2019北京中考专题复习几何综合

2019北京中考专题复习几何综合

你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 1 of 25 知识框架 几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直 角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基 本量之间的数量关系的探究过程。 涉及初中数学九大几何模型： 1、 中点类辅助线 2、 角平分线、垂直平分线类辅助线 3、 相似模型 4、 旋转之手拉手模型 5、 旋转之对角互补模型 6、 旋转之半角模型 7、 旋转之构造等边三角形 8、 旋转之费马点模型 9、 最短距离问题 解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应 用相关几何模型，找到解题思路。 知识梳理 中点类辅助线 见中点---倍长中线： 凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以 旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 在△ABC 中, AD 是 BC 边中线。 方式 1：直接倍长，(图 1)： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 几何综合 E D A B C 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 2 of 25 E D F CB A 例：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 方式 2：间接倍长 1) （图 2）作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E, 连接 BE 2) （图 3）延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CD 例：如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. 方式 3：平行线间线段有中点 如图：AD∥BE，F 为 DE 中点。可构造 8 字全等 △ADF≌△HEF。 例：如图，在矩形 ABCD 中，BD=BE，F 为 DE 中点。试探究 AF 与 CF 之间的位置 关系。 F E D CB A N D CB A M F E D A B C 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 3 of 25 例：如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=2AB，M 为 AD 中点，CE⊥AB。 求证：∠EMD=3∠MEA。 见多个中点----构造中位线： 已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线； 已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线； 已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形. 例：如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 见等腰三角形底边中点----连接顶点与中点，构造三线合一 直角三角形斜边中线：直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍 分关系线段时，也常常作斜边中线 如图，在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，连接 CD，则得 CD=AD=BD，从而构造 出等腰三角形。 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 4 of 25 角平分线、垂直平分线类辅助线 角平分线： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。 ① 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。 ② 以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。 ③ 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边 相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” ④ 过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+ 平行，必出等腰 ” 例：如下图，在△ABC 中，∠A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，且 AB=AD，CM⊥AD 交 AD 的延长线于点 M. 垂直平分线： a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 例：如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC， 作 AD 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，交 AB 于点 G，交 AC 于点 H （1）依题意补全图形 （2）求证：∠BAD=∠BFG （3）试猜想 AB，FB 和 FD 之间的数量关系并进行证明 D A B C 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 5 of 25 相似模型 平行 A 字型、8 字型： 斜交 A 字型、8 字型： 共享型（母子型）： 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 6 of 25 双共享型： 双 A 字型： 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 7 of 25 一线三等角型： 旋转之手拉手模型 手拉手全等 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）△ABC ≌△AB’C’ （2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA 平分∠BOC’ 例：如图在直线 的同一侧作两个等边三角形 与 ，连结 与 ， 证明：（1） （2） （3） 与 之间的夹角为 （4） （5） （6） 平分 （7） ABC ABD∆ BCE∆ AE CD DBCABE ∆≅∆ DCAE = AE DC °60 DFBAGB ∆≅∆ CFBEGB ∆≅∆ BH AHC∠ ACGF // 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 8 of 25 手拉手相似 特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点 结论：（1）△AOC∽△BOD （2）∠AEB=∠AOB 例：如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG,连结 CE、AG,二者相交于点 H。 求：（1）AG=CE （2）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？ （3）HD 平分∠AHE 旋转之对角互补模型 对角互补，邻边相等。 （全等型—90°） 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE= OC；③ O A B C E D NO M A B C E D 2 2 △OCE△OCD△DCE OC2 1SSS =+= 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 9 of 25 ※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD= OC；③ （全等型—120°） （全等型—任意角） 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③ 对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意 OC 平分∠AOB 时， ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？ 2 2 △OCD△OCE OC2 1SS =− 2 △OCE△OCD△DCE OC4 3SSS =+= A O B C D E 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 10 of 25 旋转之半角模型 角含半角要旋转：构造两次全等 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半； 也可以这样： 【条件】：①正方形 ABCD；②EF=DF+BE； 【结论】：①∠EAF=45°； 【条件】：①正方形 ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF-BE； 【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°； 【结论】： ； 若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论 仍然成立 F E D CB A G F E D CB A A B CD E A B CD E F 222 DECEBD =+ 222 DECEBD =+ 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 11 of 25 旋转之构造等边三角形 等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供 了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键. 例：在四边形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30° 证明： 。 分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将 AD、CD（作为 直角边）和 BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。 2 2 2AD CD BD+ = C D A B E C B A D E C B A D E C B A D E C B A D 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 12 of 25 例: 如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是 AC，BC 边上的点，且 AD = CE，连接 BD，AE 相交于点 F （1）∠BFE 的度数是 （2）如果 ，那么 （3）如果 时，请用含 n 的式子表示 AF，BF 的数量 关系，并证明 例: 如图，正方形 ABCD，将边 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到线段 CE，连接 DE，AE，BD 交于点 F （1）求∠AFB 的度数 （2）求证：BF=EF （3）连接 CF，直接用等式表示线段 AB，CF，EF 的数量关系 nAC AD 1= 2 1= AC AD = BF AF A D CB F E F E B C A D 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 13 of 25 旋转之费马点模型 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点. 若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角 形都只有一个. 问题：如图 1，如何找点 P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？ 图文解析： 如图 1，把△APC 绕 C 点顺时针旋转 60°得到△A′P′C， 连接 PP′． 则△CPP′为等边三角形，CP= PP′，PA =P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+ PB+ PP′ ≥ B C′． ∵点 A′可看成是线段CA 绕 C 点顺时针旋转60°而得 到的定点，BA′为定长。 ∴当 B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最 小。 ∴∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC 的每一个内角都小于 120°时，所求的点 P 对三角形每边的张 角都是 120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或 等于 120°时，所求的 P 点就是钝角的顶点． 费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问 题的方法是运用旋转变换． 例：四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 600 得到 BN，连接 EN、AM、 CM. （1）求证:△AMB≌△ENB； （2）当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 14 of 25 最短距离问题 三角形----两边之和大于第三边型 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 15 of 25 1.直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小。 两点之间的距离----线段最短型 4.点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的周 长最小。 点到直线的距离----垂线段最短型 5. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小。 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 16 of 25 典例精讲 【2018 西城期末】如图 1，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点 C 在线段 OB 上， OC=2BC，AO 边上的一点 D 满足∠OCD=30°．将△OCD 绕点 O 逆时针旋转 α 度（90°<α<180°）得到△ ，C，D 两点的对应点分别为 点 ， ，连接 ， ，取 的中点 M，连接 OM． （1）如图 2，当 ∥AB 时，α=________°，此时 OM 和 之间的位置关系 为________； （2）画图探究线段 OM 和 之间的位置关系和数量关系，并加以证明． OC D′ ′ C′ D′ AC′ BD′ AC′ C D′ ′ BD′ BD′ 图 1 图 2 备用图 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 17 of 25 【2018 海淀期末】在△ABC 中，∠A 90°，AB AC． （1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 Q，请判断“ ” 是否正确：________（填“是”或“否”）； （2）点 P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA，PB，且 PB PA． ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP 30°，求∠PAB 的大小； ②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC，设∠APC α，∠BPC β，用等式表 示 α，β 之间的数量关系，并证明你的结论． 图 1 图 2 图 3 P P E DQ B C A B C A B C A = = 2QB QA= = 2 = = = 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 18 of 25 【2018 昌平期末】已知，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 为 BC 边上 的一点. （1）以点 C 为旋转中心，将△ ACD 逆时针旋转 90°，得到△BCE，请你画 出旋转后的图形； （2）延长 AD 交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE； （3）若 AC= ，BF=1，连接 CF，则 CF 的长度为 . 备用图 A A C D B B D C 5 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 19 of 25 【2018 丰台期末】如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点 C 为顶 点的 45°角绕点 C 旋转，角的两边与 BA，DA 交于点 M，N，与 BA，DA 的延长线交于点 E，F，连接 AC. （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA 时，如图 1，求证： AE=AF； （2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA 时，如图 2， 如果∠B=30°，CB=2， 用等式表示线段 AE，AF 之间的数量关系，并 证明. E M N F B A D C E M N F B A D C 图 2图 1 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 20 of 25 【2018 门头沟期末】如图 27-1 有两条长度相等的相交线段 AB、CD，它们相 交的锐角中有一个角为 60°，为了探究 AD、CB 与 CD(或 AB)之间的关 系，小亮进行了如下尝试： （1）在其他条件不变的情况下使得 ，如图 27-2，将线段 AB 沿 AD 方 向平移 AD 的长度，得到线段 DE,然后联结 BE,进而利用所学知识得到 AD、CB 与 CD(或 AB)之间的关系：____________________；(直接写出 结果) （2）根据小亮的经验，请对图 27-1 的情况（AD 与 CB 不平行）进行尝试，写 出 AD、CB 与 CD(或 AB)之间的关系，并进行证明； （3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论: ____- ______________________. AD BC∥ D A BC E DA BC 图 27-1 图 27-2 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 21 of 25 【2018 怀柔期末】在等腰△ABC 中，AB=AC，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转到 BD，使 BD⊥AC 于 H，连结 AD 并延长交 BC 的延长线于点 P. (1)依题意补全图形； (2)若∠BAC=2α，求∠BDA 的大小（用含 α 的式子表示）； (3)小明作了点 D 关于直线 BC 的对称点点 E，从而用等式表示线段 DP 与 BC 之 间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段 DP 与 BC 之间的数量关 系. CB A 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 22 of 25 【2018 平谷期末】如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取 一点 D，连结 AD（AD＜AB），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AE，连结 DE，CE，BD． （1）请根据题意补全图 1； （2）猜测 BD 和 CE 的数量关系并证明； （3）作射线 BD，CE 交于点 P，把△ADE 绕点 A 旋转，当∠EAC=90°，AB=2， AD=1 时，补全图形，直接写出 PB 的长． C A B 备用图 C A B D 图 1 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 23 of 25 【2018 朝阳期末】 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 24 of 25 【2018 通州期末】如图 1，在矩形 中，点 为 边中点，点 为 边 中点；点 ， 为 边三等分点， ， 为 边三等分点.小瑞分别用不同的 方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示.那么，图 2 中四边形 的面 积与图 3 中四边形 的面积相等吗？ （1）小瑞的探究过程如下 图 1 图 2 图 3 在图 2 中，小瑞发现， ； 在图 3 中，小瑞对四边形 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整： 设 ， ∵ ∴ ，且相似比为 ，得到 ∵ ∴ ，且相似比为 ，得到 又∵ ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， 则 （ 填 写 “ ”，“ ”或“ ”） （2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 对边上的点.则 . 图 4 ABCD E AD F BC G H AB I J CD GKLH KPOL ABCDGKLH SS _______= KPOL aS DEP =△ bS AKG =△ AFEC∥ DAKDEP ∽△△ 2:1 aS DAK 4=△ BIGD∥ ABMAGK ∽△△ 3:1 bS ABM 9=△ ABCDDAG SbaS 6 14 =+=△ ABCDABF SabS 4 19 =+=△ abbaS ABCD 436624 +=+= ba ____= bSABCD _____= bSKPOL _____= ABCDKPOL SS _____= GKLHKPOL SS ____ > < = ABCD ABCDANML SS _____= 你的态度决定你的能力 几何综合·专题精讲 Page 25 of 25 【2018 东城期末】