （2014湖南省长沙市，第14题，3分）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则k= .‎ ‎【答案】2‎ ‎15. （2014湖南省长沙市，第15题，3分）100件外观相同的产品中有5 件不合格，现从中任意抽取1 件进行检测，抽到不合格产品的概率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎16. （2014湖南省长沙市，第16题，3分）如图，在ΔABC中，DE//BC，,ADE的面积是8，则ABC的面积为 .‎ ‎【答案】18‎ ‎17. j（2014湖南省长沙市，第17题，3分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB//DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .‎ ‎【答案】6‎ ‎18.jsc（2014湖南省长沙市，第18题，3分）如图在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（－2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 . ‎ ‎【答案】（－1，0）‎ 三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19. （2014湖南省长沙市，第19题，6分）计算 ‎【答案】解：原式=1+2－3+＝1‎ ‎20. （2014湖南省长沙市，第20题，6分）先化简，再求值：，其中x＝3‎ ‎【答案】解：原式=·＝‎ ‎ 当时，原式＝＝‎ 四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21. （2014湖南省长沙市，第21题，8分）‎ 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙―――我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图.‎ 调查问卷 在下面四种长沙小吃中你最喜爱的是（ ）单选 A 臭豆腐 B口味虾 C 田螺 D糖油粑粑 请根据所给信息解答以下问题：‎ ‎（1）请补全条形统计图；‎ ‎（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？‎ ‎（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球.请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率.‎ ‎【答案】解：（1）50－14－21－5＝10（条形图略）‎ ‎ （2）2000×＝560（人）‎ ‎ ∴估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人.‎ ‎（3） ‎ A B C D A ‎(A,A)‎ ‎(A,B)‎ ‎(A,C)‎ ‎(A,D)‎ B ‎(B,A)‎ ‎(B,B)‎ ‎(B,C)‎ ‎(B,D)‎ C ‎(C,A)‎ ‎(C,B)‎ ‎(C,C)‎ ‎(C,D)‎ D ‎(D,A)‎ ‎(D,B)‎ ‎(D,C)‎ ‎(D,D)‎ 共有16种等可能结果，其中两次都摸到A的有1种，‎ ‎∴P（两次都摸到A）＝‎ ‎22. j（2014湖南省长沙市，第22题，8分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O.‎ ‎（1）求证：ΔAOE≌COD；‎ ‎(2)若∠OCD=30°，AB=,求ΔAOC的面积。‎ ‎【答案】（1）证明：由折叠的性质可得：AE＝AB , ∠E＝∠B＝90°‎ ‎ ∵四边形ABCD是矩形 , ∴CD＝AB , ∠D＝90°‎ ‎ ∴AE＝CD , ∠E＝∠D＝90°‎ ‎ 在△AOE和△COD中 ‎ ∠AOE＝∠COD ‎ ∠E＝∠D ‎ AE＝CD ‎ ∴△AOD≌△COD(AAS)‎ ‎（2）∵∠OCD＝30°， AB＝＝CD ‎ ∴OD＝CD·tan∠OCD＝·tan30°＝×＝1 , OC＝2‎ ‎ 由折叠知：∠BCA＝∠ACO ‎ ∵AD∥BC ∴∠OAC＝∠BCA ‎ ∴∠OAC＝∠ACO ∴OA＝OC＝2‎ ‎ ∴‎ 五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）‎ ‎23. （2014湖南省长沙市，第23题，9分）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如茶地进行.某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。‎ ‎（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？‎ ‎（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？‎ ‎【答案】解：（1）设需购买甲树苗棵，则购买乙树苗（400－）棵 ‎ 依题意得：200+300（400－）＝90000‎ ‎ 解得：＝300 ‎ ‎ ∴400－＝400－300＝100（棵）‎ ‎ 答：需购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵.‎ ‎ （2）由题意得：200≥300（400－）‎ ‎ 解得： ≥240‎ ‎ ∴至少要购买甲种树苗240棵.‎ ‎24. （2014湖南省长沙市，第24题，9分）如图，以ΔABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D 作⊙O的切线交AC于点E.‎ ‎（1）求证：DE⊥AC;‎ ‎(2)若AB=3DE，求tan∠ACB的值。‎ ‎【答案】（1）证明：连接OD ‎ ‎ ∵DE是⊙的切线，∴OD⊥DE ‎ ∵O是AB的中点，D是BC的中点 ‎ ∴OD∥AC ∴DE⊥AC ‎ ‎ ‎（2）解：连接AD ‎∵AB是⊙的直径 ∴∠ADB＝90°， AD⊥DE ‎ ∵D是BC的中点 , ∴AB＝AC ‎ 过点O作OM⊥AE , ∵AB＝3DE ‎ ‎ ∴OA＝DE＝OD ， OM＝DE , ME＝OD＝DE ‎ ∴AM＝DE ‎ ∴CE＝AC－AM-ME＝3DE－DE－DE＝DE ‎ ∴tan∠ACB＝＝＝‎ 六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25. （2014湖南省长沙市，第25题，10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点（－1，1），（0，0），（，），……都 是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.‎ ‎（1）若点P(2,m)是反比例函数的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；‎ ‎（2）函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若二次函数（a，b是常数，a＞0）的图像上存在两个不同的“梦之点”A且满足－2＜＜2，｜－｜＝2，令t=试求t的取值范围.‎ ‎【答案】解：（1）∵点P（2，m）是梦之点 , ∴＝2 ，P（2,2）‎ ‎ 将点P（2,2）代入中得：＝4‎ ‎ ∴‎ ‎ （2）∵函数的图象上存在梦之点 ‎ ∴设该梦之点为（，） ，代入得 ‎ ∴，‎ ‎ ①当，即时，，，‎ ‎ 此时直线上所有点都是梦之点；‎ ‎ ②当时，，点为（ ，）,‎ ‎ 代入则此方程无解，不存在梦之点.‎ ‎ （3）由题意知： ，即 ‎ ∵ ，是方程的两个根，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ ∴ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ①当时，‎ ‎ ∵ , ∴当时，，即 ‎ ∴ ∴ ∴‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴当时， ∴‎ ‎ ② 当时，‎ ‎ ∵ ， ∴当时，，即 ‎ ∴ ∴ ∴‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴当时， ∴‎ ‎ 综上所述，的取值范围是 ‎26. （2014湖南省长沙市，第26题，10分）如图，抛物线（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆 心的⊙P总经过定点A（0，2）.‎ ‎（1）求a，b，c的值；‎ ‎（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；‎ ‎（3）设⊙P与x轴相交于M＜)两点，当ΔAMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标.‎ ‎【答案】解：（1） ， ， ‎ ‎ （2）设 ‎ 如图，过作轴于,轴于 ‎ 则 ，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴ ，即 ‎ ∴ ⊙始终与轴相交.‎ ‎ （3）由（2）知 ,‎ ‎ 由勾股定理知 ,由垂径定理得：‎ ‎ 又∵为等腰三角形，分三种情况讨论：‎ ‎ ①当时，∵ ‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ 代入得 ‎ 即点的纵坐标为 ‎ ②当时，点的横坐标为 ‎ 同理：点的纵坐标为 ‎ ③当,在原点（0，0）处 ‎ 综上，点的纵坐标为0或