2020年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析)

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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析)

‎2020年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(3分)(2020•衡阳)﹣3的相反数是(  )‎ A.3 B.﹣3 C.‎1‎‎3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎2.(3分)(2020•衡阳)下列各式中,计算正确的是(  )‎ A.a3+a2=a5 B.a3﹣a2=a C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a5‎ ‎3.(3分)(2020•衡阳)2019年12月12日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人,其中1.2亿用科学记数法表示为(  )‎ A.1.2×108 B.1.2×107 C.1.2×109 D.1.2×10﹣8‎ ‎4.(3分)(2020•衡阳)下列各式中正确的是(  )‎ A.﹣|﹣2|=2 B.‎4‎‎=‎±2 C.‎3‎‎9‎‎=‎3 D.30=1‎ ‎5.(3分)(2020•衡阳)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A.赵爽弦图 B.科克曲线 ‎ C.笛卡尔心形线 D.斐波那契螺旋线 ‎6.(3分)(2020•衡阳)要使分式‎1‎x-1‎有意义,则x的取值范围是(  )‎ A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0‎ ‎7.(3分)(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(  )‎ A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC ‎ C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD ‎8.(3分)(2020•衡阳)下列不是三棱柱展开图的是(  )‎ 第21页(共21页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.(3分)(2020•衡阳)不等式组x-1≤0,①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎<1②‎的解集在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(3分)(2020•衡阳)反比例函数y‎=‎kx经过点(2,1),则下列说法错误的是(  )‎ A.k=2 ‎ B.函数图象分布在第一、三象限 ‎ C.当x>0时,y随x的增大而增大 ‎ D.当x>0时,y随x的增大而减小 ‎11.(3分)(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(  )‎ A.35×20﹣35x﹣20x+2x2=600 ‎ B.35×20﹣35x﹣2×20x=600 ‎ C.(35﹣2x)(20﹣x)=600 ‎ D.(35﹣x)(20﹣2x)=600‎ ‎12.(3分)(2020•衡阳)如图1,在平面直角坐标系中,▱ABCD在第一象限,且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示.那么▱ABCD的面积为(  )‎ 第21页(共21页)‎ A.3 B.3‎2‎ C.6 D.6‎‎2‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)‎ ‎13.(3分)(2020•衡阳)因式分解:a2+a=   .‎ ‎14.(3分)(2020•衡阳)计算:x‎2‎‎+xx‎-‎x=   .‎ ‎15.(3分)(2020•衡阳)已知一个n边形的每一个外角都为30°,则n等于   .‎ ‎16.(3分)(2020•衡阳)一副三角板如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为   .‎ ‎17.(3分)(2020•衡阳)某班有52名学生,其中男生人数是女生人数的2倍少17人,则女生有   名.‎ ‎18.(3分)(2020•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎),将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,…,OPn(n为正整数),则点P2020的坐标是   .‎ 三、解答题(木大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ 第21页(共21页)‎ ‎19.(6分)(2020•衡阳)化简:b(a+b)+(a+b)(a﹣b).‎ ‎20.(6分)(2020•衡阳)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.‎ ‎21.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.‎ ‎(1)求证:DE=DF;‎ ‎(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.‎ ‎22.(8分)(2020•衡阳)病毒虽无情,人间有大爱.2020年,在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中,全国(除湖北省外)共有30个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下,白衣执甲,前赴后继支援湖北省.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(不完整)和扇形统计图如下:(数据分成6组:100≤x<500,500≤x<900,900≤x<1300,1300≤x<1700,1700≤x<2100,2100≤x<2500.‎ 根据以上信息回答问题:‎ ‎(1)补全频数分布直方图.‎ 第21页(共21页)‎ ‎(2)求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数.‎ 据新华网报道,在支援湖北省的医务人员大军中,有“90后”也有“00后”,他们是青春的力量,时代的脊梁.小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据:‎ C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”;‎ H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”;‎ B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”.‎ ‎(3)请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有多少万人?(写出计算过程,结果精确到0.1万人)‎ ‎23.(8分)(2020•衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B、O、C在同一直线上,OA=OB=24cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.‎ ‎(1)求OC的长;‎ ‎(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离.(结果保留根号)‎ ‎24.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.‎ ‎(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.‎ ‎25.(10分)(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).‎ 第21页(共21页)‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式;‎ ‎(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;‎ ‎(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.‎ ‎26.(12分)(2020•衡阳)如图1,平面直角坐标系xOy中,等腰△ABC的底边BC在x轴上,BC=8,顶点A在y的正半轴上,OA=2,一动点E从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB向左运动,到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发,以相同的速度沿CB向左运动,到达点O停止.已知点E、F同时出发,以EF为边作正方形EFGH,使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)当点H落在AC边上时,求t的值;‎ ‎(2)设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,请问是否存在t值,使得S‎=‎‎91‎‎36‎?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,取AC的中点D,连结OD,当点E、F开始运动时,点M从点O出发,以每秒2‎5‎个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动,到达点O停止运动.请问在点E的整个运动过程中,点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能,求出点M在正方形EFGH内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.‎ 第21页(共21页)‎ ‎2020年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(3分)(2020•衡阳)﹣3的相反数是(  )‎ A.3 B.﹣3 C.‎1‎‎3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解:﹣3的相反数是3.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)(2020•衡阳)下列各式中,计算正确的是(  )‎ A.a3+a2=a5 B.a3﹣a2=a C.(a2)3=a5 D.a2•a3=a5‎ ‎【解答】解:a3与a5不是同类项,它是一个多项式,因此A选项不符合题意;‎ 同上可得,选项B不符合题意;‎ ‎(a2)3=a2×3=a6,因此选项C不符合题意;‎ a2•a3=a2+3=x5,因此选项D符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎3.(3分)(2020•衡阳)2019年12月12日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人,其中1.2亿用科学记数法表示为(  )‎ A.1.2×108 B.1.2×107 C.1.2×109 D.1.2×10﹣8‎ ‎【解答】解:1.2亿=120000000=1.2×108.‎ 故选:A.‎ ‎4.(3分)(2020•衡阳)下列各式中正确的是(  )‎ A.﹣|﹣2|=2 B.‎4‎‎=‎±2 C.‎3‎‎9‎‎=‎3 D.30=1‎ ‎【解答】解:A、﹣|﹣2|=﹣2,故此选项错误;‎ B、‎4‎‎=‎2,故此选项错误;‎ C、‎3‎‎9‎‎≠‎3,故此选项错误;‎ D、30=1,故此选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)(2020•衡阳)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ 第21页(共21页)‎ A.赵爽弦图 B.科克曲线 ‎ C.笛卡尔心形线 D.斐波那契螺旋线 ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;‎ B、既是中心对称图形又是轴对称图形,故此选项符合题意;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;‎ D、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不合题意.‎ 故选:B.‎ ‎6.(3分)(2020•衡阳)要使分式‎1‎x-1‎有意义,则x的取值范围是(  )‎ A.x>1 B.x≠1 C.x=1 D.x≠0‎ ‎【解答】解:要使分式‎1‎x-1‎有意义,则x﹣1≠0,‎ 解得:x≠1.‎ 故选:B.‎ ‎7.(3分)(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(  )‎ A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC ‎ C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD ‎【解答】解:∵AB∥DC,AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎∵AB=DC,AD=BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎∵AB∥DC,AD=BC,则无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件,不能判断四边形ABCD是平行四边形;‎ ‎∵OA=OC,OB=OD,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;‎ 故选:C.‎ ‎8.(3分)(2020•衡阳)下列不是三棱柱展开图的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面,上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面,故均能围成三棱柱,均是三棱柱的表面展开图.‎ B围成三棱柱时,两个三角形重合为同一底面,而另一底面没有.故C不能围成三棱柱.‎ 故选:B.‎ ‎9.(3分)(2020•衡阳)不等式组x-1≤0,①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎<1②‎的解集在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:x-1≤0,①‎x+2‎‎3‎‎-x‎2‎<1②‎,‎ 由①得x≤1,‎ 由②得x>﹣2,‎ 故不等式组的解集为﹣2<x≤1,‎ 在数轴上表示为:.‎ 故选:C.‎ ‎10.(3分)(2020•衡阳)反比例函数y‎=‎kx经过点(2,1),则下列说法错误的是(  )‎ A.k=2 ‎ B.函数图象分布在第一、三象限 ‎ C.当x>0时,y随x的增大而增大 ‎ 第21页(共21页)‎ D.当x>0时,y随x的增大而减小 ‎【解答】解:∵反比例函数y‎=‎kx经过点(2,1),‎ ‎∴1‎=‎k‎2‎,‎ 解得,k=2,故选项A正确;‎ ‎∵k=2>0,‎ ‎∴该函数的图象在第一、三象限,故选项B正确;‎ 当x>0时,y随x的增大而减小,故选项C错误、选项D正确;‎ 故选:C.‎ ‎11.(3分)(2020•衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为(  )‎ A.35×20﹣35x﹣20x+2x2=600 ‎ B.35×20﹣35x﹣2×20x=600 ‎ C.(35﹣2x)(20﹣x)=600 ‎ D.(35﹣x)(20﹣2x)=600‎ ‎【解答】解:依题意,得:(35﹣2x)(20﹣x)=600.‎ 故选:C.‎ ‎12.(3分)(2020•衡阳)如图1,在平面直角坐标系中,▱ABCD在第一象限,且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移,在平移过程中,直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示.那么▱ABCD的面积为(  )‎ A.3 B.3‎2‎ C.6 D.6‎‎2‎ 第21页(共21页)‎ ‎【解答】解:过B作BM⊥AD于点M,分别过B,D作直线y=x的平行线,交AD于E,如图1所示,‎ 由图象和题意可得,‎ AE=6﹣4=2,DE=7﹣6=1,BE=2,‎ ‎∴AB=2+1=3,‎ ‎∵直线BE平行直线y=x,‎ ‎∴BM=EM‎=‎‎2‎,‎ ‎∴平行四边形ABCD的面积是:AD•BM=3‎×‎2‎=‎3‎2‎.‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.)‎ ‎13.(3分)(2020•衡阳)因式分解:a2+a= a(a+1) .‎ ‎【解答】解:a2+a=a(a+1).‎ 故答案为:a(a+1).‎ ‎14.(3分)(2020•衡阳)计算:x‎2‎‎+xx‎-‎x= 1 .‎ ‎【解答】解:原式‎=x(x+1)‎x-‎x ‎=x+1﹣x ‎=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎15.(3分)(2020•衡阳)已知一个n边形的每一个外角都为30°,则n等于 12 .‎ ‎【解答】解:∵一个n边形的每一个外角都为30°,任意多边形的外角和都是360°,‎ ‎∴n=360°÷30°=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎16.(3分)(2020•衡阳)一副三角板如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 105° .‎ 第21页(共21页)‎ ‎【解答】解:如图,∵AB∥CD,∠D=45°,‎ ‎∴∠2=∠D=45°.‎ ‎∵∠1=∠2+∠3,∠3=60°,‎ ‎∴∠1=∠2+∠3=45°+60°=105°.‎ 故答案是:105°.‎ ‎17.(3分)(2020•衡阳)某班有52名学生,其中男生人数是女生人数的2倍少17人,则女生有 23 名.‎ ‎【解答】解:设女生有x名,则男生人数有(2x﹣17)名,依题意有 ‎2x﹣17+x=52,‎ 解得x=23.‎ 故女生有23名.‎ 故答案为:23.‎ ‎18.(3分)(2020•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎),将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°,长度伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,…,OPn(n为正整数),则点P2020的坐标是 (0,﹣22019) .‎ 第21页(共21页)‎ ‎【解答】解:∵点P1的坐标为(‎2‎‎2‎,‎2‎‎2‎),将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;‎ ‎∴OP1=1,OP2=2,‎ ‎∴OP3=4,如此下去,得到线段OP4=23,OP5=24…,‎ ‎∴OPn=2n﹣1,‎ 由题意可得出线段每旋转8次旋转一周,‎ ‎∵2020÷8=252…4,‎ ‎∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上,正好在y轴的负半轴上,‎ ‎∴点P2020的坐标是(0,﹣22019).‎ 故答案为:(0,﹣22019).‎ 三、解答题(木大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎19.(6分)(2020•衡阳)化简:b(a+b)+(a+b)(a﹣b).‎ ‎【解答】解:b(a+b)+(a+b)(a﹣b)‎ ‎=ab+b2+a2﹣b2‎ ‎=ab+a2.‎ ‎20.(6分)(2020•衡阳)一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球,搅匀后从盒子里随机摸出一个球,摸到白球的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)所有球放入盒中,搅匀后随机从中摸出1个球,放回搅匀,再随机摸出第2个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.‎ ‎【解答】解:(1)由概率的意义可得,‎ n‎2+n‎=‎‎1‎‎3‎‎,解得,n=1,‎ 第21页(共21页)‎ 答:n的值为1;‎ ‎(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:‎ 共有9种可能出现的结果,其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种.‎ ‎∴P(一白一黑)‎=‎‎4‎‎9‎,‎ ‎21.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.‎ ‎(1)求证:DE=DF;‎ ‎(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.‎ ‎【解答】(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,‎ ‎∴∠BED=∠CFD=90°,‎ ‎∵D是BC的中点,‎ ‎∴BD=CD,‎ 在△BED与△CFD中,‎ ‎∠BED=∠CFD‎∠B=∠CBD=CD‎,‎ ‎∴△BED≌△CFD(AAS),‎ ‎∴DE=DF;‎ ‎(2)解:∵∠BDE=40°,‎ ‎∴∠B=50°,‎ ‎∴∠C=50°,‎ ‎∴∠BAC=80°.‎ ‎22.(8分)(2020•衡阳)病毒虽无情,人间有大爱.2020年,在湖北省抗击新冠病毒的战 第21页(共21页)‎ ‎“疫”中,全国(除湖北省外)共有30个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下,白衣执甲,前赴后继支援湖北省.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(不完整)和扇形统计图如下:(数据分成6组:100≤x<500,500≤x<900,900≤x<1300,1300≤x<1700,1700≤x<2100,2100≤x<2500.‎ 根据以上信息回答问题:‎ ‎(1)补全频数分布直方图.‎ ‎(2)求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数.‎ 据新华网报道,在支援湖北省的医务人员大军中,有“90后”也有“00后”,他们是青春的力量,时代的脊梁.小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据:‎ C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”;‎ H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”;‎ B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”.‎ ‎(3)请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有多少万人?(写出计算过程,结果精确到0.1万人)‎ ‎【解答】解:(1)由直方图可得,‎ ‎1300≤x<1700,这一组的频数是:30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1=4,‎ 补全的频数分布直方图如右图所示;‎ ‎(2)360°‎×‎3‎‎30‎=‎36°,‎ 即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°;‎ 第21页(共21页)‎ ‎(3)4.2‎×‎404+103+83‎‎1614+338+148‎≈‎1.2(万人),‎ 答:在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中,“90后”大约有1.2万人.‎ ‎23.(8分)(2020•衡阳)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上,当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②;使用时为了散热,他在底板下面垫入散热架,如图③,点B、O、C在同一直线上,OA=OB=24cm,BC⊥AC,∠OAC=30°.‎ ‎(1)求OC的长;‎ ‎(2)如图④,垫入散热架后,要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,求点B′到AC的距离.(结果保留根号)‎ ‎【解答】解:(1)如图③,在Rt△AOC中,OA=24,∠OAC=30°.‎ ‎∴OC‎=‎‎1‎‎2‎OA‎=‎1‎‎2‎×‎24=12(cm);‎ ‎(2)如图④,过点B′作B′D⊥AC,垂足为D,过点O作OE⊥B′D,垂足为E,‎ 由题意得,OA=OB′=24,‎ 当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°,看可得,∠AOB′=150°‎ ‎∴∠B′OE=60°,‎ ‎∵∠ACO=∠B′EO=90°,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∴在Rt△△B′OE中,B′E=OB′×sin60°=12‎3‎,‎ 又∵OC=DE=12,‎ ‎∴B′D=B′E+DE=12+12‎3‎,‎ 即:点B′到AC的距离为(12+12‎3‎)cm.‎ ‎24.(8分)(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.‎ ‎(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.‎ ‎【解答】解:(1)BC与⊙O相切,‎ 理由:连接OD,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA,‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD,‎ ‎∴∠ODA=∠CAD,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴∠ODC=90°,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∵OD为半径,‎ ‎∴BC是⊙O切线;‎ ‎(2)连接DE,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∵AE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADE=90°,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴∠ADE=∠C,‎ ‎∵∠EAD=∠DAC,‎ ‎∴△ADE∽△ACD,‎ ‎∴AEAD‎=‎ADAC,‎ ‎10‎‎8‎‎=‎‎8‎AC‎,‎ ‎∴AC‎=‎‎32‎‎5‎,‎ ‎∴CD‎=AD‎2‎-AC‎2‎=‎8‎‎2‎‎-(‎‎32‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎24‎‎5‎,‎ ‎∵OD⊥BC,AC⊥BC,‎ ‎∴△OBD∽△ABC,‎ ‎∴ODAC‎=‎BDBC,‎ ‎∴‎5‎‎32‎‎5‎‎=‎BDBD+‎‎24‎‎5‎,‎ ‎∴BD‎=‎‎120‎‎7‎.‎ ‎25.(10分)(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0).‎ ‎(1)求这个二次函数的表达式;‎ ‎(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;‎ ‎(3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围.‎ 第21页(共21页)‎ ‎【解答】解:(1)由二次函数y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,‎ ‎∴‎1-p+q=0‎‎4+2p+q=0‎,解得p=-1‎q=-2‎,‎ ‎∴此二次函数的表达式y=x2﹣x﹣2;‎ ‎(2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x‎=‎-1+2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴在﹣2≤x≤1范围内,当x=﹣2,函数有最大值为:y=4+2﹣2=4;当x‎=‎‎1‎‎2‎是函数有最小值:y‎=‎1‎‎4‎-‎1‎‎2‎-‎2‎=-‎‎9‎‎4‎,‎ ‎∴的最大值与最小值的差为:4﹣(‎-‎‎9‎‎4‎)‎=‎‎25‎‎4‎;‎ ‎(3)y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b,‎ ‎∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4=0,‎ 解得:x1=﹣1,x2=4﹣m,‎ ‎∵a<3<b,‎ ‎∴a=﹣1,b=4﹣m>3,‎ 故解得m<1,即m的取值范围是m<1.‎ ‎26.(12分)(2020•衡阳)如图1,平面直角坐标系xOy中,等腰△ABC的底边BC在x轴 第21页(共21页)‎ 上,BC=8,顶点A在y的正半轴上,OA=2,一动点E从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB向左运动,到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发,以相同的速度沿CB向左运动,到达点O停止.已知点E、F同时出发,以EF为边作正方形EFGH,使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧,设运动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)当点H落在AC边上时,求t的值;‎ ‎(2)设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,请问是否存在t值,使得S‎=‎‎91‎‎36‎?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,取AC的中点D,连结OD,当点E、F开始运动时,点M从点O出发,以每秒2‎5‎个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动,到达点O停止运动.请问在点E的整个运动过程中,点M可能在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能,求出点M在正方形EFGH内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)如图1﹣1中,‎ 由题意,OA=2,OB=OC=4,EF=EH=FG=HG=1,‎ 当点H落在AC上时,∵EH∥OA,‎ ‎∴CECO‎=‎EHOA,‎ ‎∴CE‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴CE=2,‎ ‎∴点E的运动路程为1,‎ ‎∴t=1时,点H落在AC上.‎ 第21页(共21页)‎ ‎(2)由题意,在E,F的运动过程中,开始正方形EFGH的边长为1,‎ ‎∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S,S‎=‎‎91‎‎36‎,‎ ‎∴此时点F与O重合,已经停止运动,如图1﹣2中,重叠部分是五边形OEKJG.‎ 由题意:(t﹣3)2‎-‎‎1‎‎2‎•‎3t-13‎‎2‎•(3t﹣13)‎=‎‎91‎‎36‎,‎ 整理得45t2﹣486t+1288=0,解得t‎=‎‎14‎‎3‎或‎92‎‎15‎(舍弃),∴满足条件的t的值为‎14‎‎3‎.‎ ‎(3)如图3﹣1中,当点M第一次落在EH上时,4t+t=3,t‎=‎‎3‎‎5‎ 当点M第一次落在FG上时,4t+t=4,t‎=‎‎4‎‎5‎,‎ ‎∴点M第一次落在正方形内部(包括边界)的时长‎=‎4‎‎5‎-‎3‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎(s),‎ 当点M第二次落在FG上时,4t﹣t=4,t‎=‎‎4‎‎3‎,‎ 当点M第二次落在EH上时,4t﹣(t+1)=4,t‎=‎‎5‎‎3‎,‎ 点M第二次落在正方形内部(包括边界)的时长‎=‎5‎‎3‎-‎4‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴点M落在正方形内部(包括边界)的总时长‎=‎1‎‎5‎+‎1‎‎3‎=‎‎8‎‎15‎(s).‎ 第21页(共21页)‎
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