- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
数学中考总复习30讲一轮复习等腰三角形
第18讲 等腰三角形 【考点总汇】 一、等腰三角形的判定与性质 1.判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (简写“ ”)。 2.性质 (1)等腰三角形的两个底角 (简写为“ ”)。 (2)等腰三角形顶角的 、底边上的高和底边上的 互相重合(简写成“三线合一”)。 (3)等腰三角形是 图形,底边上的中线(或底边上的高或顶角的平分线)所在的直线是它的对称轴。 微拨炉: 1.等腰三角形的定义既是等腰三角形的一个性质,又是等腰三角形的一种判定方法。 2.等腰三角形性质是已知两腰相等得出两角相等,而等腰三角形的判定则是已知两角相等得出两边相等。二者题设和结论正好相反,注意不要混淆。 二、等边三角形的判定与性质 1.判定 (1)三个角 的三角形是等边三角形。 (2)有一个角等于60的 三角形是等边三角形。 2.性质 (1)等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 。 (2)等边三角形是轴对称图形,并且有 条对称轴。 微拨炉: 1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质,但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。 2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反,要注意区别。 三、线段的垂直平分线 1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 。 2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上。 微拨炉: 1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。 2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反,注意区别。 高频考点1、等腰三角形的性质与判定 【范例】如图,,分别在上,,且,点是的中点,与相交于点。 (1)求证:。 (2)与垂直吗?并说明理由。 得分要领: 等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:如图,在△中,。 1.若,则,。 2.若,则,。 3.若,则,。 【考题回放】 1.若等腰三角形的顶角为40,则它的底角数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 2.如图,在△中,,且为上一点,,,则的度数为( ) A.30 B.36 C.40 D.45 第2题 第3题 3.如图,在△中,,,点在上,,则的度数是 。 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为 。 5.如图,在△中,点分别在边上,与交于点,给出下列三个条件:①;②;③。 (1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△是等腰三角形?(用序号写出所有在立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形,写出证明的过程。 高频考点2、等边三角形的性质与判定 【范例】如图,在等边三角形中,点分别在边上,且∥,过点作,交的延长线于点。 (1)求的度数。 (2)若,求的长。 得分要领: 等边三角形是特殊的等腰三角形,解题时,要灵活运用下列性质:(1)三条边相等。(2)三个角相等,并且都等于60。(3)是轴对称图形,并且有三条对称轴。(4)具有“等边对等角”及“三线合一”的性质。 【考题回放】 1.如图,等边△中,点分别为边的中点,则的度数为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 第1题 第2题 2.如图,△和△均是等边三角形,分别与交于点,有如下结论: ①△≌△;②;③。其中,正确结论的个数是( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.如图,已知矩形,把矩形沿直线折叠,点落在点 处,连接,若△是等边三角形,则 。 高频考点3、线段垂直平分线的性质与判定 【范例】如图,在Rt△中,,分别以点为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点连接,与分别交于点,连接。 (1)求。(直接写出结果) (2)当,时,求△的周长。 得分要领: 线段垂直平分线的应用特征 1.线段垂直平分线中的两组线段相等:①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段。 2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质。 【考题回放】 1.在△中,按以下步骤作图:①分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点;②作直线交于点,连接。若,,则的度数为 。 2.如图,等腰△中,,,的垂直平分线交于点,则的度数是 。 第2题 第3题 3.如图,Rt△中,,垂直平分,垂足为,∥,且,,则的长为 。 【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边 【例题】等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则 底边长为 。 解:若3是该等腰三角形底边上的高,如图1 此时由勾股定理得:,则底 图1 若3是该等腰三角形腰上的高,等腰三角形为锐角三角形时, 如图2,由勾股定理易得,则 在Rt△中,由勾股定理得: 答案:8或 图2 【规避策略】 1.确定底和腰。当已知等腰三角形的两边时,要先确定哪条边作腰或底边,分情况进行讨论。 2.注意高的位置。当等腰三角形的顶角不确定时,这个三角形有可能是锐角三角形,也有可能是钝角三角形,也要进行分类讨论。 【实战演练】 1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( ) A.16 B.18 C.20 D.16或20 2.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60,则这个等腰三角形的顶角是( ) A.30 B.60 C.150 D.30或150 3.如图,在△中,,,的垂直平分 线交于,交于,下述结论错误的是( ) A.平分 B.△的周长等于 C. D.点是线段的中点 4.如图,△是等边三角形,是的平分线上一 点,于点,线段的垂直平分线交于点, 垂足为点,若,则的长为( ) A.2 B. C. D.3 5.如图,△和△都是边长为4的等边三角形,点在同一条直线上,连接,则的长为( ) A. B. C. D. 6.如图,是△的角平分线,,,则图中的等腰三角形有 个。 第6题 第7题 7.如图,△中,的平分线相交于点,过作∥,若,则等于 。 8.如图,点在上,,,,与交于点。 (1)求证:。 (2)判断△的形状,并说明理由。 9.如图,已知△为等边三角形,点分别在边上,且,与相交于点。(1)求证:△≌△。 (2)求的度数。 10.如图,△是等边三角形,点是上一点,,。请判断△的形状,并说明理由。 【限时小测】建议用时30分钟。总分50分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.如图,已知,点在边上,,点在边上,,若,则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 第1题 第2题 2.如图,在△中,,,cm,的垂直平分线交于点,交于点,的垂直平分线交于点,交于点,则的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 3. 如图,在△中,,,分别是△,△的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第3题 第4题 4.如图所示,在等边△中,高相交于点,连接,则的度数是( ) A.15 B.20 C.25 D.30 二、填空题(每小题4分,共12分) 5.若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为 。 6.已知等腰三角形的两边长分别为,且满足,则此等腰三角形的周长为 。 7.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若…,则的度数是 。 三、解答题(共26分) 8.(12分)如图①,在△中,,点是的中点,点在上。 (1)求证:。 (2)如图②,若的延长线交于点,且,垂足为,,原题设其他条件不变。求证:△≌△。 【培优训练】 9.(14分)(1)如图1,在等边△中,点是上的任意一点(不含端点),连接,以为边作等边△,连接。求证:。 (2)如图2,在等边△中,点是延长线上的任意一点(不含端点),其他条件不变,还成立吗?请说明理由。查看更多