长宁区中考数学一模及答案
2017-2018学年第一学期初三数学教学质量检测试卷
（考试时间：100分钟 满分：150分）2018.01
一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．在RtABC中，∠C=90°，，AC=，则AB的长可以表示为（ ▲ ）
（A） ； （B） ； （C） ； （D） ．
2．如图，在ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，
，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ▲ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）．
3． 将抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ▲ ）
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）．
4． 已知在直角坐标平面内，以点P(-2,3)为圆心，2为半径的圆P与轴的位置关系是（ ▲ ）
（A） 相离； （B） 相切； （C） 相交； （D） 相离、相切、相交都有可能．
5． 已知是单位向量，且，，那么下列说法错误的是（ ▲ ）
（A）； （B） ；（C） ； （D）．
6． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC
平分∠DAB，且∠DAC =∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ▲ ）
（A）∽； （B）∽；
（C）CD=BC； （D）．
二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）
【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．若线段a、b满足，则的值为 ▲ ．
8．正六边形的中心角等于 ▲ 度．
9．若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ▲ ．
10．抛物线的顶点坐标是 ▲ ．
11．已知ABC与DEF相似，且ABC与DEF的相似比为2:3，若DEF 的面积为36，
则ABC的面积等于 ▲ ．
12．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP
”、“<”或“=”）
15．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，点G是重心，
联结AG，过点G作DG//BC，DG交AB于点D，
若AB=6，BC=9，则ADG的周长等于 ▲ ．
16．已知⊙的半径为4，⊙的半径为R，若⊙与⊙相切，
且，则R的值为 ▲ ．
17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，
我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个
四边形的等距点.如图，已知梯形ABCD是等距四边形，
AB//CD，点B是等距点. 若BC=10，，
则CD的长等于 ▲ ．
18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，
点E、F分别在边AB、BC上. 将BEF沿着直线EF翻折，
点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，在ABC中，点D在边AB上，DE//BC，DF//AC，DE、DF分别交边AC、BC
于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设，，用含、的式子表示．
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，，
联结AC、OB，若CD=40，．
（1）求弦AB的长；
（2）求的值．
22．（本题满分10分）
如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，
小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为，又在商
务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为．其中A、C
两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，
求商务楼CD的高度．
(参考数据：，.结果精确到0.1米)
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，
DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且．
（1）求证：∽；
（2）求证：．
24．（本题满分12分，每小题4分）
在直角坐标平面内，直线分别与x轴、y轴交于点A、C. 抛物线经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B. 点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果ABE的面积与ABC的面积之比为4:5，
求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD. 若CFD与AOC相似，求点D的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）
已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4. P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F. 联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.
设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
长宁区2017-2018学年第一学期初三数学参考答案和评分建议
2018.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．D．
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．>2；10．； 11．； 12．；
13．； 14．； 15．10；16．或14； 17．； 18．．
三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19. （本题满分10分）解：原式= (4分)
= (2分)
= (2分)
= (2分)
20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）∵ ∴ （1分）
∵DE//BC ∴ （2分）
又∵DF//A ∴ （2分）
（2）∵ ∴
∵，与方向相反 ∴ （2分）
同理： （2分）
又∵ ∴ （1分）
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）∵CD过圆心O,
∴CD⊥AB,AB=2AD=2BD （2分）
∵CD=40， 又∵∠ADC=
∴ （2分）
∴AB=2AD=40 （1分）
（2）设圆O的半径为r,则OD=40-r （1分）
∵BD=AD=20, ∠ODB= ∴
∴ （1分）
∴r=25,OD=15 （2分）
∴ （1分）
22．（本题满分10分）
解：过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，
∠DAC=，CE=AB=16 （2分）
设AC=x,则，BE=AC=x （1分）
∵ （1分）
∵∴BE=DE ∴ （2分）
∴ （1分）
∴ （1分）
∴ （1分）
答： 商务楼的高度为37.9米。 （1分）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
证明：（1）∵ ∴
∵ ∴∽ （2分）
∴ （1分）
又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF
即∠BDF=∠CDA （2分）
∴∽ （1分）
（2）∵∽ ∴ （2分）
∵ ∴ （1分）
∵∽ ∴∴ （1分）
∴ ∴． （2分）
24．（本题满分12分，每小题4分）
解：（1）由已知得A(-4,0),C(0,2) （1分）
把A、C两点的坐标代入得
（1分）
∴ （1分）
∴ （1分）
（2）过点E作EH⊥AB于点H
由上可知B（1,0） ∵
∴ ∴ （2分）
∴ ∴ （1分）
∵ ∴ （1分）
（3）∵DF⊥AC ∴
①若，则CD//AO ∴点D的纵坐标为2
把y=2代入得x=-3或x=0（舍去）
∴D(-3,2) （2分）
②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q
∵ ∴
∴∴
设Q(m,0),则 ∴ ∴
易证：∽∴
设D(-4t,3t+2)代入得t=0(舍去)或者
∴ （2分）
25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）
解：（1）∵矩形ABCD ∴
∴ ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD
∴ ∴
∴ ∵
∴ ∴ （2分）
∴ （1分）
（2）∵PF⊥BP ∴
∴ ∵ ∴
∴ 又∵∠BAP =∠FPE
∴∽ ∴ （2分）
∵AD//BC ∴
∴ 即
∵ ∴ （2分）
∴
∴ （1分+1分）
（3）（3分） 或 （2分）
