连云港市中考数学试卷含答案解析

连云港市中考数学试卷含答案解析

‎ ‎ 江苏省连云港市2016年中考数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） ‎ ‎1．有理数﹣1，﹣2，0，3中，最小的数是（　　） ‎ A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．3‎ ‎【分析】先求出|﹣1|=1，|﹣2|=2，根据负数的绝对值越大，这个数就越小得到﹣2＜﹣1，而0大于任何负数，小于任何正数，则有理数﹣1，﹣2，0，3的大小关系为﹣2＜﹣1＜0＜3． ‎ ‎【解答】解：∵|﹣1|=1，|﹣2|=2， ‎ ‎∴﹣2＜﹣1， ‎ ‎∴有理数﹣1，﹣2，0，3的大小关系为﹣2＜﹣1＜0＜3． ‎ 故选B． ‎ ‎【点评】本题考查了有理数的大小比较：0大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越大，这个数就越小． ‎ ‎　 ‎ ‎2．据市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为4470000人，数据“4470000”用科学记数法可表示为（　　） ‎ A．4.47×106 B．4.47×107 C．0.447×107 D．447×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． ‎ ‎【解答】解：数据“4470000”用科学记数法可表示为4.47×106． ‎ 故选：A． ‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． ‎ ‎　 ‎ ‎3．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是（　　） ‎ ‎ ‎ A．丽 B．连 C．云 D．港 ‎【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答． ‎ ‎【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ‎ ‎“美”与“港”是相对面， ‎ ‎“丽”与“连”是相对面， ‎ ‎“的”与“云”是相对面． ‎ 故选D． ‎ ‎【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． ‎ ‎　 ‎ ‎4．计算：5x﹣3x=（　　） ‎ A．2x B．2x2 C．﹣2x D．﹣2‎ ‎【分析】原式合并同类项即可得到结果． ‎ ‎【解答】解：原式=（5﹣3）x=2x， ‎ 故选A ‎ ‎【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎5．若分式的值为0，则（　　） ‎ A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1或﹣2‎ ‎【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． ‎ ‎【解答】解：∵分式的值为0， ‎ ‎∴，解得x=1． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎6．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（　　） ‎ A．y=3x B． C． D．y=x2‎ ‎【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点，与题目描述相符的即为正确的，不符的就是错误的，本题得以解决． ‎ ‎【解答】解：y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误； ‎ 的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确； ‎ 的图象在二、四象限，故选项C错误； ‎ y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误； ‎ 故选B． ‎ ‎【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质． ‎ ‎　 ‎ ‎7．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（　　） ‎ ‎ ‎ A．86 B．64 C．54 D．48‎ ‎【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．同理，得出S4、S5、S6的关系． ‎ ‎【解答】解：如图1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2． ‎ ‎∵AB2=AC2+BC2， ‎ ‎∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3， ‎ 如图2，S4=S5+S6， ‎ ‎∴S3+S4=16+45+11+14=86． ‎ 故选A． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． ‎ ‎　 ‎ ‎8．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） ‎ ‎ ‎ A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜‎ ‎【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题． ‎ ‎【解答】解：如图，∵AD=2，AE=AF=，AB=3， ‎ ‎∴AB＞AE＞AD， ‎ ‎∴＜r＜3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内， ‎ 故选B． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型． ‎ ‎　 ‎ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） ‎ ‎9．化简：═　2　． ‎ ‎【分析】直接利用立方根的定义即可求解． ‎ ‎【解答】解：∵23=8 ‎ ‎∴=2． ‎ 故填2． ‎ ‎【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根． ‎ ‎　 ‎ ‎10．分解因式：x2﹣36=　（x+6）（x﹣6）　． ‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可． ‎ ‎【解答】解：原式=（x+6）（x﹣6）， ‎ 故答案为：（x+6）（x﹣6） ‎ ‎【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎11．在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，9，9，4，9，8，8，则这组数据的众数是　9　． ‎ ‎【分析】直接利用众数的定义得出答案． ‎ ‎【解答】解：∵7，9，9，4，9，8，8，中9出现的次数最多， ‎ ‎∴这组数据的众数是：9． ‎ 故答案为：9． ‎ ‎【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键． ‎ ‎　 ‎ ‎12．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=　72°　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质找出∠ABC=∠1，由BC平分∠ABD，根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC，再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论． ‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，∠1=54°， ‎ ‎∴∠ABC=∠1=54°， ‎ 又∵BC平分∠ABD， ‎ ‎∴∠CBD=∠ABC=54°． ‎ ‎∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC， ‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°． ‎ 故答案为：72°． ‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是找出各角的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． ‎ ‎　 ‎ ‎13．已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=　　． ‎ ‎【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=0代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值． ‎ ‎【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1=0 ‎ 解得a=． ‎ 故答案为：． ‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式． ‎ ‎　 ‎ ‎14．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=　75°　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】如图，作辅助线，首先证得=⊙O的周长，进而求得∠A3OA10==150°，运用圆周角定理问题即可解决． ‎ ‎【解答】解：设该正十二边形的圆心为O，如图，连接A10O和A3O， ‎ 由题意知， =⊙O的周长， ‎ ‎∴∠A3OA10==150°， ‎ ‎∴∠A3A7A10=75°， ‎ 故答案为：75°． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎15．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN=　　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案． ‎ ‎【解答】解：设DH=x，CH=2﹣x， ‎ 由翻折的性质，DE=1， ‎ EH=CH=2﹣x， ‎ 在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2， ‎ 即12+x2=（2﹣x）2， ‎ 解得x=，EH=2﹣x=． ‎ ‎∵∠MEH=∠C=90°， ‎ ‎∴∠AEN+∠DEH=90°， ‎ ‎∵∠ANE+∠AEN=90°， ‎ ‎∴∠ANE=∠DEH， ‎ 又∠A=∠D， ‎ ‎∴△ANE∽△DEH， ‎ ‎=，即=， ‎ 解得EN=， ‎ MN=ME﹣BC=2﹣=， ‎ 故答案为：． ‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点． ‎ ‎　 ‎ ‎16．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为　9π　． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE=AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段PD的长度，根据边与边的关系可找出PF的长度，分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论． ‎ ‎【解答】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，如图所示． ‎ ‎ ‎ ‎∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB， ‎ ‎∴AE=BE=AB=3． ‎ 在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°， ‎ ‎∴PE==4． ‎ ‎∵四边形ABCD为正方形， ‎ ‎∴AB∥CD，AB=BC=6， ‎ 又∵PE⊥AB， ‎ ‎∴PF⊥CD， ‎ ‎∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10． ‎ 在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFE=90°， ‎ ‎∴PD==． ‎ ‎∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环． ‎ ‎∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π． ‎ 故答案为：9π． ‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．计算：（﹣1）2016﹣（2﹣）0+． ‎ ‎【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果． ‎ ‎【解答】解：原式=1﹣1+5 ‎ ‎=5． ‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎18．解方程：． ‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． ‎ ‎【解答】解：去分母得：2+2x﹣x=0， ‎ 解得：x=﹣2， ‎ 经检验x=﹣2是分式方程的解． ‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． ‎ ‎　 ‎ ‎19．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可． ‎ ‎【解答】解：去分母，得：1+x＜3x﹣3， ‎ 移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1， ‎ 合并同类项，得：﹣2x＜﹣4， ‎ 系数化为1，得：x＞2， ‎ 将解集表示在数轴上如图： ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能正确求出不等式的解集． ‎ ‎　 ‎ ‎20．某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． ‎ ‎ ‎ ‎（1）本次问卷共随机调查了　50　名学生，扇形统计图中m=　32　． ‎ ‎（2）请根据数据信息补全条形统计图． ‎ ‎（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人？ ‎ ‎【分析】（1）由A的数据即可得出调查的人数，得出m=×100%=32%； ‎ ‎（2）求出C的人数即可； ‎ ‎（3）由1000×（16%+40%），计算即可． ‎ ‎【解答】解：（1）8÷16%=50（人），m=×100%=32% ‎ 故答案为：50，32； ‎ ‎（2）50×40%=20（人）， ‎ 补全条形统计图如图所示： ‎ ‎（3）1000×（16%+40%）=560（人）； ‎ 答：估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有560人． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想． ‎ ‎　 ‎ ‎21．甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教． ‎ ‎（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是　　． ‎ ‎（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率． ‎ ‎【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案； ‎ ‎（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． ‎ ‎【解答】解：（1）根据题意画图如下： ‎ ‎ ‎ 共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种， ‎ 则所选的2名教师性别相同的概率是=； ‎ 故答案为：； ‎ ‎ ‎ ‎（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示： ‎ ‎ ‎ 所以P（两名教师来自同一所学校）==． ‎ ‎【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． ‎ ‎　 ‎ ‎22．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． ‎ ‎（1）求证：△ADE≌△CBF； ‎ ‎（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； ‎ ‎（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． ‎ ‎【解答】证明：（1）∵BE=DF， ‎ ‎∴BE﹣EF=DF﹣EF， ‎ 即BF=DE， ‎ ‎∵AE⊥BD，CF⊥BD， ‎ ‎∴∠AED=∠CFB=90°， ‎ 在Rt△ADE与Rt△CBF中，， ‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CBF； ‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，连接AC交BD于O， ‎ ‎∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ‎ ‎∴∠ADE=∠CBF， ‎ ‎∴AD∥BC， ‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形， ‎ ‎∴AO=CO． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎23．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． ‎ ‎（1）求该店有客房多少间？房客多少人？ ‎ ‎（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ ‎ ‎【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； ‎ ‎（2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． ‎ ‎【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人； ‎ 根据题意得：， ‎ 解得：． ‎ 答：该店有客房8间，房客63人； ‎ ‎（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱； ‎ 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288千＜320钱； ‎ 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． ‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎24．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． ‎ ‎（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； ‎ ‎（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可； ‎ ‎（2）令y==1，得出x=12＜15，即可得出结论． ‎ ‎【解答】解：（1）分情况讨论： ‎ ‎①当0≤x≤3时， ‎ 设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b； ‎ 把A（0，0），B（3，4）代入得， ‎ 解得：， ‎ ‎∴y=﹣2x+10； ‎ ‎②当x＞3时，设y=， ‎ 把（3，4）代入得：m=3×4=12， ‎ ‎∴y=； ‎ 综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=； ‎ ‎（2）能；理由如下： ‎ 令y==1，则x=12＜15， ‎ 故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． ‎ ‎【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎25．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． ‎ ‎（1）求BC的长； ‎ ‎（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2） ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果； ‎ ‎（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果． ‎ ‎【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： ‎ 在Rt△ADC中，AC=4， ‎ ‎∵∠C=150°， ‎ ‎∴∠ACD=30°， ‎ ‎∴AD=AC=2， ‎ CD=ACcos30°=4×=2， ‎ 在Rt△ABD中，tanB===， ‎ ‎∴BD=16， ‎ ‎∴BC=BD﹣CD=16﹣2； ‎ ‎（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示： ‎ ‎∵∠ACB=150°， ‎ ‎∴∠AMC=∠MAC=15°， ‎ tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D． ‎ ‎（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； ‎ ‎（2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标； ‎ ‎（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y=x2﹣x，由于BC∥x轴，设C（x0，2）．于是得到方程x02﹣x0=2，即可得到结论； ‎ ‎（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0，或令y=x2﹣x=4，解方程即可得到结论； ‎ ‎（3）解直角三角形得到OB=2，OA=，OC=，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=‎ ‎①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论． ‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得， ‎ 故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x， ‎ ‎∵BC∥x轴， ‎ 设C（x0，2）． ‎ ‎∴x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2， ‎ ‎∵x0＜0， ‎ ‎∴C（﹣，2）； ‎ ‎ ‎ ‎（2）设△BCM边BC上的高为h， ‎ ‎∵BC=， ‎ ‎∴S△BCM=h=， ‎ ‎∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点， ‎ ‎∴M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0， ‎ 解得：x1=0，x2=， ‎ ‎∴M1（0，0），M2（，0），令y=x2﹣x=4， ‎ 解得：x3=，x4= ‎ ‎，∴M3（，0），M4（，4）， ‎ 综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）； ‎ ‎ ‎ ‎（3）∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2）， ‎ ‎∴OB=2，OA=，OC=， ‎ ‎∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=， ‎ ‎①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON， ‎ ‎∴ON=2OC=5， ‎ 过N作NE⊥x轴于E， ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE， ‎ 在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=， ‎ ‎∴OE=4，NE=3， ‎ ‎∴N（4，3）同理可得N（3，4）； ‎ ‎②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN， ‎ ‎∴BN=2OC=5， ‎ 过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F， ‎ ‎∴NF⊥BF， ‎ ‎∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF， ‎ ‎∴tan∠NBF=tan∠COD=， ‎ ‎∴BF=4，NF=3， ‎ ‎∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1）， ‎ 综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． ‎ ‎　 ‎ ‎27．我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON． ‎ 问题思考： ‎ ‎（1）如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由； ‎ ‎（2）如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B．小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由； ‎ ‎ ‎ 问题拓展： ‎ ‎（3）如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程； ‎ ‎（4）如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM．设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON足够长） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）如图1，作A关于平面镜ML的对称点A′，连接A′B交ML于点P，则点P即为所求，只要证明∠3=∠4即可． ‎ ‎（2）如图2，作A关于OM的对称点A′，作B关于ON的对称点B′，连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q． ‎ ‎（3）如图3，光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S，则光线的行进路线为A→P→Q→B，求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可． ‎ ‎（4）θ=30°，60°，90°，120°，150°，分别作出图形即可解决问题． ‎ ‎【解答】解：（1）如图1，作A关于平面镜ML的对称点A′，连接A′B交ML于点P，则点P即为所求． ‎ ‎ ‎ 证明：如图作PN⊥ML， ‎ ‎∵A与A′关于ML对称， ‎ ‎∴∠1=∠2， ‎ ‎∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ‎ ‎∴∠1+∠4=90°， ‎ ‎∴∠3=∠4， ‎ ‎∴AP是入射光线，PB是反射光线，P即为入射点． ‎ ‎（2）如图2，作A关于OM的对称点A′，作B关于ON的对称点B′，连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q． ‎ 则光线的行进路线为A→P→Q→B． ‎ ‎ ‎ ‎（3）如图3，光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S． ‎ ‎ ‎ ‎∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°， ‎ ‎∴OB=BA， ‎ ‎∵BC⊥ON， ‎ ‎∴CA=OA=， ‎ ‎∴AB=，BC=， ‎ ‎∴这束光线经过的路程为：SA+AB+BC+CB+BA+AS=（1++）×2=2+． ‎ ‎（4）θ=30°，60°，90°，120°，150°．理由如图所示， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识，解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决问题，第四个问题容易漏解，考虑问题要全面，属于中考压轴题． ‎ ‎　 ‎