株洲中考数学试题及解答分析

株洲中考数学试题及解答分析

绝密★启用前　‎ 姓　　名 准考证号 株洲市2014年初中毕业学业考试 数学试题及解答 时量：120分钟　　满分：100分 注意事项：‎ ‎1、答题前，请按要求在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。‎ ‎2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。‎ ‎3、考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。‎ 选择题：答案为A　D　D　B　C　C　B　C 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1、下列各数中，绝对值最大的数是 A、－3　　　　　　　　　B、－‎2　‎　　　　　　C、0　　　　　　　　D、1‎ ‎2、取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义 A、－2　　　　　　　　　B、‎0　‎　　　　　　　C、2　　　　　　　　D、4‎ 解：本题变相考二次根式有意义的条件 ‎3、下列说法错误的是 A、必然事件的概率为1‎ B、数据1、2、2、3的平均数是2‎ C、数据5、2、－3、0的极差是8‎ D、如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖 ‎4、已知反比例函数的图象经过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 A、（－6,1）　　　　　B、（1,6）　　　　　　C、（2，－3）　　　　　　D、（3，－2）‎ 解：本题主要考查反比例函数三种表达中的 ‎5、下列几何何中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是 ‎6、一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是 A、4　　　　　　　B、‎5　‎　　　　　　　C、6　　　　　　D、7‎ 解：分析本题主要考查学生解一元一次不等式的能力及找特解的能力。‎ ‎7、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥‎ BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是 A、选①②　　　　　B、选②③　　　　C、选①③　　　　D、选②④‎ 解：分析本题主要考查学生由平行四边形判定要正方形的判定方法 答案：选B ‎8、在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点和，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步走1个单位……依此类推，第步的是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当被3除，余数是1时，则向右走1个单位，当被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当他走完第100步时，棋子所处位置的坐标是：‎ A、（66,34）　　B、（67,33）　　C、（100,33）　　　D、（99,34）‎ 解：本题主要考查学生对信息的分类 在1至100这100个数中：‎ ‎（1）能被3整除的为33个，故向上走了33个单位 ‎（2）被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位 ‎（3）被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位 故总共向右走了34＋66＝100个单位，向上走了33个单位。‎ 答案选C 二、填空题（本题共8小题，每小题共3分，共24分）‎ ‎9、计算：＝　　　　　‎ 解：本题主要考查：同底数幂的乘法法则。答案 ‎10、根据教育部统计，参加2014年全国高等学校招生考试的考生约为9390000人，用科学记数法表示9390000是　　　　　　。‎ 解：本题主要考查：科学记数法的表示方法　‎ ‎11、如图，点A、B、C、都在圆O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，‎ 那么∠ACB的大小是　　‎ 解：本题主要考查：同弧所对的圆心角与圆周角的大小关系 过程略　28°‎ ‎12、某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为　　　　　　‎ 解：本题主要考查扇形统计图中得到信息，即总人数为60÷20%＝300人，然后计算出A等级的百分比：90÷300×100%＝30%，再计算圆心角为：360°×30%＝108°‎ ‎13、孔明同学在距某电视塔塔底水平距离‎500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为　　　米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，≈0.3640，tan70°≈2.7475）‎ 解：本题主要考查学生对三角函数的边角关系的运用能力。给出草图，要求AC，‎ ‎14、分解因式：＝　　　。‎ 解：本题的目的主要是让学生用分组分解法。但也可以去括号后，进行因式分解（利用配方或十字相乘）‎ ‎15、直线与相交点（－2,0），且两直线与轴围成的三角形面积为4，那么＝　　　　　‎ 解：本题考查学生对点的坐标与它到两轴的距离的理解。‎ 交点到y轴的距离为2，面积为4，故底边长为4，＝4‎ ‎16、如果函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限，那么的取值范围是　　　‎ 解法一：经过平面直角坐标系的四个象限 ‎∴需满足下列两条件：‎ ‎（1）它与轴有两个交点 即：‎ 解之得：‎ 由于，故抛物线的对称轴，给出草图。‎ ‎（2）抛物线与轴的交点纵坐标＞0‎ 即：‎ 解之得：‎ 综上可知：‎ 解法二： 经过平面直角坐标系的四个象限 ‎∴需满足下列两条件：‎ ‎（1）它与轴有两个交点 即：‎ 解之得：‎ ‎（2）方程的两根符号相反（分居在原点的两侧，即一正，一负）‎ 即：‎ 即：‎ 解之得：‎ 综上可知：‎ 三、解答题（本大题8小题，共52分）‎ ‎17、（本题满分4分）计算：‎ ‎18、（本题满分4分）先化简，再求值：，其中 ‎19、（本题满分6分）我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”，根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计前三行的数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的，请回答下列问题：‎ ‎（1）统计表中＝　　　　，＝　　　　；‎ ‎（2）统计表后三行中，哪一个数据是错误的？正确的值是多少？‎ ‎（3）株洲市决定从炎陵县的4位“最有孝心的美少年”任选两位作为市级形象代言人，A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？‎ 区域 频数 频率 炎陵县 ‎4‎ 茶陵县 ‎5‎ ‎0.125‎ 攸县 ‎0.15‎ 醴陵市 ‎8‎ ‎0.2‎ 株洲县 ‎5‎ ‎0.125‎ 株洲城区 ‎12‎ ‎0.25‎ 解：（1）由于前三行的数据都是正确的，故选择茶陵数据作为计算依据，求出总人数为：‎ ‎5÷0.125＝40，故＝4÷40＝0.1；＝40×0.15＝6‎ ‎（2）株洲城区的频率是错误的：12÷40＝0.3‎ ‎（3）设炎陵县的4人，分别为A、B、C、D，画出树状图：‎ 故P＝‎ ‎20、（本题满分6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：‎ ‎（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快‎1千米；‎ ‎（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有‎1千米；‎ ‎（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近‎2千米；‎ ‎（4）下山用了1个小时。‎ 根据上面信息，他作出如下计划：‎ ‎（1）在山顶浏览1个小时；‎ ‎（2）中午12：00回家吃中餐。‎ 若依据以上信息和计划登山游玩，请问孔明同学应该在什么时间从家里出发？‎ 解：分析此题信息量极大，不是常见的应用题，需要进行相关的整理。‎ 由（1）得：V下＝（V上＋1）千米每小时 由（2）得：S上＋1＝S全（S全表示到山顶的距离），T上＝2小时 由（3）得：S下＋2＝S全（S全表示到山顶的距离）‎ 由（4）得：T下＝1小时 由上可知：：S下＋2＝S上＋1①‎ 涉及公式：V＝ST S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝（V上＋1）×1‎ 代入①得： （V上＋1）×1＋2＝V上×2＋1‎ 解得：V上＝‎2千米每小时，V下＝‎3千米每小时，S全＝‎‎5千米 ‎（二）计算计划所花费的时间：‎ T计划上＝S全÷V上＝小时 T计划下＝2小时 浏览1小时 总共用时＝＋1＋1＝小时＝4小时30分钟 ‎（三）计算出发时间 ‎12：00－4小时30分钟＝7：30‎ 答：他应在7：30出发。‎ 若对（3）给的信息若理解为：他在上山2小时的位置返回题目的解答如下：‎ 解： ‎ ‎（一）计算：上，下山速度V上、V下及到山顶距离S全 由（1）得：V下＝（V上＋1）千米每小时 由（2）得：S上＋1＝S全（S全表示到山顶的距离）T上＝2小时 由（3）得：S下＋3＝S全（S全表示到山顶的距离）‎ 由（4）得：T下＝1小时 由上可知：：S下＋3＝S上＋1①‎ 涉及公式：V＝ST S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝（V上＋1）×1‎ 代入①得： （V上＋1）×1＋3＝V上×2＋1‎ 解得：V上＝‎3千米每小时，V下＝‎4千米每小时，S全＝‎‎7千米 ‎（二）计算计划所花费的时间：‎ T计划上＝S全÷V上＝小时 T计划下＝1÷V下＋1＝小时 浏览1小时 总共用时＝＋1＋＝小时＝4小时35分钟 ‎（三）计算出发时间 ‎12：00－4小时35分钟＝7：25‎ 答：他应在7：25出发。‎ ‎21、（本题满分6分）已知关于的一元二次方程，其中、、分别是△ABC的三边长。‎ ‎（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由 ‎（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。‎ 解：（1）利用一元二次方程解的意义，‎ 将代入原方程得：‎ ‎，即可得：‎ 故△ABC是等腰三角形。‎ ‎（2）考查一元二次方程的根与判别式的关系：‎ 由已知可知：△＝‎ 即：‎ 可得：‎ 故△ABC是直角三角形。‎ ‎（3）考查等边三角形的三边相等，即 故原方程可化为：‎ 解之得：‎ ‎22（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）‎ ‎（1）求证：△ACE≌△AFE ‎（2）求tan∠CAE的值。‎ 解：（1）考查学生对全等三角形的判定的运用 ‎（2）考查学生对全等三角形的性质运用，三角函数的运用能力 设：BF＝，则AF＝AC＝2，AB=3‎ 由勾股定理可知：CB＝‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠B=‎ 在Rt△EFB中，∠EFB＝90°，tan∠B=‎ 得到：EF＝‎ 由（1）知：CE＝EF＝‎ 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，tan∠CAE＝‎ ‎23、（本题满分8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC，‎ ‎（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）‎ ‎（2）设∠AOB＝α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）‎ ‎（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（如图3）‎ 解：（1）如下图连结OA，‎ ‎∵AB是圆O的切线 ‎∴OA⊥BA，∠OAB≒90°‎ ‎∵Rt△ABO中，OA＝1，OB＝2‎ ‎∴AB＝‎ ‎∴△ABC为边长为的等边三角形 ‎∴∠ABE≒60°‎ 过点A作AE⊥BC于点E ‎∵Rt△ABE中，AB＝，∠ABE≒60°‎ ‎∴AE＝‎ ‎∴S△ABC＝BC×AE＝××＝‎ ‎（2）这一问主要考查学生对线段AB与圆O只有一个交点所在位置的理解：‎ 可以看出，当AB是圆O的切线时，∠AOB最大，此时∠AOB≒60°‎ 然后随着A点靠近Q ‎ 点，∠AOB越来越小，最小时，就是A与Q重合，此时∠AOB≒0°‎ 故0°∠AOB60°‎ ‎（3）主要考查学生思路：垂径分弦、分弧，及弧与圆心角、圆周角的关系及相似的运用 连结AP，QM ‎∵AO⊥PM于点N ‎∴‎ ‎∴∠AOP＝∠POM，‎ ‎∵∠MQP＝∠POM ‎∴∠AOP＝∠MQP ‎∴AO∥MQ ‎∵OQ＝QB ‎∴AM＝BM＝‎ ‎∵△ABC为等边三角形 ‎∴CM⊥AB ‎∵∠MQB＋∠MQP＝180°‎ ‎∠PAB＋∠MQP＝180°‎ ‎∴∠PAB＝∠MQB 在△BAP与△BQM中 ‎∵∠PAB＝∠MQB ‎　∠MBQ＝∠PBA ‎∴△BAP∽△BQM ‎∴‎ 即：BA×BM＝BP×BQ ‎∴‎ ‎∴BA=‎ ‎∵Rt△BMC中，∠BMC＝90°，BM＝＝，AB＝‎ ‎∴CM=‎ ‎24、（本题满分10分）已知抛物线和直线 ‎（1）求证：无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点；‎ ‎（2）抛物线与轴交于点A、B，直线与轴点C，设A、B、C三点的横坐标分别是、、，求的最大值；‎ ‎（3）如果抛物线与与轴交于点A、B在原点的右边，直线与轴点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且 ‎，求抛物线的解析式。‎ 解：（1）此问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 ‎∵的判别式△＝ ‎ ‎∴无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点 ‎（2）主要考查学生对直线与抛物线与轴交点横坐标与方程的关系、根与系数的关系及二次函数的最大值的求法。‎ ‎∵与轴点C的横坐标为：‎ 与轴交于点A、B的横坐标为方程：的两个根 ‎∴＝，‎ ‎∴=‎ ‎∴最大值为：‎ ‎（3）此题考查了：从到比例式，然后再由比例式进行变形得到相似，然后得到平行，通过平行得比例式从而求解出函数解析式：‎ ‎①证明：AD∥BE ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即：‎ ‎∵∠GCA≒∠ECB，‎ ‎∴△GCA∽△ECB ‎∴∠GAC≒∠EBC ‎∴AD∥BE ‎②证明△OAD∽△OBE 在△OAD与△OBE中 ‎∵∠GAC≒∠EBC，∠DOA≒∠EOB ‎∴△OAD∽△OBE ‎∴‎ ‎③利用根与系数的关系及函数关系建立方程 设的两根分别为与 则可知：OA＝，OB＝‎ OD长度为与轴交点的纵坐标的长度；OE长度为：与轴交点的纵坐标 ‎∵‎ ‎∴ （方程一）‎ 根据根与系数的关系列出另两方程：‎ ‎（方程二）‎ ‎（方程三）‎ 将方程一、二、三组成方程组。解之得：‎ ‎∴抛物线的解析式为：‎ ‎④方程的解法技巧：‎ 将方程三代入方程一得：‎ ‎∵由图可知，对称轴在轴的右边 ‎∴‎ 故得：‎ 代入方程二从而解出：‎ 将、代入方程三：即可得 ‎　　‎