中考复习方程与不等式专题含答案详解

中考复习方程与不等式专题含答案详解

方程与不等式专题。 一．选择题（共 12 小题） 1．使得关于 x 的不等式组 有解，且使分式方程 有非负 整数解的所有的 m 的和是（ ） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 2．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围（ ） A．k＜1 且 k≠0 B．k≠0 C．k＜1D．k＞1 3．不论 x，y 取何实数，代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 总是（ ） A．非实数 B．正数 C．负数 D．非正数 4．关于 x 的分式方程 ﹣ =1 有增根，则 m 的值为（ ） A．1 B．4 C．2 D．0 5．有一个底面半径为 10cm，高为 30cm 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一 个底面直径为 10cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满 12 杯，则小杯的高为（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 6．某商店出售两件衣服，每件卖了 200 元，其中一件赚了 25%，而另一件赔了 20%，那么商店在这次交易中（ ） A．赚了 10 元 B．亏了 10 元 C．赚了 20 元 D．亏了 20 元 7．已知关于 x 的方程 x﹣ = ﹣1 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的积是（ ） A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣12 8．方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解，则 a 的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D． ＜a＜1 9．按国家 2011 年 9 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金） 中，扣除国家规定的免税部分 3500 元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳 税所得额不超过 1500 元的税率为 3%，超过 1500 元至 4500 元部分的税率为 10%， 若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税，则她的月工资是（ ） A．6000 元 B．5500 元 C．2500 元 D．2000 元 10．分式方程 = 无解，则 m 的值为（ ） A．2 B．1 C．1 或 2 D．0 或 2 11．若关于 x 的分式方程 有增根，则 k 的值是（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 12．已知关于 x 的不等式组 有五个整数解，m 的取值范围是（ ） A．﹣4≤m＜﹣3 B．﹣8≤m＜﹣6 C．4＜m≤6 D．4≤m＜6 二．填空题（共 10 小题） 13．已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P 的个 数是 ． 14．若不等式组 无解，则 m 的取值范围是 ． 15．敌我两军相距 14 千米，敌军于 1 小时前以 4 千米/小时的速度逃跑，现我军 以 7 千米/小时的速度追击 小时后可追上敌军． 16．已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则 a 的值为 ． 17．已知 x，y 均为实数，且满足关系式 x2 ﹣2x﹣6=0，y2 ﹣2y﹣6=0，则 = ． 18．若不等式组 无解，则 m 的取值范围是 ． 19．一座桥长 1200 米，一列火车以每秒 20 米的速度通过这座桥，火车车身长 300 米，则火车从上桥到离开需要 秒． 20．若实数 a，b 满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则 a2+b2= ． 21．方程 =x﹣1 的根为 ． 22．要使关于 x 的方程 有唯一的解，那么 m≠ ． 三．解答题（共 6 小题） 23．已知方程组 的解 x、y 满足 x+y＜1，且 m 为正数，求 m 的取值 范围． 24．一件夹克衫先按成本提高 50%标价，再以 8 折（标价的 80%）出售，结果获 利 28 元，求这件夹克衫的成本是多少元？ 25．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点 P、Q 同时由 A、B 两 点出发分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速运动，已知点 P 移动的速度是 20cm/s，点 Q 移动的速度是 10cm/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 ？ 26．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b，而得解为 ，根据上面的信息解答： （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 27．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为 i2=﹣1①，这个数 i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部． 如果只把 i 当成代数，则 i 将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便 运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加， 减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题 1：i3=i2•i=﹣1•i=﹣i；i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣（﹣1）=1 例题 2：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i（5+i）×（3﹣4i）=15﹣20i+3i ﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i 同样我们也可以化简 = = =2i 也可以解方程 x2=﹣1，解为 x1=i，x2=﹣i． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：i5= ，i6= ； （2）计算：（2+i）2； （3）在复数范围内解方程：x2﹣x+1=0． 28．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买 A、B 两型污水处理设备共 20 台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台 A 型污水处理 设备 12 万元，每台 B 型污水处理设备 10 万元．已知 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨． （1）求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元，每周处理污水的 量不低于 4500 吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 最少是多少？ 方程与不等式专题。 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．使得关于 x 的不等式组 有解，且使分式方程 有非负 整数解的所有的 m 的和是（ ） A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0 【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于 m 的不等式，求得 m 的解集，再 解分式方程得出 x，根据 x 是非负整数得出 m 所有的 m 的和． 【解答】解：∵关于 x 的不等式组 有解， ∴1﹣2m＞m﹣2， 解得 m＜1， 由 得 x= ， ∵分式方程 有非负整数解， ∴x= 是非负整数， ∵m＜1， ∴m=﹣5，﹣2， ∴﹣5﹣2=﹣7， 故选 C． 【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得 m 的取值范围以及 解分式方程是解题的关键． 2．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围（ ） A．k＜1 且 k≠0 B．k≠0 C．k＜1D．k＞1 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0 且二次项系数不为 0 即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2﹣6x+9=0 有两个不相等的实数根， ∴△＞0， 即（﹣6）2﹣4×9k＞0， 解得，k＜1， ∵为一元二次方程， ∴k≠0， ∴k＜1 且 k≠0． 故选 A． 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）△＞0 ⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 3．不论 x，y 取何实数，代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 总是（ ） A．非实数 B．正数 C．负数 D．非正数 【分析】先根据完全平方公式进行配方得到 x2+y2+4x﹣6y+14=（x+2）2+（y﹣3） 2+1，然后根据非负数的性质进行证明． 【解答】解：x2﹣4x+y2﹣6y+13=x2﹣4x+4+y2﹣6y+9 =（x﹣2）2+（y﹣3）2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2≥0， ∴不论 x、y 取何值，代数式 x2﹣4x+y2﹣6y+13 的值总是非负数， 故选 A． 【点评】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式 a2±2ab+b2=（a ±b）2；配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程 两边同时加上一次项系数一半的平方． 4．关于 x 的分式方程 ﹣ =1 有增根，则 m 的值为（ ） A．1 B．4 C．2 D．0 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：将分式方程 ﹣ =1 两边同乘（x﹣1）， 得 m﹣2﹣2x=x﹣1． 若原分式方程有增根， 则必有 x=1， 将 x=1 代入 m﹣2﹣2x=x﹣1， 得 m=4． 故选（B） 【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本 题属于基础题型． 5．有一个底面半径为 10cm，高为 30cm 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一 个底面直径为 10cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满 12 杯，则小杯的高为（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积=12 个小杯的体积， 再利用圆柱体的体积公式列方程求解． 【解答】解：设小杯的高为 x， 根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2•x×12 解得：x=10 则小杯的高为 10cm． 故选 C． 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 关系，列出方程，再求解． 6．某商店出售两件衣服，每件卖了 200 元，其中一件赚了 25%，而另一件赔了 20%，那么商店在这次交易中（ ） A．赚了 10 元 B．亏了 10 元 C．赚了 20 元 D．亏了 20 元 【分析】设第一件衣服的进价为 x 元，第二件的进价为 y 元，根据售价﹣成本= 利润，即可得出关于 x（y）的一元一次方程，解之即可求出 x（y）的值，再将 其代入 400﹣x﹣y 中即可得出结论． 【解答】解：设第一件衣服的进价为 x 元，第二件的进价为 y 元， 根据题意得：200﹣x=25%x，200﹣y=﹣20%y， 解得：x=160，y=250， ∴400﹣x﹣y=400﹣160﹣250=﹣10（元）． 答：商店在这次交易中亏了 10 元． 故选 B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方 程是解题的关键． 7．已知关于 x 的方程 x﹣ = ﹣1 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的积是（ ） A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣12 【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出 a 的值，计算 即可． 【解答】解：x﹣ = ﹣1 去分母，6x﹣4+ax=2x+8﹣6 移项、合并同类项，（4+a）x=6， x= ， 由题意得，a=﹣3、﹣2、﹣1、2， 则符合条件的所有整数 a 的积是﹣12， 故选：D． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是 解题的关键． 8．方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解，则 a 的取值范围是（ ） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D． ＜a＜1 【分析】由方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解，即可得不等式组 ， 解此不等式组即可求得答案． 【解答】解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0 恰有两个正数解， ∴ ， 解得：0＜a＜1． 故选 C． 【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大， 解题的关键是根据题意得到不等式组： ． 9．按国家 2011 年 9 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金） 中，扣除国家规定的免税部分 3500 元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳 税所得额不超过 1500 元的税率为 3%，超过 1500 元至 4500 元部分的税率为 10%， 若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税，则她的月工资是（ ） A．6000 元 B．5500 元 C．2500 元 D．2000 元 【分析】设小明妈妈某月工资为 x 元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500）元， 由税率×税额=税金，建立方程求出其解即可． 【解答】解：设小明妈妈某月工资为 x 元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500） 元，由题意，得 3%×1500+10%（x﹣3500﹣1500）=145， 解得：x=6000． 答：小明妈妈的月工资是 6000 元． 故选 A． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率×税额=税金的运用，分段计费 的计算方法的运用，解答时根据应缴个人所得税 145 元建立方程是难点． 10．分式方程 = 无解，则 m 的值为（ ） A．2 B．1 C．1 或 2 D．0 或 2 【分析】先把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1，由于关于 x 的分式方 程 = 无解，讨论：x=1 或方程（1﹣m）x=﹣1 无解，当 x=1 时，（1﹣m）× 1=﹣1，解得 m=2，当方程（1﹣m）x=﹣1 无解，1﹣m=0，解得 m=1． 【解答】解：把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1， ∵关于 x 的分式方程 = 无解， ∴x=1 或或方程（1﹣m）x=﹣1 无解， 当 x=1 时，（1﹣m）×1=﹣1，解得 m=2， 当方程（1﹣m）x=﹣1 无解，1﹣m=0，解得 m=1． ∴m=1 或 2， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分 式方程的解．也考查了分类讨论的思想． 11．若关于 x 的分式方程 有增根，则 k 的值是（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根 的可能值，让最简公分母（x﹣5）=0，得到 x=5，然后代入化为整式方程的方程 算出 k 的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣5）， 得 x﹣6+x﹣5=﹣k， ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣5）=0， 解得 x=5， 当 x=5 时，k=1． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 12．已知关于 x 的不等式组 有五个整数解，m 的取值范围是（ ） A．﹣4≤m＜﹣3 B．﹣8≤m＜﹣6 C．4＜m≤6 D．4≤m＜6 【分析】此题可先求解不等式组得到关于 m 的不等式解集，再根据整数解的个 数确定 m 的取值范围． 【解答】解： ， 解①得：x＞ ， 解②得：x≤7， 则不等式组的解集是： ＜x≤7． 不等式组有五个整数解，则一定是 7，6，5，4，3， 则 2≤ ＜3． 解得：则 4≤m＜6， 故选：D． 【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下 原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 二．填空题（共 10 小题） 13．已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 y≤2x+6，x、y 为整数，则点 P 的个 数是 6 ． 【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出 x，y 的取值范围，再根据 y 的取值 范围求出 x 的整数解，进而可求出符合条件的 y 的值． 【解答】解：∵点 P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0， 又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即 x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1 或﹣2， 当 x=﹣1 时 0＜y≤4，y=1，2，3，4； 当 x=﹣2 时，y≤2，即 y=1 或 2； 综上所述，点 P 为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣ 2，2）共 6 个点． 【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知 数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集 求特殊值． 14．若不等式组 无解，则 m 的取值范围是 m＜ ． 【分析】先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找 不到的情况，由此即可求出答案． 【解答】解：解不等式组可得 ，因为不等式组无解，所以 m＜ ． 【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的 值，同样也是利用口诀求解． 注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解． 求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不 到（无解）． 15．敌我两军相距 14 千米，敌军于 1 小时前以 4 千米/小时的速度逃跑，现我军 以 7 千米/小时的速度追击 6 小时后可追上敌军． 【分析】设我军以 7 千米/小时的速度追击 x 小时后可追上敌军；等量关系为： 我军的路程=敌军路程+敌我两军相距 14 千米；可列出方程，解可得答案． 【解答】解：设我军以 7 千米/小时的速度追击 x 小时后可追上敌军． 根据题意得：7x=4（1+x）+14， 解得：x=6． 【点评】注意追及问题中的等量关系，不要忘记加上原来相距的距离． 16．已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则 a 的值为 ﹣4 ． 【分析】由 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，得出 m+n=3， mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得 a 的数值即可． 【解答】解：∵m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解， ∴m+n=3，mn=a， ∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6， ∴mn﹣（m+n）+1=﹣6 即 a﹣3+1=﹣6 解得 a=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方 程的两根为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 17．已知 x，y 均为实数，且满足关系式 x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则 = ﹣ 或 2 ． 【分析】当 x=y 时，容易求解； 当 x≠y 时，由关系式 x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，可知 x、y 是 z2﹣2z﹣6=0 的 两根，由根与系数的关系，求出 x+y 与 xy 的值，再根据 = ，代 入即可求值． 【解答】解：当 x≠y 时， ∵x、y 满足关系式 x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0， ∴x、y 是 z2﹣2z﹣6=0 的两根， ∴x+y=2，xy=﹣6， ∴ = = =﹣ ． 当 x，y 的值相等时，原式=2． 故答案为：﹣ 或 2． 【点评】本题容易忽视的情况是 x，y 可能是同一个值这一个情况． 18．若不等式组 无解，则 m 的取值范围是 m≥8 ． 【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分，可利用数轴进行求 解． 【解答】解：x＜8 在数轴上表示点 8 左边的部分，x＞m 表示点 m 右边的部分．当 点 m 在 8 这点或这点的右边时，两个不等式没有公共部分，即不等式组无解．则 m≥8． 故答案为：m≥8． 【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到， 易于理解． 19．一座桥长 1200 米，一列火车以每秒 20 米的速度通过这座桥，火车车身长 300 米，则火车从上桥到离开需要 75 秒． 【分析】从火车从上桥到离开的路程：桥长+车身=1200+300=1500 米，然后根据 时间=路程÷速度列式可得结论． 【解答】解：设火车从上桥到离开需要 x 秒， 则 20x=1200+300， x=75（秒）， 则火车从上桥到离开需要 75 秒． 故答案为：75． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方 程． 20．若实数 a，b 满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则 a2+b2= 4 ． 【分析】把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使形式复杂的方 程变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【解答】解：令 a2+b2=x，则原方程可化为： x（x﹣8）+16=0， ∴x2﹣8x+16=0， 即（x﹣4）2=0， ∴x﹣4=0， 解得 x=4， 即 a2+b2=4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元 和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识 背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 21．方程 =x﹣1 的根为 4 ． 【分析】首先根据二次根式的基本性质得出 x 的取值范围，将无理方程两边平方 取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回 x 的取值范围 验算即可得出答案． 【解答】解：由二次根式性质得： x+5≥0 且 x﹣1≥0， ∴x≥1． 将 =x﹣1 两边平方得： x+5=x2﹣2x+1， 整理得：x2﹣3x﹣4=0， 分解因式：（x﹣4）（x+1）=0， 得：x1=4，x2=﹣1， ∵x≥1， ∴x=4． 故答案为：4． 【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方 法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根式 的性质． 22．要使关于 x 的方程 有唯一的解，那么 m≠ 3 ． 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得方程的解，根据方程有唯一解，可得 答案． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3），得 x﹣2（x﹣3）=m x=6﹣m， ∵分式方程有唯一解， 6﹣m﹣3≠0， m≠3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式方程的解，注意分式方程有解的条件是分母不能为零． 三．解答题（共 6 小题） 23．已知方程组 的解 x、y 满足 x+y＜1，且 m 为正数，求 m 的取值 范围． 【分析】根据消元法，得出 x、y 的值，再根据 x+y＜1，且 m 为正数，可得答案． 【解答】解：①×2﹣②，得 3x=1+7m x= ， 把 x= 代入①得 +y=1+3m， y= ， ∵x+y＜1， m ． ∵m＞0， ∴0 ． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出 m 的取值范围． 24．一件夹克衫先按成本提高 50%标价，再以 8 折（标价的 80%）出售，结果获 利 28 元，求这件夹克衫的成本是多少元？ 【分析】设这件夹克的成本是 x 元，则标价就为 1.5x 元，售价就为 1.5x×0.8 元， 由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可． 【解答】解：设这件夹克的成本是 x 元，由题意，得 x（1+50%）×80%﹣x=28， 解得：x=140． 答：这件夹克的成本是 140 元． 【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次 方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． 25．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点 P、Q 同时由 A、B 两 点出发分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速运动，已知点 P 移动的速度是 20cm/s，点 Q 移动的速度是 10cm/s，几秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 ？ 【分析】设运动时间为 t 秒，表示出 PC、QC，再根据三角形的面积公式列出方 程，然后根据一元二次方程的解法求解即可． 【解答】解：设运动时间为 t 秒，则 PC=8﹣0.2t，QC=6﹣0.1t， 由题意得， （8﹣0.2t）（6﹣0.1t）= × ×6×8， 整理得，t2﹣100t+900=0， 解得 t1=10，t2=90（舍去）， 答：10 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的 ． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目信息，准确表示出 PC、QC 是解题的关键，注意单位要统一． 26．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a，而得解为 ，乙看错了方程组中的 b，而得解为 ，根据上面的信息解答： （1）甲把 a 看成了什么，乙把 b 看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 【分析】（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可； （2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的 a、b，然后用适当的方 法解方程组． 【解答】解：（1）把 代入方程组 得， ， 把 代入方程组 得， ． 所以甲把 a 看成了 1，乙把 b 看成了 3． （2）∵正确的 a=﹣1，b=5， ∴ ，解得： ． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即 为能使方程左右两边相等的未知数的值． 27．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为 i2=﹣1①，这个数 i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部． 如果只把 i 当成代数，则 i 将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便 运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加， 减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题 1：i3=i2•i=﹣1•i=﹣i；i4=i3•i=﹣i•i=﹣i2=﹣（﹣1）=1 例题 2：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i（5+i）×（3﹣4i）=15﹣20i+3i ﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i 同样我们也可以化简 = = =2i 也可以解方程 x2=﹣1，解为 x1=i，x2=﹣i． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：i5= i ，i6= ﹣1 ； （2）计算：（2+i）2； （3）在复数范围内解方程：x2﹣x+1=0． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1 计算； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据 i2=﹣1 计算即可； （3）利用公式法解出方程，根据 i2=﹣1 得到方程的解． 【解答】解：（1）i5=（i2）2•i=i， i6=（i2）3=（﹣1）3=﹣1， 故答案为：i；﹣1； （2）（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i； （3）x2﹣x+1=0， x= = = ， x1= ，x2= ． 【点评】本题考查的是虚数单位的定义、完全平方公式以及一元二次方程的解法， 掌握 i2=﹣1、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 28．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买 A、B 两型污水处理设备共 20 台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台 A 型污水处理 设备 12 万元，每台 B 型污水处理设备 10 万元．已知 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 640 吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污水 1080 吨． （1）求 A、B 两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过 230 万元，每周处理污水的 量不低于 4500 吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 最少是多少？ 【分析】（1）根据 1 台 A 型污水处理设备和 2 台 B 型污水处理设备每周可以处 理污水 640 吨，2 台 A 型污水处理设备和 3 台 B 型污水处理设备每周可以处理污 水 1080 吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算 出每种方案购买资金，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 x 吨，B 型污水处 理设备每周每台可以处理污水 y 吨， 解得， 即 A 型污水处理设备每周每台可以处理污水 240 吨，B 型污水处理设备每周每台 可以处理污水 200 吨； （2）设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备（20﹣x）台， 则 解得，12.5≤x≤15， 第一种方案：当 x=13 时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226 万元； 第二种方案：当 x=14 时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228 万元； 第三种方案；当 x=15 时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230 万元； 即购买 A 型污水处理设备 13 台，则购买 B 型污水处理设备 7 台时，所需购买资 金最少，最少是 226 万元． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关 键是明确题意，找出所求问题需要的条件．