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文档介绍
备战2012中考梯形真题试题汇编400套
备战2012中考：梯形真题试题汇编（400套） 一、选择题 1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 （第12题图） 【答案】C 3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12 A B C D E F G （第6题图） 【答案】B 4. （2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线BD、AC相交于点O。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ） A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠3 C. ∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2 【答案】B 5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在上，且 ，＝3，＝9，＝8。若以为折线，将C折至上，使得与交于F点，则长度为何？ A． 4.5 B。5 C。5.5 D．6 【答案】B 6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（） A . CP 平分∠BCD B. 四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D. △ABF为等腰三角形 【答案】C 7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC, AB = 8cm,则△COD的面积为 A. B. C. D. 【答案】A 9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 A．40°． B．45°． C．50°． D．60°． 第7题图 A B C D 【答案】C 10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ). A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF （第12题图） 【答案】D 二、填空题 1. （2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形中,∥,,则 度. 图4 【答案】 2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是 ． 【答案】3 3. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。 【答案】2.提示：∠CAB=90°-60°=30°， 又∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠B=60°， ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。 又∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。 ∴CD=AD=BC=2cm。 4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______. 【答案】 5. （2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 ▲ cm． 【答案】15 6. （ 2011重庆江津， 13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________. 【答案】30· 7. ．(2011江苏南京，10，2分)等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝． 【答案】6 8. （2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有 个等腰梯形． ⑴ ⑵ ⑶ 【答案】100 9. （2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. 图4 【答案】2或 10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ． 【答案】等腰梯形 11. 12. 三、解答题 1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形. 【答案】 证明:因为DC‖AB，，所以. 又因为平分，所以 ………………2分 因为DC‖AB，所以，所以 所以 4分 因为，所以F为BD中点，又因为，所以 ……6分 由，得，所以为等边三角形. ………………8分 2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4， E为AB中点，EF∥DC交BC于点F， 求EF的长． E 【答案】解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC=AD， ∴BG=BC－AD=4－1=3， 在Rt△ABG中， AG=， ∵EF∥DC∥AG， ∴， ∴EF=． 3. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。 【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD ∴EC=BE=BC=AD 又∵AD∥EC ∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE∥DC ∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO ∴△AOE∽△COF （2）证明：连接DE ∵AD∥BE ，AD=BE ∴四边形ABED是平行四边形 又∠ABE=900 ∴□ABED是矩形 ∴GE=GA=GB=GD=BD=AE ∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴EF、GE是△CBD的两条中位线 ∴EF=BD=GD，GE=CD=DF 又GE=GD∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG是菱形 4. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF. 求证：DE=AF. 【答案】证明：∵BE=FC ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AB=DC ∠ B=∠C 在⊿DCE和⊿ABF中， DC=AB ∠B=∠C CE=BF ∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) ∴DE=AF 5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。 （1）求证：⊿MDC是等边三角形； （2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值. 【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q, ∵∠C=∠B=600 ∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD, 由已知，点M是BC的中点， BM=CM=AD=AB=CD, 即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形. （2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600 ∴∠BME=∠AMF） 在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) ∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB ∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF. ∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是. ⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF的周长的最小值为2+. 6. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F． (1)求证：△FOE≌ △DOC； (2)求sin∠OEF的值； (3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值． 【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌ △DOC；， (2) 在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴ (3) ∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴．∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴，∴，∵EF＝CD，∴ ，同理，∴，∴ 7. （2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点． 求证：△A DM≌△BCM. 【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD＝BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴ MA＝MB， ∴△ADM≌△BCM 8. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF． (1)求EG的长； (2)求证：CF ＝AB ＋AF． 【答案】 (1) 解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2， ∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝CB＝． (2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°， ∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°， ∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)， DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°， ∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA， ∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH， 又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF． 证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH． ∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°． 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF． 又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD． ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC． 又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°． ∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°． ∴∠ADB＝∠HDB． 又AD=HD， DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF． ∴CF＝CH＋HF=AB＋AF． 9. （2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。 （1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； （2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明） 【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形。证明如下： 连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点， 知EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC， ∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。 10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD =DC， 求证：AC是∠DAB的平分线． 图6 D A B C 【答案】解：∵， ∴. ∵，∴ . ∴ ， 即是的角平分线. 11. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD； （2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长． E C D A M N 图10 B 【答案】⑴证明： ， ，． ， ， ， ． 在． ⑵答案不唯一．如． 证明：，， ． 其相似比为：． ⑶ 由（2）得，． 同理. ． ⑷作， ，． ，，， ． ，， ． 12. （2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E. （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数. 【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC. 又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB. 在△ABD和△ECB中， ∴△ABD≌△ECB. （2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°. 又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°. ∴∠DCE=90°-∠EDC=25°. 解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°. 又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°. ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°. 13. （2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：AE＝DE 【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形 ∴∠B＝∠C ∵E是BC的中点 ∴BE＝EC 在△ABE的△DCE中 AB＝DC ∠B＝∠C BE＝EC ∴△ABE≌△DCE ∴AE＝DE 14. （2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2． (1)求证：OD＝OE； (3分) (2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形； (3分) (3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积． (2分) 【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC ， ∴∠BAD＝∠ABE， 又∵AB＝BA、∠2＝∠1， ∴△ABD≌△BAE(ASA)， ∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB， ∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．· (2) 证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE， ∴∠OED＝－∠DOE)， 同理：∠1＝－∠AOB)， 又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB， ∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行， ∴四边形ABED是梯形， 又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE ∴梯形ABED是等腰梯形． (3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， ∴，即：， ∴△ACB的面积＝18， ∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16 ． 15. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C。 （1）求证:四边形ABDE是平行四边形； （2）若DC=12，求AD的长。 【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180° ∴AB∥DC。即AB∥ED。 又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30° ∴∠E=∠BDC=30° ∴AE∥BD 所以 四边形ABDE是平行四边形 （2）解：由第（1）问，AB∥DC。 ∴四边形ABCD是梯形。 ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30° ∴∠ADC=∠BCD=60° ∴四边形ABCD是等腰梯形 ∴ BC=AD ∵ 在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30° ∴ ∠DBC=90°。又已知DC=12 ∴AD=BC=DC=6 16. （2011重庆市潼南,24,10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC. ⑴ 求证：AD=AE； ⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长. 【答案】解：（1）连接AC -------------------------------1分 ∵AB∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∴∠ACD=∠ACB --------------------------------2分 ∵AD⊥DC AE⊥BC ∴∠D=∠AEC=900 ∵AC=AC --------------------------------3分 ∴△ADC≌△AEC -------------------------------4分 ∴AD=AE --------------------------------5分 （2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC 设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8 -----------------------6分 在Rt△ABE中 ∠AEB=900 由勾股定理得： ----------------------8分 解得：x=10 ∴AB=10 ----------------------10分 17. （2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF． （1）证明：； （2）当时，求EF的长． F D B A E C 解：（1）过D作DG⊥BC于G． 由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分 ∵DE⊥DC， ∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC，且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC ． ∴DE=DC，且AE=GC． ……………………4分 在△EDF和△CDF中， ∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF． ∴EF=CF ． ………………………………………………………………………………6分 F D B A E C G （2）∵tan∠ADE==， ∴． ………………………………………7分 设，则，BE=6－2=4. 由勾股定理，得 ． 解之，得 ， 即． …………………………………………………10分 一、选择题 1．（2010安徽芜湖）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于（） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 2．（2010山东日照）已知等腰梯形的底角为45o，高为2，上底为2，则其面积为 （A）2 （B）6 （C）8 （D）12 【答案】C 3．（2010山东烟台）如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是 A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 【答案】C 4．（2010山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC的长为 C A B D O A． B．4 C． D． 【答案】A 5．（2010台湾）如图(十五)梯形ABCD的两底长为=6，=10，中线为， 且ÐB=90°，若P为上的一点，且将梯形ABCD分成面积相 同的两区域，则△EFP与梯形ABCD的面积比为何？ (A) 1：6 (B) 1：10 (C) 1：12 (D) 1：16 。 D C B A E F P 图(十五) 【答案】D 6．（2010 浙江省温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 7．（2010 浙江台州市）梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是(▲) A．3 B．4 C． 2 D．2+2 【答案】B 8．（2010浙江金华） 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD A C B D (第10题图) 的面积为（ ▲ ） A．cm2 B．6 cm2 C．cm2 D．12 cm2 【答案】A 9．（2010湖北省咸宁）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC的长为 A．3 B．6 C． D． 【答案】D 10．（2010湖北恩施自治州）如图5,EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移 到△AEF的位置，使EF与BC边重合，已知△AEF的面 积为7，则图中阴影部分的面积为： A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 11．（2010四川内江）（2010四川内江，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为 A B C D E F A．2 B．2－1 C．2.5 D．2.3 【答案】D 12．（2010 湖南湘潭）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC的长是 A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 13．（2010湖北十堰）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ） A D B C E F （第7题） A．12 cm2 B．18 cm2 C．24 cm2 D．30 cm2 【答案】C 14．（2010 湖北咸宁）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC的长为 A．3 B．6 C． D． 【答案】D 15．（2010四川达州） 如图4，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由 A→M→N→C的小路（M、N分别是AB、CD中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪， 实际上他们仅少走了图4 A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 图4 【答案】B 16．（2010湖南娄底）下列说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 等腰梯形的对角线相等 【答案】B 1二、填空题 1．（2010甘肃兰州） 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为 ． 【答案】5 2．（2010浙江宁波）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD. 若∠ABC=60°，BC=12，则梯形 ABCD 的周长为 ▲ . 【答案】30 3．（2010湖南长沙）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是，则等腰梯形的腰长是 cm． 【答案】6 4．（2010江苏无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于 ▲ cm． （第17题） 【答案】3 5．（2010 黄冈）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm. 【答案】18 6．（2010湖北武汉）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，下列结论：①BH=DH；②CH=EH；③.其中正确的是（ ） A、①②③ B、只有②③ C、只有② D、只有③ 【答案】 B 7．（2010湖南怀化）如图5，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm， AD=6cm，CD=9cm，则BC= cm． 【答案】10 8．（2010江苏扬州）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． A B C D 第18题 P 【答案】3 9．（2010湖北随州）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm. 【答案】18 10．（2010云南昆明）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， 若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是 cm． A B C D E F 第11题图图 【答案】5 11．（2010陕西西安）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＋∠B=90°。若AB=10， AD=4，DC=5，则梯形ABCD的面积为 。 【答案】18 12．（2010湖北十堰）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= . （第16题） A N1 N2 N3 N4 N5 P4 P1 P2 P3 M1 M2 M3 M4 … 13．（2010广东清远）如图3，DE是△ABC的中位线，若△ADE的周长是18， 则△ABC的周长是 . 【答案】36 14．（2010四川攀枝花）如图6，在梯形ABCD中，AB∥DC,DB⊥AD,AD=DC=BC=2cm, 那么梯形ABCD的面积是 ． 图6 D C B A 【答案】3cm2 【答案】 15．（2010 重庆江津）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝３， BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边 BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交 AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积的最大 值是_______________． 【答案】 16．（2010四川攀枝花）如图1，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE, 下列结论不正确的是（ ） A．Ｓ△AFD =2Ｓ△EFB B．BF=DF C．四边形AECD 是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC B A 图1 C E D F 【答案】A 17．（2010湖北黄石）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC＝∠BAC＝90°,AB＝2,CD＝,则AD的长为（ ） A. B.2 C.3 D. 【答案】C 三、解答题 1．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB． （1）求证：△ADF ∽△CAE； （2）当AD＝8，DC＝6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积 （1）证明： 【答案】 2．（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC． 求证：∠A＋∠C＝180° 【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠B＝∠C 又∵AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180° ∴∠A＋∠C＝180° 3．（2010江苏南京）（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD。 求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD. 【答案】 4．（2010江苏盐城）（本题满分8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD． （1）求sin∠DBC的值； （2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积． B A C D 【答案】解：(1)∵AD=AB ∴∠ADB=∠ABD ∵AD∥CB ∴∠DBC= ∠ADB=∠ABD ……………（1分） ∵在梯形ABCD中，AB=CD ，∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC ∵BD⊥CD ∴3∠DBC=90º ∴∠DBC=30º ……（3分） ∴sin∠DBC= ……………………（4分） B A C D F （第22题图） （2）过D作DF⊥BC于F …………………………（5分） 在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=2（cm） …………………（6分） 在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBC=（cm） …………………（7分） ∴S梯=(2+4)·=3（cm2）………………………………………（8分） （其它解法仿此得分） 5．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC； （3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º． 求 的值． 【答案】 6．（2010 重庆）已知：如图，在直角梯形中，∥ ，．点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．点在线段上，且满足，． 21世纪教育网 （1）若，求证：； （2）求证：． 24题图 【答案】 证明：（1）连结． （1分） ∵点是的中点，，∴． （2分） 又∵，，∴≌． （3分） ∴． （4分） ∵∥，． ∴，∴． （5分） 在Rt中，， ∴，即． （6分） （2）∵≌，∴． ∵∥，∴． ∴． （7分） ∵，，∴． （8分） ∴． （9分） 在Rt中，． （10分） 7．（2010 四川南充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD． 求证：四边形ABCD是等腰梯形． A D C B M 【答案】证明：∵ MA＝MD，∴ △MAD是等腰三角形， ∴ ∠DAM＝∠ADM． ∵ AD∥BC， ∴ ∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM． ∴ ∠AMB＝∠DMC． 又∵ 点M是BC的中点，∴ BM＝CM． 在△AMB和△DMC中， ∴ △AMB≌△DMC． ∴ AB＝DC，四边形ABCD是等腰梯形． 8．（2010年上海）已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图7所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. （1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形； （2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC. 图7 【答案】证明：(1)如图∵AB=AD，AE为∠BAD的平分线，∴BG=DG, ∵AD//BC，∴∠ADG=∠GBE,∠DAG=∠GEB∴ΔADG≌ΔEGB,∴AG=GE, ∴四边形ABED为平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABED是菱形. （2）∵四边形ABED是菱形, ∠ABC＝60°，∴∠DBE=∠BDE=30°,∠BGE=90°, 设GE=,∴BD=2BG=2，BE=2,CE=4,BC=6,∴,∵∠DBE为公共角， ∴ΔBDE∽ΔBCD, ∴∠BDE=∠C,∴∠C=30°,∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ABC=60°, ∴∠CDE=90°,∴ ED⊥DC. 9．（2010重庆綦江县）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF． （1）证明：EF＝CF； （2）当tan∠ADE＝时，求EF的长． 【答案】解：（1）如图，过D作DG⊥BC于G，连结EF 由已知可得四边形ABGD为正方形 ∵DE⊥DC ∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG ∴∠ADE＝∠GDC 又∵∠A＝∠DGC且AD＝GD ∴△ADE≌△GDC ∴DE＝DC且AE＝GC 在△EDF和△CDF中 ∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边 ∴△EDF≌△CDF（SAS） ∴EF＝CF （2）∵tan∠ADE＝ ∴AE＝GC＝2 设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝4 由勾股定理x2＝＋42 解得：x＝5，∴EF＝5． 10．（2010 江苏连云港）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________； （2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由． AD BAD EBAD CFEBAD DQFEBAD 图1 AD BAD CFEBAD DQFEBAD 图2 【答案】 11．（2010 河北）如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止． 设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)． （1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积． （3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由． M A D C B P Q E 图16 A D C B （备用图） M 【答案】解：（1）y = 2t； （2）当BP = 1时，有两种情形： ①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = = 4，MP = MQ = 3， A D C B P M Q E 图6 ∴PQ = 6．连接EM， ∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴． ∵AB = ，∴点E在AD上． ∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面 积为． ②若点P从点B向点M运动，由题意得 ． PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的 A D C B P M Q E F H G 图7 延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则 HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°， ∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为． （3）能． 4≤t≤5． 12．（2010浙江湖州）如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°， （1）求∠ABD的度数； （2）若AD＝2，求对角线BD的长． 【答案】（1）∵DC∥AB，AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠A＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°． （2）∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝4，∴对角线BD＝ 13．（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. (1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么. (2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？ 【答案】解：(1) 四边形EFGH为平行四边形.....................................1分 连接AC.............................................. ..............2分 ∵E、F分别是AB、BC的中点，EF∥AC，EF=AC. 同理HG∥AC，HG=AC. ∴EF∥HG, EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. .................... ..............4分 (2) 四边形ABCD的对角线垂直且相等. 14．（2010广东中山）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=，∠E=∠ABC=，AB=DE=4． （1）求证：ΔEGB是等腰三角形； （2）若纸片DEF不动，问ΔABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高． 【答案】（1）证明：在RtΔEFB中，∠E= ∴∠EBF= 又∵∠ABC= ∴∠EBG=∠E= ∴EG=BG ∴ΔEGB是等腰三角形 （2）解：答案填30， 设CB交DE于点M，当∠BFD=时，∠FMD= 所以，AC∥DE， 即四边形ACDE成为以ED为底的梯形 在RtΔABC和RtΔDEF中，∠E=∠ABC=，AB=DE=4， ∴BC=，DF=2 ∴CF=-2 在RtΔFDM中，求得FM= ∴CM=-2+=-2 故梯形的高为-2． 15．（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°． （1）直接写出D点的坐标； （2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系； （3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积． 【答案】解：（1）D点的坐标是. （2）连结OD,如图（1）， 由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则 ∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF ∴，即： ∴y与x的解析式为： （3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况. 当EF=AF时，如图（2）. ∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°, ∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）, B在A’F上（A’F⊥EF） ∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为 四边形EFBD的面积. ∵ ∴ ∴ ∴（也可用） ②当EF=AE时，如图（3）， 此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积. ∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA ∴四边形DEAB是平行四边形 ∴AE=DB= ∴ ③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内. ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积. 由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE= 过F作FH⊥AE于H,则 ∴ 综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或 16．（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）． （1）当时，求线段的长； （2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． A B C D （备用图1） A B C D （备用图2） Q A B C D l M P （第24题） E 【答案】解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形． Q A B C D l M P （第24题） E F ∴，． 此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 ∴． 即，∴． （2）∵为锐角，故有两种情况： ①当时，点P与点E重合． 此时，即，∴． A B C D （备用图1） Q P E l M ②当时，如备用图1， 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴． 由（1）知，， 而， ∴． ∴． 综上所述，或． （3）为定值． 当＞2时，如备用图2， A B C D （备用图2） M Q R F P ． 由（1）得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形AMQP为矩形． ∴∥． ∴△CRQ∽△CAB． ∴． 17．（2010北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B的度数及AC的长． 【答案】解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足． ∴∠AFB＝∠DGC＝90°． ∵AD∥BC， ∴四边形AFGD是矩形． ∴AF＝DG． ∵AB＝DC， ∴Rt△AFB≌Rt△DGC． ∴BF＝CG． ∵AD＝2，BC＝4， ∴BF＝1． 在Rt△AFB中，∵cosB＝＝， 21世纪教育网 ∴∠B＝60°． ∵BF＝1． ∴AF＝． 由勾股定理，得AC＝． ∴∠B＝60°，AC＝． 解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E． ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∴AD＝EC，AE＝DC． ∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4， ∴AE＝BE＝EC＝AB． 可证 △BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形． ∴∠BAC＝90°，∠B＝60°． 在Rt△ABC中，AC＝AB·tan60°＝． ∴∠B＝60°，AC＝＝． 18．（2010北京）问题:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ； 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ． （2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 【答案】解：（1）相等；15°；1:3． (2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同． 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK. ∵∠BAC≠90° ∴四边形ABKC是等腰梯形． ∴CK=AB， ∵DC=DA， ∴∠DCA=∠DAC． ∵∠KCA=∠BAC， ∴∠KCD=∠3． ∵△KCD≌△BAD． ∴∠2=∠4，KD=BD， ∵BK∥AC， ∴∠ACB=∠6． ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6． ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB． ∴∠KBD=60°． ∵∠ACB=∠6=60°－∠1， ∴ ∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1． ∵∠1 +(60°－∠1) +(120°－2∠1)+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1． ∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3． 19．（2010河南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=，点P是BC边上一动点，设PB长为x. (1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行网边形. (3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由. 【答案】（1）3或8； （2）1或11； （3）由（2）知，当BP = 11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. ∴EP = AD = 5. 过D作DF⊥BC于F，则DF = FC = 4 ，∴ FP = 3. ∴ DP = . ∴ EP = DP,故此时平行四边形PDAE是菱形. 即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形. 20．（2010四川乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O. 过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如图（12.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1； （2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直. ①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由； ②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由） h2 h1 E F G O C A B D h3 l h3 h1 h2 E F l C A B D O (G) O h2 h1 h3 F E G l C A B D 图（12.3） 图（12.2） 图（12.1） 【答案】25.（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l， ∴四边形BCFE是梯形. 又∵GD⊥l，D是BC的中点， ∴DG是梯形的中位线， ∴BE+CF=2DG. 又O为AD的中点，∴AG=DG， ∴BE+CF=2AG. 即h2+h3= 2h1. （2）成立. 证明：过点D作DH⊥l，垂足为H， ∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD， ∴△AGO≌△DHO， ∴DH=AG. 又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质， 得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF， ∴h2+h3= 2h1成立. （3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2h1. （说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分） 21．（2010黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点B的坐标； （2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当t为何值时，？ 【答案】解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂中为N 由题意知OB=OC=10，BN=OA=8 …………1分 ∴B（6，8） （2）如图1， ∽ （3）①当点G在点E上方时， 如图2，过点B作，垂足为 ∴四边形BMPC是平行四边形 ∵PM∥CB ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC ∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90° ∴∠RMP=∠DPH ∴EM=EF ∵点F为PM的中点 ∴EF⊥PM ∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF∽△MPR ∵AB//OC ∴∠MBG=∠BON′ 又∵∠GMB=∠ON′B=90° ∴△MGB∽△NB′O ②当点G在点E下方时 如图3 同理可得 MG=ME+EG=5+2=7 22．（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题： (1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2； (2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2. 【答案】 23．（2010云南昆明）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE； （2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当= 1时，是 ；②当= 2时，是 ；③当= 3时，是 . 并证明= 2时的结论. A B C D E P O 【答案】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠OBP = ∠ODE 在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE ∠BOP = ∠DOE ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两 三角形相似) （2）① 平行四边形 ② 直角梯形 ③ 等腰梯形 证明：∵k = 2时， ∴ BP = 2DE = AD 又∵AD︰BC = 2︰3 BC = AD PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90° ∴四边形PCDE是矩形 ∴ ∠EPB = 90° 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行 四边形ABPE是直角梯形 24．（2010广东东莞）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图⑴放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4． ⑴求证：△EGB是等腰三角形； ⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高 【答案】⑴∵∠EFB＝90°，∠ABC＝30° ∴∠EBG＝30° ∵∠E＝30° ∴∠E＝∠EBG ∴EG＝BG ∴△EGB是等腰三角形 ⑵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4 ∴BC＝； 在Rt△DEF 中，∠EFD＝90°，∠E＝30°，DE＝4 ∴DF＝2 ∴CF＝． ∵四边形ACDE成为以ED为底的梯形 ∴ED∥AC ∵∠ACB＝90° ∴ED⊥CB ∵∠EFB＝90°，∠E＝30° ∴∠EBF＝60° ∵DE＝4∴DF＝2 ∴F到ED的距离为 ∴梯形的高为 25．（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分） 如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时， 试解决下列问题： （1）填空：点D坐标为 ； （2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD能否成立？为什么？ （4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论. 【答案】 （1）；（1分） （2） ① （2分） （3分） ② （4分）（注：不去绝 对值符号不扣分） （3）[法一]若OB=BD，则 由①得 （5分） [法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上. ∴直线CM的函数关系式为， ③ （5分） ④ 联立③，④得：， [法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1 过点B作 （4）如果， ①当，如图27 – 2 ∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分） ②当如图27 – 3 ∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分） 下证平行四边形BDCF为菱形： [法一]在， 21世纪教育网 [方法①]上方 （舍去）. 得 [方法②]由②得： 此时 ∴此时四边形BDCF为菱形（9分） [法二]在等腰中 26．（2010 广东汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90º，∠E＝∠ABC＝30º，AB＝DE＝4． （1）求证：△EGB是等腰三角形； 第20题图（1） A B C E F F B（D） G G A C E D 第20题图（2） （2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高． 【答案】（1）证明：∵∠C＝∠EFB＝90º，∠E＝∠ABC＝30º， ∴∠EDF＝60º，∠GBE＝∠E＝30º， ∴GB＝GE ∴△EGB是等腰三角形． （2）解：在Rt△BEF中，由∠E＝30º得BF＝BE＝2，EF＝BC＝4，BC＝ ∴CF＝ ∵四边形ACDE是以ED为底的梯形 ∴AC∥DE ∵AC⊥BC ∴DE⊥BC ∴∠DFB＝90º－∠EDF＝30º ∴旋转的最小角是30º 设图（2）中CB交DE于点M，则FM＝ ∴CM＝CF＋FM＝＋＝，即此梯形的高为． 27．（2010 四川泸州）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4，则BC= ． 【答案】8 28．（2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0查看更多