湖北省荆州市中考数学试卷解析

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湖北省荆州市中考数学试卷解析

‎2015年湖北省荆州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2015•荆州)﹣2的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎﹣2‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•荆州)如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1=70°,则∠2=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎70°‎ B.‎ ‎80°‎ C.‎ ‎110°‎ D.‎ ‎120°‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•荆州)下列运算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎=±2‎ B.‎ x2•x3=x6‎ C.‎ ‎+=‎ D.‎ ‎(x2)3=x6‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•荆州)将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=(x﹣1)2+4‎ B.‎ y=(x﹣4)2+4‎ C.‎ y=(x+2)2+6‎ D.‎ y=(x﹣4)2+6‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•荆州)如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎55°‎ B.‎ ‎60°‎ C.‎ ‎65°‎ D.‎ ‎70°‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎∠ABP=∠C B.‎ ‎∠APB=∠ABC C.‎ ‎=‎ D.‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•荆州)若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>﹣1‎ B.‎ m≥1‎ C.‎ m>﹣1且m≠1‎ D.‎ m≥﹣1且m≠1‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•荆州)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•荆州)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•荆州)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(31,50)‎ B.‎ ‎(32,47)‎ C.‎ ‎(33,46)‎ D.‎ ‎(34,42)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2015•荆州)计算:﹣2﹣1+﹣|﹣2|+(﹣)0=      .‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•荆州)分解因式:ab2﹣ac2=      .‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•荆州)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB=      cm.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•荆州)若m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为      .‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•荆州)如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为      米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•荆州)如图,矩形ABCD中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则D点的坐标为      .‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2015•荆州)如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为      cm2.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2015•荆州)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过圆心P,则k=      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共66分)‎ ‎19.(7分)(2015•荆州)解方程组:.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•荆州)某校八年级(1)班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况,对班上一个组学生的汉字听写成绩按A,B,C,D四个等级进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图:‎ ‎(1)求D等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整;‎ ‎(2)该组达到A等级的同学中只有1位男同学,杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.‎ ‎(1)求直线AB和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求△OCD的面积.‎ ‎ ‎ ‎22.(9分)(2015•荆州)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.‎ ‎(1)证明:PC=PE;‎ ‎(2)求∠CPE的度数;‎ ‎(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:‎ 鲢鱼 草鱼 青鱼 每辆汽车载鱼量(吨)‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 每吨鱼获利(万元)‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•荆州)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.‎ ‎(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;‎ ‎(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;‎ ‎(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:ED是⊙P的切线;‎ ‎(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;‎ ‎(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2015年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2015•荆州)﹣2的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎﹣2‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 相反数.菁优网版权所有 分析:‎ 根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案.‎ 解答:‎ 解:﹣2的相反数是2,‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•荆州)如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1=70°,则∠2=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎70°‎ B.‎ ‎80°‎ C.‎ ‎110°‎ D.‎ ‎120°‎ 考点:‎ 平行线的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°,即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:‎ ‎∵直线l1∥l2,∠1=70°,‎ ‎∴∠3=∠1=70°,‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=110°,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质,邻补角定义的应用,解此题的关键是求出∠3的度数,注意:两直线平行,同位角相等.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•荆州)下列运算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎=±2‎ B.‎ x2•x3=x6‎ C.‎ ‎+=‎ D.‎ ‎(x2)3=x6‎ 考点:‎ 幂的乘方与积的乘方;实数的运算;同底数幂的乘法.菁优网版权所有 分析:‎ 根据算术平方根的定义对A进行判断;根据同底数幂的乘法对B进行运算;根据同类二次根式的定义对C进行判断;根据幂的乘方对D进行运算.‎ 解答:‎ 解:A.=2,所以A错误;‎ B.x2•x3=x5,所以B错误;‎ C.+不是同类二次根式,不能合并;‎ D.(x2)3=x6,所以D正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查实数的综合运算能力,综合运用各种运算法则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•荆州)将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=(x﹣1)2+4‎ B.‎ y=(x﹣4)2+4‎ C.‎ y=(x+2)2+6‎ D.‎ y=(x﹣4)2+6‎ 考点:‎ 二次函数图象与几何变换.菁优网版权所有 分析:‎ 根据函数图象向上平移加,向右平移减,可得函数解析式.‎ 解答:‎ 解:将y=x2﹣2x+3化为顶点式,得y=(x﹣1)2+2.‎ 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+4,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象的平移规律是:左加右减,上加下减.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•荆州)如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎55°‎ B.‎ ‎60°‎ C.‎ ‎65°‎ D.‎ ‎70°‎ 考点:‎ 圆周角定理.菁优网版权所有 分析:‎ 连接OB,要求∠BAO的度数,只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°,然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得.‎ 解答:‎ 解:连接OB,‎ ‎∵∠ACB=25°,‎ ‎∴∠AOB=2×25°=50°,‎ 由OA=OB,‎ ‎∴∠BAO=∠ABO,‎ ‎∴∠BAO=(180°﹣50°)=65°.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎∠ABP=∠C B.‎ ‎∠APB=∠ABC C.‎ ‎=‎ D.‎ ‎=‎ 考点:‎ 相似三角形的判定.菁优网版权所有 分析:‎ 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.‎ 解答:‎ 解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;‎ B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;‎ C、当=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;‎ D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•荆州)若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>﹣1‎ B.‎ m≥1‎ C.‎ m>﹣1且m≠1‎ D.‎ m≥﹣1且m≠1‎ 考点:‎ 分式方程的解.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可.‎ 解答:‎ 解:去分母得:m﹣1=2x﹣2,‎ 解得:x=,‎ 由题意得:≥0且≠1,‎ 解得:m≥﹣1且m≠1,‎ 故选D 点评:‎ 此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•荆州)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 剪纸问题.菁优网版权所有 分析:‎ 根据题意直接动手操作得出即可.‎ 解答:‎ 解:找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示:‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了剪纸问题,难点在于根据折痕逐层展开,动手操作会更简便.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•荆州)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 动点问题的函数图象.菁优网版权所有 分析:‎ 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上,而动点P可以在BC边、CD边、AD边上,再分三种情况进行讨论:①0≤x≤1;②1<x≤2;③2<x≤3;分别求出y关于x的函数解析式,然后根据函数的图象与性质即可求解.‎ 解答:‎ 解:由题意可得BQ=x.‎ ‎①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,‎ 则△BPQ的面积=BP•BQ,‎ 解y=•3x•x=x2;故A选项错误;‎ ‎②1<x≤2时,P点在CD边上,‎ 则△BPQ的面积=BQ•BC,‎ 解y=•x•3=x;故B选项错误;‎ ‎③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,‎ 则△BPQ的面积=AP•BQ,‎ 解y=•(9﹣3x)•x=x﹣x2;故D选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质,三角形的面积,利用数形结合、分类讨论是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•荆州)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(31,50)‎ B.‎ ‎(32,47)‎ C.‎ ‎(33,46)‎ D.‎ ‎(34,42)‎ 考点:‎ 规律型:数字的变化类.菁优网版权所有 分析:‎ 先计算出2015是第1008个数,然后判断第1008个数在第几组,再判断是这一组的第几个数即可.‎ 解答:‎ 解:2015是第=1008个数,‎ 设2015在第n组,则1+3+5+7+…+(2n﹣1)≥1008,‎ 即≥1008,‎ 解得:n≥,‎ 当n=31时,1+3+5+7+…+61=961;‎ 当n=32时,1+3+5+7+…+63=1024;‎ 故第1008个数在第32组,‎ 第1024个数为:2×1024﹣1=2047,‎ 第32组的第一个数为:2×962﹣1=1923,‎ 则2015是(+1)=47个数.‎ 故A2015=(32,47).‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2015•荆州)计算:﹣2﹣1+﹣|﹣2|+(﹣)0= 3 .‎ 考点:‎ 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三项利用立方根定义计算,第四项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:原式=3﹣+2﹣2+1=3,‎ 故答案为:3‎ 点评:‎ 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•荆州)分解因式:ab2﹣ac2= a(b+c)(b﹣c) .‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式提取a,再利用平方差公式分解即可.‎ 解答:‎ 解:原式=a(b2﹣c2)=a(b+c)(b﹣c),‎ 故答案为:a(b+c)(b﹣c)‎ 点评:‎ 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•荆州)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB= 16 cm.‎ 考点:‎ 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 首先根据DE是AB的垂直平分线,可得AE=BE;然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB,据此求出AB的长度是多少即可.‎ 解答:‎ 解:∵DE是AB的垂直平分线,‎ ‎∴AE=BE;‎ ‎∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,‎ ‎∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB,‎ ‎∴AB=40﹣24=16(cm).‎ 故答案为:16.‎ 点评:‎ ‎(1)此题主要考查了垂直平分线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.‎ ‎(2)此题还考查了等腰三角形的性质,以及三角形的周长的求法,要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•荆州)若m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 0 .‎ 考点:‎ 根与系数的关系;一元二次方程的解.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由题意m为已知方程的解,把x=m代入方程求出m2+m的值,利用根与系数的关系求出m+n的值,原式变形后代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:∵m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,‎ ‎∴m+n=﹣1,m2+m=1,‎ 则原式=(m2+m)+(m+n)=1﹣1=0,‎ 故答案为:0‎ 点评:‎ 此题考查了根与系数的关系,以及一元二次方程的解,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•荆州)如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为 137 米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°,∠ACD=45°,设AD=xm,先在Rt△ACD中,利用∠ACD的正切可得CD=AD=x,则BD=BC+CD=x+100,然后在Rt△ABD中,利用∠ABD的正切得到x=(x+100),解得x=50(+1),再进行近似计算即可.‎ 解答:‎ 解:如图,∠ABD=30°,∠ACD=45°,BC=100m,‎ 设AD=xm,‎ 在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=,‎ ‎∴CD=AD=x,‎ ‎∴BD=BC+CD=x+100,‎ 在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=,‎ ‎∴x=(x+100),‎ ‎∴x=50(+1)≈137,‎ 即山高AD为137米.‎ 故答案为137.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角:解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•荆州)如图,矩形ABCD中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则D点的坐标为 (0,2.1) .‎ 考点:‎ 翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.菁优网版权所有 分析:‎ 作B′E⊥x轴,设OD=x,在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程,可求得D点的坐标.‎ 解答:‎ 解:作B′E⊥x轴,‎ ‎∵∠BAC=∠B′AC,∠BAC=∠OCA,‎ ‎∴∠B′AC=∠OCA,‎ ‎∴AD=CD,‎ 设OD=x,AD=5﹣x,‎ 在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程得:22+x2=(5﹣x)2,‎ 解得:x=2.1,‎ ‎∴D点的坐标为(0,2.1).‎ 故答案为:(0,2.1).‎ 点评:‎ 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理,根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2015•荆州)如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2.‎ 考点:‎ 展开图折叠成几何体.菁优网版权所有 分析:‎ 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形,长为6,宽为6减去两个六边形的高,再用长方形的面积公式计算即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正六边形的棱柱,‎ ‎∴这个正六边形的底面边长为1,高为,‎ ‎∴侧面积为长为6,宽为6﹣2的长方形,‎ ‎∴面积为:6×(6﹣2)=36﹣12.‎ 故答案为:36﹣12.‎ 点评:‎ 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用.此题难度不大,注意动手操作拼出图形,并能正确进行计算是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2015•荆州)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过圆心P,则k= ﹣5 .‎ 考点:‎ 切线的性质;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形,从而得到△PCD为等腰直角三角形,则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH∽△ABO,利用相似比计算出CH=,接着利用勾股定理计算出AH=,所以BH=10﹣=,然后证明△BEH∽△BHC,利用相似比得到即=,解得r=1,从而易得P点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.‎ 解答:‎ 解:作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,‎ ‎∵⊙P与边AB,AO都相切,‎ ‎∴PD=PE=r,AD=AE,‎ 在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,‎ ‎∴OB==6,‎ ‎∵AC=2,‎ ‎∴OC=6,‎ ‎∴△OBC为等腰直角三角形,‎ ‎∴△PCD为等腰直角三角形,‎ ‎∴PD=CD=r,‎ ‎∴AE=AD=2+r,‎ ‎∵∠CAH=∠BAO,‎ ‎∴△ACH∽△ABO,‎ ‎∴=,即=,解得CH=,‎ ‎∴AH===,‎ ‎∴BH=10﹣=,‎ ‎∵PE∥CH,‎ ‎∴△BEP∽△BHC,‎ ‎∴=,即=,解得r=1,‎ ‎∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5,‎ ‎∴P(5,﹣1),‎ ‎∴k=5×(﹣1)=﹣5.‎ 故答案为﹣5.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线不确定切点,则过圆心作切线的垂线,则垂线段等于圆的半径.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共66分)‎ ‎19.(7分)(2015•荆州)解方程组:.‎ 考点:‎ 解二元一次方程组.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 方程组利用加减消元法求出解即可.‎ 解答:‎ 解:②×3﹣①得:11y=22,即y=2,‎ 把y=2代入②得:x=1,‎ 则方程组的解为.‎ 点评:‎ 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•荆州)某校八年级(1)班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况,对班上一个组学生的汉字听写成绩按A,B,C,D四个等级进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图:‎ ‎(1)求D等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整;‎ ‎(2)该组达到A等级的同学中只有1位男同学,杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数,进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角;根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形.‎ ‎(2)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)总人数=5÷25%=20,‎ ‎∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为:×100%=15%,‎ 扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°.‎ 由题意得:B等级的人数=20×40%=8(人),A等级的人数=20×20%=4.‎ ‎(2)根据题意画出树状图如下:‎ 一共有12种情况,恰好是1位男同学和1位女同学有6种情况,‎ 所以,P(恰好是1位男同学和1位女同学)==.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.‎ ‎(1)求直线AB和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求△OCD的面积.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)根据已知条件求出A、B、C点坐标,用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式;‎ ‎(2)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标,从而根据三角形面积公式求解.‎ 解答:‎ 解:(1)∵OB=4,OE=2,‎ ‎∴BE=2+4=6.‎ ‎∵CE⊥x轴于点E,tan∠ABO===.‎ ‎∴OA=2,CE=3.‎ ‎∴点A的坐标为(0,2)、点B的坐标为C(4,0)、点C的坐标为(﹣2,3).‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,则,‎ 解得.‎ 故直线AB的解析式为y=﹣x+2.‎ 设反比例函数的解析式为y=(m≠0),‎ 将点C的坐标代入,得3=,‎ ‎∴m=﹣6.‎ ‎∴该反比例函数的解析式为y=﹣.‎ ‎(2)联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得,‎ 可得交点D的坐标为(6,﹣1),‎ 则△BOD的面积=4×1÷2=2,‎ ‎△BOD的面积=4×3÷2=6,‎ 故△OCD的面积为2+6=8.‎ 点评:‎ 本题是一次函数与反比例函数的综合题.主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质,起点稍高,部分学生感觉较难.‎ ‎ ‎ ‎22.(9分)(2015•荆州)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.‎ ‎(1)证明:PC=PE;‎ ‎(2)求∠CPE的度数;‎ ‎(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.‎ 考点:‎ 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)先证出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE;‎ ‎(2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;‎ ‎(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,‎ ‎∠ABP=∠CBP=45°,‎ 在△ABP和△CBP中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABP≌△CBP(SAS),‎ ‎∴PA=PC,‎ ‎∵PA=PE,‎ ‎∴PC=PE;‎ ‎(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,‎ ‎∴∠BAP=∠BCP,‎ ‎∴∠DAP=∠DCP,‎ ‎∵PA=PC,‎ ‎∴∠DAP=∠E,‎ ‎∴∠DCP=∠E,‎ ‎∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,‎ 即∠CPF=∠EDF=90°;‎ ‎(3)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,‎ 在△ABP和△CBP中,‎ ‎∴△ABP≌△CBP(SAS),‎ ‎∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,‎ ‎∵PA=PE,‎ ‎∴PC=PE,‎ ‎∴∠DAP=∠DCP,‎ ‎∵PA=PC,‎ ‎∴∠DAP=∠E,‎ ‎∴∠DCP=∠E ‎∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,‎ 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,‎ ‎∴△EPC是等边三角形,‎ ‎∴PC=CE,‎ ‎∴AP=CE.‎ 点评:‎ 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:‎ 鲢鱼 草鱼 青鱼 每辆汽车载鱼量(吨)‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 每吨鱼获利(万元)‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润.‎ 考点:‎ 一次函数的应用.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论;‎ ‎(2)根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆,列出不等式组求出x的范围,设此次销售所获利润为w元,‎ w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5=﹣1.4x+36,再利用一次函数的性质即可解答.‎ 解答:‎ 解:(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由题意,得 ‎8x+6y+5(20﹣x﹣y)=120,‎ ‎∴y=﹣3x+20.‎ 答:y与x的函数关系式为y=﹣3x+20;‎ ‎(2),根据题意,得 ‎∴,‎ 解得:2≤x≤6,‎ 设此次销售所获利润为w元,‎ w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5=﹣1.4x+36‎ ‎∵k=﹣1.4<0,‎ ‎∴w随x的增大而减小.‎ ‎∴当x=2时,w取最大值,最大值为:﹣1.4×2+36=33.2(万元).‎ ‎∴装运鲢鱼的车辆为2辆,装运草鱼的车辆为14辆,装运青鱼的车辆为4辆时获利最大,最大利润为33.2万元.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数的解析式的运用,一次函数的性质的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•荆州)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.‎ ‎(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;‎ ‎(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;‎ ‎(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.‎ 考点:‎ 抛物线与x轴的交点;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)分类讨论:该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元二次方程时,根的判别式△≥0,方程总有实数根;‎ ‎(2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2,结合图象回答问题.‎ ‎(3)根据题意得到kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,由此列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得该定点坐标.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,所以x=﹣2,方程有实数根,‎ ‎②当k≠0时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0,‎ ‎∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;‎ ‎(2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,‎ 解关于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣,‎ ‎∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,‎ ‎∴k=1.‎ ‎∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,‎ 由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<﹣4.‎ ‎(3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立,‎ 则,‎ 解得或.‎ 所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0).‎ 点评:‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征,解答(1)题时要注意分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎25.(12分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)求证:ED是⊙P的切线;‎ ‎(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;‎ ‎(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)先确定B(﹣4,0),再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2,D(0,2),然后利用交点式求抛物线的解析式;‎ ‎(2)先计算出CD=2OC=4,再根据平行四边形的性质得AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,则由AE=3BE得到AE=3,接着计算=,加上∠DAE=∠DCB,则可判定△AED∽△COD,得到∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°,再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径,于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线 ‎(3)由△AED∽△COD,根据相似比计算出DE=3,由于∠CDE=90°,DE>DC,再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上,而点C、D在抛物线上,于是可判断点E′不能在抛物线上;‎ ‎(4)利用配方得到y=﹣(x+1)2+,则M(﹣1,),且B(﹣4,0),D(0,2),根据平行四边形的性质和点平移的规律,利用分类讨论的方法确定N点坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)∵C(2,0),BC=6,‎ ‎∴B(﹣4,0),‎ 在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=,‎ ‎∴OD=2tan60°=2,‎ ‎∴D(0,2),‎ 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2),‎ 把D(0,2)代入得a•4•(﹣2)=2,解得a=﹣,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+2;‎ ‎(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,‎ ‎∵AE=3BE,‎ ‎∴AE=3,‎ ‎∴=,==,‎ ‎∴=,‎ 而∠DAE=∠DCB,‎ ‎∴△AED∽△COD,‎ ‎∴∠ADE=∠CDO,‎ 而∠ADE+∠ODE=90°‎ ‎∴∠CDO+∠ODE=90°,‎ ‎∴CD⊥DE,‎ ‎∵∠DOC=90°,‎ ‎∴CD为⊙P的直径,‎ ‎∴ED是⊙P的切线;‎ ‎(3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上.理由如下:‎ ‎∵△AED∽△COD,‎ ‎∴=,即=,解得DE=3,‎ ‎∵∠CDE=90°,DE>DC,‎ ‎∴△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′在射线DC上,‎ 而点C、D在抛物线上,‎ ‎∴点E′不能在抛物线上;‎ ‎(4)存在.‎ ‎∵y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+1)2+‎ ‎∴M(﹣1,),‎ 而B(﹣4,0),D(0,2),‎ 如图2,‎ 当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位,再向下平移2个单位得到点B,则点M(﹣1,)向左平移4个单位,再向下平移2个单位得到点N1(﹣5,);‎ 当DM为平行四边形BDMN的对角线时,点B向右平移3个单位,再向上平移个单位得到点M,则点D(0,2)向右平移3个单位,再向上平移个单位得到点N2(3,);‎ 当BD为平行四边形BDMN的对角线时,点M向左平移3个单位,再向下平移个单位得到点B,则点D(0,2)向右平移3个单位,再向下平移个单位得到点N3(﹣3,﹣),‎ 综上所述,点N的坐标为(﹣5,)、(3,)、(﹣3,﹣).‎ 点评:‎ 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;掌握平行四边形的性质点平移的规律;会证明圆的切线.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sd2011;zjx111;fangcao;2300680618;守拙;sks;HJJ;1987483819;放飞梦想;gsls;1339885408@qq.com;HLing;王学峰;sdwdmahongye;dbz1018(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2015年7月16日
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