数学中考总复习30讲一轮复习等腰三角形

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数学中考总复习30讲一轮复习等腰三角形

第18讲 等腰三角形 ‎【考点总汇】‎ 一、等腰三角形的判定与性质 ‎1.判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (简写“ ”)。‎ ‎2.性质 ‎ ‎(1)等腰三角形的两个底角 (简写为“ ”)。 ‎ ‎(2)等腰三角形顶角的 、底边上的高和底边上的 互相重合(简写成“三线合一”)。‎ ‎(3)等腰三角形是 图形,底边上的中线(或底边上的高或顶角的平分线)所在的直线是它的对称轴。‎ 微拨炉:‎ ‎1.等腰三角形的定义既是等腰三角形的一个性质,又是等腰三角形的一种判定方法。‎ ‎2.等腰三角形性质是已知两腰相等得出两角相等,而等腰三角形的判定则是已知两角相等得出两边相等。二者题设和结论正好相反,注意不要混淆。‎ 二、等边三角形的判定与性质 ‎1.判定 ‎(1)三个角 的三角形是等边三角形。‎ ‎(2)有一个角等于60的 三角形是等边三角形。 ‎ ‎2.性质 ‎(1)等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 。‎ ‎(2)等边三角形是轴对称图形,并且有 条对称轴。‎ 微拨炉:‎ ‎1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质,但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。‎ ‎2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反,要注意区别。‎ 三、线段的垂直平分线 ‎1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 。‎ ‎2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上。‎ 微拨炉:‎ ‎1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。‎ ‎2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反,注意区别。‎ 高频考点1、等腰三角形的性质与判定 ‎【范例】如图,,分别在上,,且,点是的中点,与相交于点。‎ ‎(1)求证:。 ‎ ‎(2)与垂直吗?并说明理由。‎ 得分要领:‎ 等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:如图,在△中,。‎ ‎1.若,则,。‎ ‎2.若,则,。‎ ‎3.若,则,。‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.若等腰三角形的顶角为40,则它的底角数为( )‎ A.40 B.50 C.60 D.70‎ ‎2.如图,在△中,,且为上一点,,,则的度数为( )‎ A.30 B.36 C.40 D.45‎ ‎ ‎ 第2题 第3题 ‎3.如图,在△中,,,点在上,,则的度数是 。‎ ‎4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为 。‎ ‎5.如图,在△中,点分别在边上,与交于点,给出下列三个条件:①;②;③。‎ ‎(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△是等腰三角形?(用序号写出所有在立的情形)‎ ‎(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明的过程。‎ 高频考点2、等边三角形的性质与判定 ‎【范例】如图,在等边三角形中,点分别在边上,且∥,过点作,交的延长线于点。‎ ‎(1)求的度数。 ‎ ‎(2)若,求的长。‎ 得分要领:‎ 等边三角形是特殊的等腰三角形,解题时,要灵活运用下列性质:(1)三条边相等。(2)三个角相等,并且都等于60。(3)是轴对称图形,并且有三条对称轴。(4)具有“等边对等角”及“三线合一”的性质。‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.如图,等边△中,点分别为边的中点,则的度数为( )‎ A.30 B.60 C.120 D.150 ‎ 第1题 第2题 ‎2.如图,△和△均是等边三角形,分别与交于点,有如下结论:‎ ‎①△≌△;②;③。其中,正确结论的个数是( )‎ A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ‎ ‎3.如图,已知矩形,把矩形沿直线折叠,点落在点 处,连接,若△是等边三角形,则 。‎ 高频考点3、线段垂直平分线的性质与判定 ‎【范例】如图,在Rt△中,,分别以点为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点连接,与分别交于点,连接。‎ ‎(1)求。(直接写出结果)‎ ‎(2)当,时,求△的周长。‎ 得分要领:‎ 线段垂直平分线的应用特征 ‎1.线段垂直平分线中的两组线段相等:①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段。‎ ‎2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质。‎ ‎【考题回放】‎ ‎1.在△中,按以下步骤作图:①分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点;②作直线交于点,连接。若,,则的度数为 。‎ ‎2.如图,等腰△中,,,的垂直平分线交于点,则的度数是 。‎ 第2题 第3题 ‎3.如图,Rt△中,,垂直平分,垂足为,∥,且,,则的长为 。‎ ‎【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边 ‎【例题】等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则 底边长为 。‎ 解:若3是该等腰三角形底边上的高,如图1‎ 此时由勾股定理得:,则底 图1 ‎ 若3是该等腰三角形腰上的高,等腰三角形为锐角三角形时, ‎ 如图2,由勾股定理易得,则 在Rt△中,由勾股定理得:‎ 答案:8或 ‎ ‎ 图2‎ ‎【规避策略】‎ ‎1.确定底和腰。当已知等腰三角形的两边时,要先确定哪条边作腰或底边,分情况进行讨论。‎ ‎2.注意高的位置。当等腰三角形的顶角不确定时,这个三角形有可能是锐角三角形,也有可能是钝角三角形,也要进行分类讨论。‎ ‎【实战演练】‎ ‎1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( )‎ A.16 B.18 C.20 D.16或20‎ ‎2.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60,则这个等腰三角形的顶角是( )‎ A.30 B.60 C.150 D.30或150‎ ‎3.如图,在△中,,,的垂直平分 线交于,交于,下述结论错误的是( )‎ A.平分 B.△的周长等于 ‎ C. D.点是线段的中点 ‎4.如图,△是等边三角形,是的平分线上一 点,于点,线段的垂直平分线交于点,‎ 垂足为点,若,则的长为( )‎ A.2 B. C. D.3 ‎ ‎5.如图,△和△都是边长为4的等边三角形,点在同一条直线上,连接,则的长为( )‎ A. B.   C.   D.‎ ‎6.如图,是△的角平分线,,,则图中的等腰三角形有 个。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第6题 第7题 ‎7.如图,△中,的平分线相交于点,过作∥,若,则等于 。‎ ‎8.如图,点在上,,,,与交于点。‎ ‎(1)求证:。‎ ‎(2)判断△的形状,并说明理由。‎ ‎9.如图,已知△为等边三角形,点分别在边上,且,与相交于点。(1)求证:△≌△。 ‎ ‎(2)求的度数。‎ ‎10.如图,△是等边三角形,点是上一点,,。请判断△的形状,并说明理由。‎ ‎【限时小测】建议用时30分钟。总分50分 一、选择题(每小题3分,共12分)‎ ‎1.如图,已知,点在边上,,点在边上,,若,则( )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎ ‎ 第1题 第2题 ‎2.如图,在△中,,,cm,的垂直平分线交于点,交于点,的垂直平分线交于点,交于点,则的长为( )‎ A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm ‎3. 如图,在△中,,,分别是△,△的角平分线,则图中的等腰三角形有( )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎ 第3题 第4题 ‎4.如图所示,在等边△中,高相交于点,连接,则的度数是( )‎ A.15 B.20 C.25 D.30‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎5.若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为 。‎ ‎6.已知等腰三角形的两边长分别为,且满足,则此等腰三角形的周长为 。‎ ‎7.如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若…,则的度数是 。‎ 三、解答题(共26分)‎ ‎8.(12分)如图①,在△中,,点是的中点,点在上。‎ ‎(1)求证:。‎ ‎(2)如图②,若的延长线交于点,且,垂足为,,原题设其他条件不变。求证:△≌△。‎ ‎【培优训练】‎ ‎9.(14分)(1)如图1,在等边△中,点是上的任意一点(不含端点),连接,以为边作等边△,连接。求证:。‎ ‎(2)如图2,在等边△中,点是延长线上的任意一点(不含端点),其他条件不变,还成立吗?请说明理由。‎
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