全国中考数学压轴题精选含答案

全国中考数学压轴题精选含答案

全国中考数学压轴题精选(六)‎ ‎51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．‎ ‎（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．‎ ‎（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．‎ ‎（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ ‎ 图10‎ ‎（08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分 ‎ 所以 所以 3分 ‎（2）的周长之和为定值． 4分 理由一：‎ 过点C作FG的平行线交直线AB于H ，‎ 因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH ‎ 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，‎ 所以BC＋CH＋BH＝24 6分 理由二：‎ 由AB＝5，AM＝4，可知 ‎ 在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：‎ ‎，‎ 所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是 又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 6分 ‎（3）设BE＝x，则 所以 8分 配方得：． ‎ 所以，当时，y有最大值． 9分 最大值为． 10分 ‎52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）‎ 如图13，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．‎ ‎（1）求出直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB的函数表达式为 ‎∵∴∴ ‎ ‎∴直线AB的函数表达式为． 3分 ‎（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，‎ 因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．‎ 设所求的抛物线为 则 ‎∴所求抛物线为 7分 ‎（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．‎ 又AC=直角三角形的面积 假设抛物线上存在点．‎ 当故满足条件的存在．它们是． 10分 ‎53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分）‎ 已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.‎ x y ‎-4‎ ‎-6‎ C E P D B ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ F A G ‎2‎ ‎-2‎ ‎（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ ‎（08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得： 2分 ‎ 解得 3分 故抛物线的函数关系式为 4分 ‎（2）在抛物线上， 5分 点坐标为（2，6），、C在直线上 ‎ 解得 直线BC的解析式为 6分 设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）‎ ‎ 7分 ‎（3）存在P，使得∽ 8分 设P，‎ 故 若要∽，则要或 即或 解得或 又在抛物线上，或 解得或 故P点坐标为和 10分 ‎（只写出一个点的坐标记9分）‎ ‎54.（08湖南永州25题）（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3 ．‎ ‎（1）求此二次函数的解析式．‎ ‎（2）写出顶点坐标和对称轴方程．‎ ‎（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．‎ ‎（08湖南永州25题解析）（1）依题意分别代入 1分 解方程组得所求解析式为 4分 ‎（2） 5分 顶点坐标，对称轴 7分 ‎（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为 8分 把点代入得 9分 同理可得另一种情形 圆的半径为或 10分 ‎55.（08吉林长春27题）（１２分）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的表达式；‎ ‎（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．‎ ‎（08吉林长春27题解析）[解] （1）由 得． ‎ 又因为当时，，即， ‎ 解得，或（舍去），故的值为． ‎ ‎（2）由，得， ‎ 所以函数的图象的对称轴为， ‎ 于是，有，解得， ‎ 所以． ‎ ‎（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；‎ 由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； ‎ 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点． ‎ ‎56（08江苏盐城28题）（本题满分12分）‎ 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．‎ ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．‎ 第28题图 图甲 图乙 图丙 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎ ‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）‎ ‎ ‎ ‎（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．‎ ‎（08江苏盐城28题解析）（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．‎ ‎∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，‎ 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　‎ ‎ ∠ACF=∠ABD．‎ ‎∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD 图丁 ‎（2）画图正确　　　　　　　‎ 当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．‎ ‎ 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD ‎（3）当具备∠BCA=45º时，‎ 图戊 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）‎ ‎∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，‎ 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎． ‎ ‎∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．‎ ‎57.（08江西省卷24题）（本大题9分）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是 ‎，（其中为常数，且）．‎ ‎（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；‎ ‎（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；‎ y x A O B B ‎（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．‎ ‎（08江西省卷24题解析）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：‎ ‎①抛物线开口向下，或抛物线开口向上；‎ ‎②抛物线的对称轴是，或抛物线的对称轴是；‎ ‎③抛物线经过点，或抛物线经过点；‎ ‎④抛物线与的形状相同，但开口方向相反；‎ ‎⑤抛物线与都与轴有两个交点；‎ ‎⑥抛物线经过点或抛物线经过点；‎ 等等． 3分 ‎（2）当时，，令，‎ 解得． 4分 ‎，令，解得． 5分 ‎①点与点对称，点与点对称；‎ ‎②四点横坐标的代数和为0；‎ ‎③（或）． 6分 ‎（3），‎ 抛物线开口向下，抛物线开口向上． 7分 根据题意，得． 8分 当时，的最大值是2． 9分 说明：1．第（1）问每写对一条得1分；‎ ‎2．第（2）问中，①②③任意写对一条得1分；其它结论参照给分．‎ ‎58（08江西省卷25题）（本大题10分）如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．‎ ‎（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；‎ ‎（2）当为何值时，点落在对角线上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；‎ ‎（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.29‎ ‎0.29‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形．‎ A H F D G C B E 图1‎ 图2‎ B(E)‎ A(F)‎ D C G H A D C B 图3‎ H H D A C B 图4‎ ‎（参考数据：．）‎ B(E)‎ A(F)‎ D C G K M N H ‎（08江西省卷25题解析）解：（1）过作于交于，于．‎ ‎，，‎ ‎，． ‎ ‎，． 2分 ‎（2）当时，点在对角线上，其理由是： 3分 过作交于，‎ A D C B H E I P Q G F J 过作交于．‎ 平分，，．‎ ‎，，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 即时，点落在对角线上． 4分 ‎（以下给出两种求的解法）‎ 方法一：，．‎ 在中，，‎ ‎． 5分 ‎． 6分 方法二：当点在对角线上时，有 ‎， 5分 解得 ‎． 6分 ‎（3）‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.03‎ ‎0.13‎ ‎0.29‎ ‎0.50‎ ‎0.50‎ ‎0.29‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.03‎ ‎0.13‎ ‎ 8分 ‎（4）由点所得到的大致图形如图所示：‎ H A C D B ‎ 10分 说明：1．第（1）问中，写对的值各得1分；‎ ‎2．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得1分，求出的值各得1分；‎ ‎3．第填对其中4空得1分；‎ ‎3．图形大致画得正确的得2分．‎ ‎59（08山东济南24题）（本小题满分9分）‎ 已知：抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ 第24题图 C O x A D P M E B N y ‎（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（08山东济南24题解析）解：(1)设抛物线的解析式为 1分 将A(－1，0)代入: ∴ 2分 ‎∴ 抛物线的解析式为，即： 3分 ‎（2）是定值， 4分 ‎∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE ‎∴ △APM∽△ABE，∴ ①‎ 同理: ② 5分 ‎① + ②: 6分 ‎（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB ‎∴ EA=EB ‎∵ ∠AEB=90°‎ ‎∴ △AEB为等腰直角三角形．‎ ‎∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分 如图，过点P作PH⊥BE于H，‎ 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，‎ ‎∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ‎∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°‎ ‎∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ‎∴ ‎ ‎∴ 　① 8分 在△MEP和△EGF中，‎ ‎∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°‎ ‎∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ‎∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ‎∴ 　　　　②‎ 由①、②知： 9分 ‎（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）‎ ‎60.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，‎ b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。‎ ‎（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；‎ ‎（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。‎ ‎（08浙江杭州24题解析）∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为,‎ ‎∴ 抛物线对应的解析式为:. --- 2分 ‎∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴. --- 1分 令, 得，, ‎ ‎∴ )( )| ,‎ 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分 ‎(2) ∵, ∴ , 得: ,‎ 解得. --- 1分 在中,‎ ‎1) 当时,由 , 得, ‎ 当时, 由, 解得, ‎ 此时, 二次函数解析式为; --- 2分 当时, 由, 解得, ‎ 此时，二次函数解析式为 + +. --- 2分 ‎2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,‎ ‎（也可由代，代得到）‎ 所以二次函数解析式为 + –或. --- 2分.‎