中考数学一次函数专题

中考数学一次函数专题

一次函数考点分析与知识点汇总 考点分析 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。一次函数的考查有多种角度及形式，尤其近几年新型题的不断出现，加大了对学生的能力的考查力度。现以部分中考题为例介绍一次函数的几个考查点。希望对同学们的学习有所帮助。‎ 一、 知识立意型（基础知识考查） ‎ 1、 考定义 2、 求解析式 3、 考查函数的性质 二、 能力立意型： ‎ 1、 阅读理解能力 ‎ 2、 应用能力 ‎ 3、 图形变换的能力 ‎ ‎4、综合能力 ‎ 一次函数知识点汇总 l 知识点一 一次函数的定义 ‎ 一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．‎ ‎⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．‎ ‎⑵当，时，仍是一次函数．‎ ‎⑶当，时，它不是一次函数．‎ ‎⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．‎ l 知识点二 一次函数的图象及其画法 ‎ ⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．‎ ‎ ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．‎ ‎ ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；‎ ‎ ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．‎ ‎ ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．‎ l 知识点三 一次函数的性质 ‎ ⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；‎ ‎ ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．‎ l 知识点四 一次函数的图象、性质与、的符号 ‎⑴‎ 一次 函数 ‎，‎ 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 ‎⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． ‎ 当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．‎ 反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．‎ l 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ‎ ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．‎ ‎ ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：‎ ‎ ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；‎ ‎ ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；‎ ‎ ③解方程（组），得到待定系数的值；‎ ‎ ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．‎ 考查一：点的坐标 方法： x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；‎ 若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；‎ 若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；‎ 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；‎ 例1：若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第____象限；‎ ‎【变式2】‎ 若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a,b的范围为______________________。‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查二：关于点的距离的问题 方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；‎ ‎ 任意两点的距离为；‎ ‎ 若AB∥x轴，则的距离为；‎ ‎ 若AB∥y轴，则的距离为；‎ ‎ 点到原点之间的距离为 例：两点（3，-4）、（5，a）间的距离是2，则a的值为__________；‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知点A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C点在x轴上，且∠ACB=90°，则C点坐标为___________.‎ ‎ 【变式2】点D（a,b）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________；到原点的距离是____________；‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查三：正比例函数与一次函数定义 方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。‎ ‎☆A与B成正比例óA=kB(k≠0)‎ 例：如果函数是正比例函数，那么（‎ ‎ ）. 　　A．m=2或m=0 　　　B．m=2 　　　C．m=0　　　 D．m=1‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. 　　（1）写出y与x之间的函数关系式； 　　（2）当x=4时，求y的值； 　　（3）当y=4时，求x的值．‎ ‎【变式2】已知一次函数 ‎    （1）当m取何值时，y随x的增大而减小？‎ ‎    （2）当m取何值时，函数的图象过原点？‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查四：待定系数法求函数解析式 ‎　方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。‎ ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；‎ ☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。‎ 例：判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上． 　　分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上． 　　‎ 举一反三： 　　【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式． ‎ 分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可． 　　‎ ‎【变式2】已知直线y=2x+1． 　　（1）求已知直线与y轴交点M的坐标； 　　（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值． 　　 　　　　‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查五：函数图象及其应用 一次 函数 ‎，‎ 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 ‎☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义： ‎ k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0） 的倾斜程度；‎ b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的 ，也表示直线在y轴上的 。 ‎ ‎☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：‎ 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。 ‎ 当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y轴上同一点。 ‎ ‎☆特殊直线方程： ‎ X轴 : 直线 Y轴 : 直线 ‎ 与X轴平行的直线 与Y轴平行的直线 ‎ 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 ‎ 例1：（模拟卷二.21）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式． （1）小明家某月用电120度，需交电费 元；‎ （2） 求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式； （3）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．‎ 举一反三： 　　【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　‎ ‎ 　　【变式2】（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) 　　A.14分钟 　　　B.17分钟　　　 C.18分钟　　　 D.20分钟 　　　　　　　　　　　　　　 　　‎ ‎ 　　【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　根据图象解答下列问题： 　　（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？ 　　（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升. 　　　　 ①求排水时y与x之间的关系式； 　　　　 ②如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 　 　　‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查六：一次函数的性质 方法：⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；‎ ‎ ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小 例1：(模拟卷四.6)若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=ax+c的图象可能是（　　）‎ BB C D A 举一反三： 【变式1】已知关于x的一次函数． 　　（1）m为何值时，函数的图象经过原点? 　　（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）? 　　（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行? 　　（4）m为何值时，y随x的增大而减小？ 　　‎ ‎【变式2】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）． 　　　　‎ ‎【变式3】一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。 ‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查七：平移 方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。‎ 直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。‎ 例：把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.‎ ‎【变式2】直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查八：交点问题及直线围成的面积问题 方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；‎ 复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；‎ 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；‎ 例：(模拟卷八)如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为-1，点D在反比例函数的图象上，CD平行于y轴，，则k的值为________.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；‎ （1） 求△COP的面积；‎ （2） 求点A的坐标及p的值；‎ （3） 若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。‎ ‎【变式2】已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D ‎    （1）求直线的解析式；‎ ‎    （2）若直线与交于点P，求的值。‎ ‎【变式3】如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。‎ ‎ ‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎ 考查九：一次函数综合 例：已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB （1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；‎ 举一反三： 【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动（但不与A，D两点重合）。求△APD的面积y()与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。 　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　 　　‎ ‎ 【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。 　　（1）求的值； 　　（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积 　　　　 S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 　　（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 小结与反思：______________________________________________________‎ ‎ ______________________________________________________‎