全国中考数学压轴题精选含答案

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全国中考数学压轴题精选含答案

全国中考数学压轴题精选(六)‎ ‎51.(08湖南郴州27题)(本题满分10分)如图10,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F. FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF..‎ ‎(1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG.‎ ‎(2) 当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.‎ ‎(3)设BE=x,△DEF的面积为 y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少? ‎ 图10‎ ‎(08湖南郴州27题解析)(1) 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以 1分 ‎ 所以 所以 3分 ‎(2)的周长之和为定值. 4分 理由一:‎ 过点C作FG的平行线交直线AB于H ,‎ 因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.所以 FH=CG,FG=CH 因此,的周长之和等于BC+CH+BH ‎ 由 BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,‎ 所以BC+CH+BH=24 6分 理由二:‎ 由AB=5,AM=4,可知 ‎ 在Rt△BEF与Rt△GCE中,有:‎ ‎,‎ 所以,△BEF的周长是, △ECG的周长是 又BE+CE=10,因此的周长之和是24. 6分 ‎(3)设BE=x,则 所以 8分 配方得:. ‎ 所以,当时,y有最大值. 9分 最大值为. 10分 ‎52(08湖南郴州28题)(本题满分10分)‎ 如图13,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与轴、轴分别相交于两点.‎ ‎(1)求出直线AB的函数解析式;‎ ‎(2)若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M,顶点C在⊙M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;‎ ‎(3)设(2)中的抛物线交轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(08湖南郴州28题解析)解:(1)设AB的函数表达式为 ‎∵∴∴ ‎ ‎∴直线AB的函数表达式为. 3分 ‎(2)设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点,依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N,在直角三角形AOB中,‎ 因为⊙M经过O、A、B三点,且⊙M的直径,∴半径MA=5,∴N为AO的中点AN=NO=4,∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2,∴C点的坐标为(-4,2).‎ 设所求的抛物线为 则 ‎∴所求抛物线为 7分 ‎(3)令得D、E两点的坐标为D(-6,0)、E(-2,0),所以DE=4.‎ 又AC=直角三角形的面积 假设抛物线上存在点.‎ 当故满足条件的存在.它们是. 10分 ‎53(08湖南湘潭26题)(本题满分10分)‎ 已知抛物线经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)若过点B的直线与抛物线相交于点C(2,m),请求出OBC的面积S的值.‎ x y ‎-4‎ ‎-6‎ C E P D B ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ F A G ‎2‎ ‎-2‎ ‎(3)过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F,交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED(如图),是否存在点P,使得OCD与CPE相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ‎ ‎(08湖南湘潭26题解析)解:(1)由题意得: 2分 ‎ 解得 3分 故抛物线的函数关系式为 4分 ‎(2)在抛物线上, 5分 点坐标为(2,6),、C在直线上 ‎ 解得 直线BC的解析式为 6分 设BC与x轴交于点G,则G的坐标为(4,0)‎ ‎ 7分 ‎(3)存在P,使得∽ 8分 设P,‎ 故 若要∽,则要或 即或 解得或 又在抛物线上,或 解得或 故P点坐标为和 10分 ‎(只写出一个点的坐标记9分)‎ ‎54.(08湖南永州25题)(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与坐标轴交于点A、B、C且OA=1,OB=OC=3 .‎ ‎(1)求此二次函数的解析式.‎ ‎(2)写出顶点坐标和对称轴方程.‎ ‎(3)点M、N在y=ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边),且MN∥x轴,求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.‎ ‎(08湖南永州25题解析)(1)依题意分别代入 1分 解方程组得所求解析式为 4分 ‎(2) 5分 顶点坐标,对称轴 7分 ‎(3)设圆半径为,当在轴下方时,点坐标为 8分 把点代入得 9分 同理可得另一种情形 圆的半径为或 10分 ‎55.(08吉林长春27题)(12分)已知两个关于的二次函数与当时,;且二次函数的图象的对称轴是直线.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数的表达式;‎ ‎(3)在同一直角坐标系内,问函数的图象与的图象是否有交点?请说明理由.‎ ‎(08吉林长春27题解析)[解] (1)由 得. ‎ 又因为当时,,即, ‎ 解得,或(舍去),故的值为. ‎ ‎(2)由,得, ‎ 所以函数的图象的对称轴为, ‎ 于是,有,解得, ‎ 所以. ‎ ‎(3)由,得函数的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为;‎ 由,得函数的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为; ‎ 故在同一直角坐标系内,函数的图象与的图象没有交点. ‎ ‎56(08江苏盐城28题)(本题满分12分)‎ 如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.‎ ①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ,数量关系为 ▲ .‎ 第28题图 图甲 图乙 图丙 ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?‎ ‎ ‎ ‎(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.‎ 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)‎ ‎ ‎ ‎(3)若AC=,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.‎ ‎(08江苏盐城28题解析)(1)①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等;‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ,∠DAF=90º.‎ ‎∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC,‎ 又AB=AC ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD     ‎ ‎ ∠ACF=∠ABD.‎ ‎∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD 图丁 ‎(2)画图正确       ‎ 当∠BCA=45º时,CF⊥BD(如图丁).‎ ‎ 理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG 可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF⊥BD ‎(3)当具备∠BCA=45º时,‎ 图戊 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q,(如图戊)‎ ‎∵DE与CF交于点P时, ∴此时点D位于线段CQ上,‎ ‎∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.设CD=x ,∴ DQ=4—x,‎ 容易说明△AQD∽△DCP,∴ , ∴,‎ ‎. ‎ ‎∵0<x≤3 ∴当x=2时,CP有最大值1.‎ ‎57.(08江西省卷24题)(本大题9分)已知:如图所示的两条抛物线的解析式分别是 ‎,(其中为常数,且).‎ ‎(1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论;‎ ‎(2)当时,设与轴分别交于两点(在的左边),与轴分别交于两点(在的左边),观察四点坐标,请写出一个你所得到的正确结论,并说明理由;‎ y x A O B B ‎(3)设上述两条抛物线相交于两点,直线都垂直于轴,分别经过两点,在直线之间,且与两条抛物线分别交于两点,求线段的最大值.‎ ‎(08江西省卷24题解析)(1)解:答案不唯一,只要合理均可.例如:‎ ‎①抛物线开口向下,或抛物线开口向上;‎ ‎②抛物线的对称轴是,或抛物线的对称轴是;‎ ‎③抛物线经过点,或抛物线经过点;‎ ‎④抛物线与的形状相同,但开口方向相反;‎ ‎⑤抛物线与都与轴有两个交点;‎ ‎⑥抛物线经过点或抛物线经过点;‎ 等等. 3分 ‎(2)当时,,令,‎ 解得. 4分 ‎,令,解得. 5分 ‎①点与点对称,点与点对称;‎ ‎②四点横坐标的代数和为0;‎ ‎③(或). 6分 ‎(3),‎ 抛物线开口向下,抛物线开口向上. 7分 根据题意,得. 8分 当时,的最大值是2. 9分 说明:1.第(1)问每写对一条得1分;‎ ‎2.第(2)问中,①②③任意写对一条得1分;其它结论参照给分.‎ ‎58(08江西省卷25题)(本大题10分)如图1,正方形和正三角形的边长都为1,点分别在线段上滑动,设点到的距离为,到的距离为,记为(当点分别与重合时,记).‎ ‎(1)当时(如图2所示),求的值(结果保留根号);‎ ‎(2)当为何值时,点落在对角线上?请说出你的理由,并求出此时的值(结果保留根号);‎ ‎(3)请你补充完成下表(精确到0.01):‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.29‎ ‎0.29‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎(4)若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”.当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图4中描出部分点后,勾画出点运动所形成的大致图形.‎ A H F D G C B E 图1‎ 图2‎ B(E)‎ A(F)‎ D C G H A D C B 图3‎ H H D A C B 图4‎ ‎(参考数据:.)‎ B(E)‎ A(F)‎ D C G K M N H ‎(08江西省卷25题解析)解:(1)过作于交于,于.‎ ‎,,‎ ‎,. ‎ ‎,. 2分 ‎(2)当时,点在对角线上,其理由是: 3分 过作交于,‎ A D C B H E I P Q G F J 过作交于.‎ 平分,,.‎ ‎,,.‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 即时,点落在对角线上. 4分 ‎(以下给出两种求的解法)‎ 方法一:,.‎ 在中,,‎ ‎. 5分 ‎. 6分 方法二:当点在对角线上时,有 ‎, 5分 解得 ‎. 6分 ‎(3)‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.03‎ ‎0.13‎ ‎0.29‎ ‎0.50‎ ‎0.50‎ ‎0.29‎ ‎0.13‎ ‎0.03‎ ‎0‎ ‎0.03‎ ‎0.13‎ ‎ 8分 ‎(4)由点所得到的大致图形如图所示:‎ H A C D B ‎ 10分 说明:1.第(1)问中,写对的值各得1分;‎ ‎2.第(2)问回答正确的得1分,证明正确的得1分,求出的值各得1分;‎ ‎3.第填对其中4空得1分;‎ ‎3.图形大致画得正确的得2分.‎ ‎59(08山东济南24题)(本小题满分9分)‎ 已知:抛物线(a≠0),顶点C (1,),与x轴交于A、B两点,.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.‎ 第24题图 C O x A D P M E B N y ‎(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP ,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(08山东济南24题解析)解:(1)设抛物线的解析式为 1分 将A(-1,0)代入: ∴ 2分 ‎∴ 抛物线的解析式为,即: 3分 ‎(2)是定值, 4分 ‎∵ AB为直径,∴ ∠AEB=90°,∵ PM⊥AE,∴ PM∥BE ‎∴ △APM∽△ABE,∴ ①‎ 同理: ② 5分 ‎① + ②: 6分 ‎(3)∵ 直线EC为抛物线对称轴,∴ EC垂直平分AB ‎∴ EA=EB ‎∵ ∠AEB=90°‎ ‎∴ △AEB为等腰直角三角形.‎ ‎∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分 如图,过点P作PH⊥BE于H,‎ 由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形,‎ ‎∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ‎∵∠AMP=∠PHB=90°, ∠EAB=∠BPH=45°‎ ‎∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ‎∴ ‎ ‎∴  ① 8分 在△MEP和△EGF中,‎ ‎∵ PE⊥FG, ∴ ∠FGE+∠SEG=90°‎ ‎∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ‎∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ‎∴     ②‎ 由①、②知: 9分 ‎(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)‎ ‎60.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,‎ b)。平移二次函数的图象,得到的抛物线F满足两个条件:①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(∣OB∣<∣OC∣),连结A,B。‎ ‎(1)是否存在这样的抛物线F,使得?请你作出判断,并说明理由;‎ ‎(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F对应的二次函数的解析式。‎ ‎(08浙江杭州24题解析)∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为,‎ ‎∴ 抛物线对应的解析式为:. --- 2分 ‎∵ 抛物线与x轴有两个交点,∴. --- 1分 令, 得,, ‎ ‎∴ )( )| ,‎ 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分 ‎(2) ∵, ∴ , 得: ,‎ 解得. --- 1分 在中,‎ ‎1) 当时,由 , 得, ‎ 当时, 由, 解得, ‎ 此时, 二次函数解析式为; --- 2分 当时, 由, 解得, ‎ 此时,二次函数解析式为 + +. --- 2分 ‎2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,‎ ‎(也可由代,代得到)‎ 所以二次函数解析式为 + –或. --- 2分.‎
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