全国中考数学压轴题精选精析一

全国中考数学压轴题精选精析一

‎2008年全国中考数学压轴题精选精析（一）‎ ‎1．（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎（08广东中山22题解析）解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 ‎2.（08湖北十堰25题）已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；‎ ‎⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（08湖北十堰25题解析）解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．‎ ‎⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，‎ ‎∴AB＝4．∴‎ 在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，‎ ‎∴‎ ‎∴b＝ ………………………………3分 当时，‎ ‎∴　 ………………………………4分 ‎∴ ………………5分 ‎⑶存在．……………………………6分 理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．‎ ‎①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．‎ 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．‎ ‎∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分 说明：少求一个点的坐标扣1分．‎ ‎②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．‎ 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．‎ ‎∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．‎ ‎∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．‎ ‎∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．‎ ‎∴点M的坐标为． ……………………………12分 说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，‎ 然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．‎ 综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．‎ 说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。‎ ‎3.（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）‎ 如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与 轴分别交于点．‎ ‎（1）求直线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：‎ ‎①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；‎ A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题图）‎ D II ‎②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08江苏连云港24题解析）24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，‎ 知两点的坐标分别为．‎ 设直线所对应的函数关系式为． 2分 有解得 A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题答图）‎ K II 所以，直线所对应的函数关系式为． 4分 ‎（2）①点到轴距离与线段的长总相等．‎ 因为点的坐标为，‎ 所以，直线所对应的函数关系式为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以可设点的坐标为．‎ 过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．‎ 因为点在直线上，所以有． 6分 因为纸板为平行移动，故有，即．‎ 又，所以．‎ 法一：故，‎ 从而有．‎ 得，．‎ 所以．‎ 又有． 8分 所以，得，而，‎ 从而总有． 10分 法二：故，可得．‎ 故．‎ 所以．‎ 故点坐标为．‎ 设直线所对应的函数关系式为，‎ 则有解得 所以，直线所对的函数关系式为． 8分 将点的坐标代入，可得．解得．‎ 而，从而总有． 10分 ‎②由①知，点的坐标为，点的坐标为．‎ ‎． 12分 当时，有最大值，最大值为．‎ 取最大值时点的坐标为． 14分 ‎4.（08江苏连云港）25．（本小题满分12分）‎ 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．‎ A A B B C C ‎（第25题图1）‎ ‎（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；‎ G H E F ‎（第25题图2）‎ ‎（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．‎ ‎（08江苏连云港25题解析）25．解：（1）如图所示： 4分 A A B B C C ‎（第25题答图1）‎ ‎（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）‎ ‎（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分 G H E F ‎（第25题答图2）‎ M ‎（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）． 10分 理由如下：‎ 由，‎ ‎，，‎ 故是锐角三角形，‎ 所以其最小覆盖圆为的外接圆，‎ 设此外接圆为，直线与交于点，‎ 则．‎ 故点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．‎ 所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．‎ ‎ 12分 ‎（第28题）‎ A B C D O y/km ‎900‎ ‎12‎ x/h ‎4‎ ‎5.（08江苏南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．‎ 根据图象进行以下探究：‎ 信息读取 ‎（1）甲、乙两地之间的距离为 km；‎ ‎（2）请解释图中点的实际意义；‎ 图象理解 ‎（3）求慢车和快车的速度；‎ ‎（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ 问题解决 ‎（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？‎ ‎（08江苏南京28题解析）28．（本题10分）‎ 解：（1）900； 1分 ‎（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． 2分 ‎（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，‎ 所以慢车的速度为； 3分 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h． 4分 ‎（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．‎ 设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得 解得 所以，线段所表示的与之间的函数关系式为． 6分 自变量的取值范围是． 7分 ‎（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．‎ 把代入，得．‎ 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 10分 ‎6.（08江苏南通）（第28题14分）‎ ‎28．已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A 点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A D x B C E N M ‎·‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ ‎ ‎ ‎（08江苏南通28题解析）28．解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ 从而．……………………………………………………………………3分 ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，‎ ‎∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）． ……………4分 ‎ S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =， ………………7分 ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴． …………………………8分 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎ 解得．‎ ‎∴直线CM的解析式是．………………………………………………11分 ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是 ‎．‎ 同理，……………………………13分 ‎∴．……………………14分 ‎7.（08江苏宿迁）27．（本题满分12分）‎ 如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．‎ ‎(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；‎ ‎(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；‎ 第27题 ‎(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．‎ ‎（08江苏宿迁27题解析）27．解：(1) ∵四边形为正方形 ∴‎ 第27题图1‎ ‎∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切；‎ ‎(2)直线与⊙相切分两种情况:‎ ‎ 　　①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 第27题图2‎ ‎∴　∴，故直线的函数关系式为；‎ ‎　　②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 ‎∴　∴，故直线的函数关系式为.‎ ‎(3)设,则,由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎8.（08江苏泰州）29．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）。‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）‎ ‎（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）‎ ‎（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足2<<3，试求实数k的取值范围。（5分）‎ ‎（08江苏泰州29题解析）九、（本题满分14分）‎ ‎29（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分 ‎（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）‎ 将（0，—）代入，解得a=.‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x- …………………………………3分 ‎（无论解析式是什么形式只要正确都得分）‎ 画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 ‎（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分 由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 ‎（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，‎ 对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），‎ y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，‎ 即＞×22+2-，解得K＞5。…………………………………11分 同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，‎ 即×32+3—＞，解得K＜18。…………………………………13‎ 所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分 ‎9.（08江苏无锡）27．（本小题满分10分）‎ 如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：‎ ‎（1）点的坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．‎ ‎（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过作轴于，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 点的坐标为． （2分）‎ B A D O P C x y 图1‎ ‎（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，‎ y x B C P O A E 图2‎ ‎，，‎ ‎． （4分）‎ ‎②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，‎ 过作于，则， （5分）‎ ‎，． （7分）‎ ‎③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，‎ 则，，‎ ‎． （8分）‎ y x A F C B P O G H 图3‎ 过作轴于，则，‎ ‎，‎ 化简，得，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所求的值是，和． （10分）‎ ‎10.（08江苏无锡）28．（本小题满分8分）‎ 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：‎ ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？‎ ‎（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？‎ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）‎ 图1‎ 图3‎ 图4‎ 图2‎ ‎（08江苏无锡28题解析）28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．‎ ‎ （3分）（图案设计不唯一）‎ ‎（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）‎ 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）‎ 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．‎ 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）‎ 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．‎ A D C B 图1‎ 图3‎ D C F B E A O B F D A E H O 图2‎ ‎11．（08湖南株洲23题）如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为. ‎ ‎（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.‎ ‎（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.‎ ‎（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.‎ ‎（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ y o x 图（1）‎ y o x 图（2）‎ l1‎ l2‎ ‎（08湖南株洲23题解析）‎ ‎（1）等 （满足条件即可） ……1分 ‎（2）设的解析式为，联立方程组，‎ 解得：，则的解析式为， ……3分 点C的坐标为（） ……4分 ‎（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.‎ 得：. ……5分 延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）‎ ‎①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）. …… 6分 ‎②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.‎ 综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，） …… 7分 ‎(4) 作图痕迹如答图23-2所示.‎ 由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置. …… 10分 答图23-2‎ E F 答图23-1‎ ‎12．（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.‎ （1） 求的长；‎ （2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？‎ （3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.‎ ‎ ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.‎ ‎（08湖北仙桃等4市25题解析） 解：（1）∵∥‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在中， ,‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴ 而 ‎ ∴为等边三角形 ‎ ∴…（3分）‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎= （）…………………………（6分）‎ 即 ‎∴当时，………………………………………（7分）‎ ‎（3）①若为等腰三角形，则：‎ ‎（i）若， ‎ ‎ ∴∥ ‎ ‎∴ 即 解得：‎ 此时………………………………（8分）‎ ‎（ii）若，‎ ‎ ∴‎ 过点作，垂足为，则有：‎ 即 解得：‎ 此时……………………………………（9分）‎ ‎（iii）若，‎ ‎∴∥‎ 此时在上，不满足题意.……………………………………………（10分）‎ ‎ ②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)‎