上海市普陀区中考数学二模试卷解析版

上海市普陀区中考数学二模试卷解析版

‎2016年上海市普陀区中考数学二模试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（　　）‎ A．8.0016×106 B．8.0016×107 C．8.0016×108 D．8.0016×109‎ ‎2．下列计算结果正确的是（　　）‎ A．a4•a2=a8 B．（a4）2=a6 C．（ab）2=a2b2 D．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ ‎3．下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（　　）‎ A．折线图 B．扇形图 C．统形图 D．频数分布直方图 ‎4．下列问题中，两个变量成正比例关系的是（　　）‎ A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积与它的边长 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．长方形的长确定，它的面积与宽 ‎5．如图，已知l1∥l2∥l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．BC：EF=1：1 B．BC：AB=1：2 C．AD：CF=2：3 D．BE：CF=2：3‎ ‎6．如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（　　）‎ A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．分解因式：ma2﹣mb2=　　　　　　．‎ ‎8．方程的根是　　　　　　．‎ ‎9．不等式组的解集是　　　　　　．‎ ‎10．如果关于x的方程x2+x+a﹣=0有两个相等的实数根，那么a的值等于　　　　　　．‎ ‎11．函数y=的定义域是　　　　　　．‎ ‎12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是　　　　　　米．‎ ‎13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是　　　　　　．‎ ‎14．如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么=　　　　　　．（用表示）‎ ‎15．如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是　　　　　　．‎ ‎16．已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k　　　　　　．（填“＞”、“=”、“”＜）‎ ‎17．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE=5，BF=3，那么FG：EF的比值是　　　　　　．‎ ‎18．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：（本大题共7题，满分78）‎ ‎19．计算：．‎ ‎20．解方程组：．‎ ‎21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．‎ ‎22．自2014年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？‎ ‎23．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形ABFD是菱形；‎ ‎（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）求直线AC的表达式；‎ ‎（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．‎ ‎（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；‎ ‎（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市普陀区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．据统计，2015年上海市全年接待国际旅游入境者共80016000人次，80016000用科学记数法表示是（　　）‎ A．8.0016×106 B．8.0016×107 C．8.0016×108 D．8.0016×109‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】数据＞10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．‎ ‎【解答】解：80016000=8.0016×107．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎2．下列计算结果正确的是（　　）‎ A．a4•a2=a8 B．（a4）2=a6 C．（ab）2=a2b2 D．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ ‎【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，即可解答．‎ ‎【解答】解：A、a4•a2=a6，故错误；‎ B、（a4）2=a8，故错误；‎ C、（ab）2=a2b2，正确；‎ D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式．‎ ‎　‎ ‎3．下列统计图中，可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是（　　）‎ A．折线图 B．扇形图 C．统形图 D．频数分布直方图 ‎【考点】统计图的选择．‎ ‎【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．‎ ‎【解答】解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了统计图的选择，利用统计图的特点选择是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．下列问题中，两个变量成正比例关系的是（　　）‎ A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积与它的边长 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．长方形的长确定，它的面积与宽 ‎【考点】正比例函数的定义．‎ ‎【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可．‎ ‎【解答】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，故A错误；‎ B、设等边三角形的边长为a，则面积S==，故B错误；‎ C、周长=2倍的长+2倍的宽，故C错误；‎ D、长方形的面积=长×宽，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知l1∥l2∥l3，DE=4，DF=6，那么下列结论正确的是（　　）‎ A．BC：EF=1：1 B．BC：AB=1：2 C．AD：CF=2：3 D．BE：CF=2：3‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】由平行线分线段成比例定理得出==，由比例的性质得出=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵l1∥l2∥l3，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC：AB=1：2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出=是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（　　）‎ A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm ‎【考点】正多边形和圆．‎ ‎【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为8cm的圆内接正六边形的边长．‎ ‎【解答】解：解：已知圆内接半径r为4cm，‎ 则OB=4cm，‎ ‎∴BD=OB•sin30°=4×=2（cm）．‎ 则BC=2×2=4（cm）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了多边形的计算，所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎7．分解因式：ma2﹣mb2=　m（a+b）（a﹣b）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：ma2﹣mb2，‎ ‎=m（a2﹣b2），‎ ‎=m（a+b）（a﹣b）．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．‎ ‎　‎ ‎8．方程的根是　x=2　．‎ ‎【考点】无理方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得到x1=2，x2=﹣1，把它们分别代入原方程得到x2=﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x=2．‎ ‎【解答】解：方程两边平方得，x+2=x2，‎ 解方程x2﹣x﹣2=0得x1=2，x2=﹣1，‎ 经检验x2=﹣1是原方程的增根，‎ 所以原方程的根为x=2．‎ 故答案为x=2．‎ ‎【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．‎ ‎　‎ ‎9．不等式组的解集是　﹣1＜x＜2　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x＜2，‎ 解②得x＞﹣1，‎ 则不等式组的解集是：﹣1＜x＜2．‎ 故答案是：﹣1＜x＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎　‎ ‎10．如果关于x的方程x2+x+a﹣=0有两个相等的实数根，那么a的值等于　2　．‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据方程x2+x+a﹣=0有两个相等的实数根可得△=12﹣4（a﹣）=0，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：∵关于的方程x2+x+a﹣=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=0，‎ ‎∴12﹣4（a﹣）=0，‎ ‎∴a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△=0⇔方程有两个相等的实数根，此题难度不大．‎ ‎　‎ ‎11．函数y=的定义域是　x≠0　．‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围．‎ ‎【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，4x≠0，‎ 解得x≠0．‎ 故答案为：x≠0．‎ ‎【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是　2400　米．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由题意得，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，用正弦函数计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是=2400（米）．‎ 故答案是：2400．‎ ‎【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是　　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字的和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，‎ ‎∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是： =．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在四边形ABCD中，点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，如果，那么=　﹣　．（用表示）‎ ‎【考点】*平面向量．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出、，然后再利用三角形法则求解即可．‎ ‎【解答】解：∵点M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，‎ ‎∴==， ==，‎ ‎∴=﹣=﹣．‎ 故答案为： ﹣．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟练掌握向量的三角形法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．如果某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是　22　．‎ ‎【考点】中位数；条形统计图．‎ ‎【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．‎ ‎【解答】解：这组数据一共有30个，中位数是第15和第16个数据平均数，‎ 由图可知，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22，‎ 故答案为：22．‎ ‎【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．‎ ‎　‎ ‎16．已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，如果当0＜x1＜x2，可得y1＜y2，那么k　＜　．（填“＞”、“=”、“”＜）‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=，y2=，则＜，然后利用0＜x1＜x2可确定k的符号．‎ ‎【解答】解：∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴y1=，y2=，‎ ‎∵y1＜y2，‎ ‎∴＜，‎ 而0＜x1＜x2，‎ ‎∴k＜0．‎ 故答案为＜．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．‎ ‎　‎ ‎17．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，EF与对角线BD交于点G，如果BE=5，BF=3，那么FG：EF的比值是　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ ‎【分析】作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，由正方形的性质得出∠ABD=∠CBD=45°，由角平分线的性质得出GM=GN，得出=，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=45°，‎ ‎∴GM=GN，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、三角形的面积关系、角平分线的性质；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线得出三角形的面积关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为　（，2）　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=ED=x，在RT△ABE中利用勾股定理即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，‎ 设BE=DE=x，则AE=4﹣x，‎ 在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，‎ ‎∴（4﹣x）2+22=x2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴BE=ED=，AE=AD﹣ED=，‎ ‎∴点E坐标（，2）．‎ 故答案为（，2）．‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚什么时候△BFE面积最大，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 二、解答题：（本大题共7题，满分78）‎ ‎19．计算：．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先对式子进行化简，然后再合并同类项即可解答本题．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=﹣9+2﹣+9﹣‎ ‎=﹣9+2﹣‎ ‎=﹣9+2﹣‎ ‎=1﹣2．‎ ‎【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数，解题的关键是明确它们各自的计算方法、算出相应的数值，需要注意的是仔细认真计算．‎ ‎　‎ ‎20．解方程组：．‎ ‎【考点】高次方程．‎ ‎【分析】将方程②因式分解后可得x=y或x=2y，分别代入方程①可得方程组的两组解．‎ ‎【解答】解：，‎ 由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）=0，即x﹣y=0或x﹣2y=0，‎ 可得x=y或x=2y，‎ 将x=y代入①，得：2y=5，y=，‎ 故；‎ 将x=2y代入①，得：3y=5，y=，‎ 则x=，‎ 故；‎ 综上，或．‎ ‎【点评】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过分解等方法降幂求解即可．‎ ‎　‎ ‎21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】由AP2=AD•AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC，由相似三角形的性质得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，‎ ‎【解答】解：∵AP2=AD•AB，AB=AC，‎ ‎∴AP2=AD•AC，‎ ‎，‎ ‎∵∠PAD=∠CAP，‎ ‎∴△ADP∽△APC，‎ ‎∴∠APD=∠ACB=∠ABC，‎ 作AE⊥BC于E，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BE=CE=×24=12，‎ ‎∴AE==5‎ ‎∴sin∠APD=sin∠ABC=，‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．自2014年 ‎5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．”李师傅超速违法吗？为什么？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】由题意可知：王师傅行驶全程的时间﹣李师傅行驶全程的时间=0.5小时，根据等量关系列方程解答即可．‎ ‎【解答】解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则王师傅的平均速度为（x﹣20）千米/时．‎ 根据题意，得：﹣=0.5，‎ 解得：x1=100，x2=﹣80，‎ 经检验，x1=100，x2=﹣80都是所列方程的根，但x2=﹣80不符合题意，舍去．‎ 则x=100，‎ 李师傅的最大时速是：100×（1+15%）=115千米/时＜120千米/时．‎ 答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法．‎ ‎【点评】此题考查分式方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．‎ ‎（1）求证：四边形ABFD是菱形；‎ ‎（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠ABD，证得AB=AD，即可得到结论；‎ ‎（2）连接AF，OF，根据菱形的性质得到BD垂直平分AF，线段垂直平分线的性质得到AO=OF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根据相似三角形的性质得到结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形ABFD是平行四边形，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD，‎ ‎∴∠ADB=∠ABD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴四边形ABFD是菱形；‎ ‎（2）连接AF，OF，‎ ‎∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠BAC=90°，‎ ‎∵四边形ABFD是菱形，‎ ‎∴BD垂直平分AF，‎ ‎∴AO=OF，‎ ‎∴∠ABD=∠FAC，‎ ‎∴∠FOE=2∠FCA=2∠ABD=∠ABC，‎ ‎∴△ABC∽△EOF，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC•OE=AB•EF．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）求直线AC的表达式；‎ ‎（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）先求得点A与点B的坐标，然后依据待定系数法可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）先求得抛物线的对称轴为x=﹣1，依据点B与点C关于x=﹣1对称，可求得点C的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式；‎ ‎（3）①当CD∥AB时，AC=BC，故点D不存在；②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，依据点A与D1关于x=﹣1对称可求得点D1的坐标；③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．先依据AAS证明△AMC≌△CBF，从而可求得AF=CE=4，于是得到D2B=2，然后再证明BHD2∽△AMC，从而可求得BH=，HD2=，于是可求得点D2的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵将x=4代入y=得：y=2，‎ ‎∴B（4，2）．‎ ‎∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6，‎ ‎∴A（0，﹣6）．‎ ‎∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=+﹣6．‎ ‎（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．‎ ‎∴点B关于x=﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b．‎ ‎∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：，解得：k=﹣，b=﹣6，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣6．‎ ‎（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2），‎ ‎∴BC=10．‎ ‎∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2），‎ ‎∴AC==10．‎ ‎∴AC=BC．‎ ‎∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．‎ ‎②如图1所示：‎ 当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x=﹣1对称，‎ ‎∴D1（﹣2，﹣6）．‎ ‎③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．‎ ‎∵CB∥AM，‎ ‎∴∠BCA=∠CAM．‎ 在△AMC和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMC≌△CBF．‎ ‎∴CF=AM=6．‎ ‎∴AF=4．‎ ‎∵梯形ABD2C是等腰梯形，‎ ‎∴CE=AF=4．‎ ‎∴D2B=EF=2．‎ ‎∵BD2∥AC，‎ ‎∴∠D2BH=∠BCA．‎ ‎∵∠BCA=∠CAM，‎ ‎∴∠D2BH=∠CAM．‎ 又∵∠M=∠D2HB，‎ ‎∴BHD2∽△AMC．‎ ‎∴．‎ ‎∵BD2=2，‎ ‎∴BH=，HD2=，‎ ‎∴D2（，）．‎ 综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D2（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质，求得BD2=2是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．‎ ‎（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；‎ ‎（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．‎ ‎【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系；锐角三角函数的定义．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）由于ED=EA，因此点E在线段AD的垂直平分线上，因而线段AD的垂直平分线与线段AB的交点即为圆心E（如图1），然后只需解Rt△EHA就可解决问题；‎ ‎（2）如图2，易证△GCF∽△FHE，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；‎ ‎（3）由于点G在射线BC上，故需分点G在线段BC上（如图2、图3），点G在线段BC的延长线上（如图4），然后只需求出CG和GE就可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，‎ 点E即为所求作．‎ 在Rt△EHA中，AH=AD=4，tanA=，‎ ‎∴EH=AH•tanA=4×=3，AE==5．‎ ‎∴圆E的半径长为5；‎ ‎（2）当点G的边BC上时，如图2所示．‎ ‎∵∠C=90°，FG⊥EF，EH⊥AC，‎ ‎∴∠C=∠EHF=90°，∠CFG=∠FEH=90°﹣∠EFH，‎ ‎∴△GCF∽△FHE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=﹣x2+6x﹣（4≤x＜14）；‎ ‎（3）①当点G在BC上时，‎ Ⅰ．当∠FGE=∠CGF时，‎ 过点E作EN⊥BC于N，如图2，‎ ‎∵∠C=∠GFE=90°，‎ ‎∴△GCF∽△GFE，‎ ‎∴=．‎ ‎∵△GCF∽△FHE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴FC=FH=CH=（14﹣4）=5，‎ ‎∴x=AF=5+4=9，‎ ‎∴y=CG=，‎ ‎∴rG=GC=，rE=5．‎ ‎∴GN=﹣3=，EN=CH=10，‎ ‎∴EG==，‎ ‎∴rG﹣rE＜GE＜rG+rE，‎ ‎∴⊙E与⊙G相交；‎ Ⅱ．当∠FGE=∠CFG时，如图3，‎ 则有GE∥AC，‎ ‎∵∠C=∠AHE=90°，∴CG∥EH，‎ ‎∴四边形CGEH是矩形，‎ ‎∴rG=CG=EH=3，GE=CH=10，‎ ‎∴GE＞rE+rG，‎ ‎∴⊙E与⊙G外离；‎ ‎②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4，‎ ‎∵∠EHF=∠GCF=90°，∠GFC=∠HEF=90°﹣∠HFE，‎ ‎∴△EHF∽△FCG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=（x﹣4）（x﹣14）．‎ ‎∵∠FGE=∠CFG，∠FGE+∠MEF=90°，∠GFM+∠MFE=90°，‎ ‎∴MG=MF，∠MEF=∠MFE，‎ ‎∴ME=MF，∴MG=ME．‎ 在△GCM和△EHM中，‎ ‎∴△GCM≌△EHM，‎ ‎∴CG=HE=3，CM=MH=5，‎ ‎∴rG=3，EG=2GM=2，‎ ‎∴GE＞rG+rE，‎ ‎∴⊙E与⊙G外离．‎ 综上所述：当△EFG与△FCG相似时，⊙E与⊙G相交或外离．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆与圆的位置关系、三角函数的定义、勾股定理等知识，正确进行分类是解决第（3）小题的关键．‎ ‎　‎