中考几何中的类比探究解题方法分析

中考几何中的类比探究解题方法分析

中考几何中的类比探究解题方法分析 河南省息县城郊中学 敖 勇 河南省中考几何中的类比探究题是中考的第22题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定难度。试题特点关注知识的衔接点和交汇处，综合性较强。由于学生没有科学正确的解题方法，得分率很低。其原因不是学生知识的能量达不到，而是类比探究题中所隐含的数学思想和几何模型没有很好地理解与运用。‎ 初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型……还有对称，平移，旋转，相似，折叠等知识，这些基本的数学知识学生实际上已经掌握，因不能结合已知条件的特征及结论和图形的情况，灵活把握，所以不能举一反三，触类旁通。（这些模型都隐含在教材的例题中）因此明确解题方向，正确作辅助线是我们做好几何类比探究题的最基本的思想。那么什么叫类比探究呢？类比探究：是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主）。‎ 解决类比探究问题的一般方法：‎ ‎1、根据题干条件，结合分支条件 先解决第一问；‎ ‎2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和为变特征，依据不变的特征，探索新的方法。‎ 类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。‎ ‎【类比探究解题方法和思路】‎ ‎1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似 （母子型、A字型、八字型 ） 三线合一、面积等；‎ ‎2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。‎ ‎3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。‎ ‎4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。‎ 常见不变结构及方法：‎ ‎①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；‎ ‎②中点：作倍长、通过全等转移边和角；‎ ‎③平行：找相似、转比例。‎ ‎5、哪些是不变的，哪些是变化的。哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。‎ 类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。（2012河南省中考数学试题第22题）‎ 原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。若，求的值。‎ ‎（1）尝试探究 ‎ 在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是__AB=_3EH_，CG和EH的数量关系是__CG =_2EH_，的值是 ‎ ‎（2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若，则的值是 ‎ ‎（用含m的代数式表示），试写出解答过程。‎ E F C D B G A 图2‎ H E F C D B G A 图1‎ H 解：过E点作EH∥AB,交BG于点H,则△ABF∽△ EHF ‎∴‎ ‎∴AB=mEH，在□ABCD中，AB=CD，∴CD=mEH，‎ 同理可证 △BEH∽△ BCG ∴CG=2EH ‎∴= ‎ ‎（3）拓展迁移 H E F C D B A 图3‎ ‎ 如图3，梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F。若，，则的值是（用含a，b的代数式表示）。‎ ‎【解析】过E作EH∥AB，交BD延长线于点H 由题意可知:EH∥DC∥AB ‎∴ ‎ ‎∴CD = b EH 又∵‎ ‎∴AB=a CD ‎ ‎ ‎∴‎ ‎( 照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。也就是知识的迁移。平行：找相似、转比例。)‎ 案例2、操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE。点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．‎ ‎（2）类比探究：‎ 如图（2），将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ 解：分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；‎ ‎（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．‎ 解答：解：（1）猜想线段GF=GC，‎ 证明：连接EG，‎ ‎∵E是BC的中点，∴BE=CE，‎ ‎∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，‎ ‎∴BE=EF，∴EF=EC，‎ ‎∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），‎ ‎∴FG=CG；‎ ‎（2）（1）中的结论仍然成立．‎ 证明：连接EG，FC，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ ‎∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∠B=∠AFE，∴EF=EC，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∵矩形ABCD改为平行四边形，∴∠B=∠D，‎ ‎∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，‎ ‎∴∠ECD=∠EFG，‎ ‎∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，‎ ‎∴∠GFC=∠GCF，‎ ‎∴FG=CG；‎ 即（1）中的结论仍然成立．‎ ‎【此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．】‎ 解法二：延长AE到P交DC的延长线于点P，用倍长中线的方法更简单。‎ 口诀：倍长中线等中线，等量关系一大片。P P （如下图）‎ 案例3，如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，‎ ‎（1）如图1：若EA=CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）如图2：若EA=2CE，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若EA=kCE，探索线段EF与EG的数量关系，请直接写出你的结论．‎ ‎（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先证△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作为一个条件，再利用ASA易证Rt△EFQ≌Rt△EGH，从而有EF=EG；‎ ‎（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 ，‎ 再证△AQE∽△EHC，那么 ，‎ 等量代换易得 ，于是EF=2EG；‎ ‎（3）根据（1）（2）的结论易得EF=kEG．‎ 解答：证明：作EH⊥CD，EQ⊥AB，‎ ‎∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，‎ ‎∵EH⊥CD，EQ⊥AB，‎ ‎∴∠AQE=∠EHC=90°，‎ 又∵EA=CE，‎ ‎∴△AEQ≌△ECH，‎ ‎∴EQ=EH，∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，‎ ‎∴四边形EQDH是矩形，‎ ‎∴∠QEH=90°，‎ ‎∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，‎ 又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，‎ ‎∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，‎ ‎∴EF=EG；‎ ‎（2）作EH⊥CD，EQ⊥AB（如图2），‎ ‎∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，‎ ‎∴四边形EQDH是矩形，‎ ‎∴∠QEH=90°，‎ ‎∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，又∵∠EQF=∠EHG=90°，‎ ‎∴△EFQ∽△EGH，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC=BC，CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，‎ ‎∵EH⊥CD，EQ⊥AB，∴∠AQE=∠EHC=90°，‎ ‎∴△AQE和△EHC是等腰直角三角形，‎ ‎∴△AQE∽△EHC，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴EF=2EG；‎ ‎（3）EF=kEG．‎ ‎【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】‎ 中考数学类比探题思维误区：‎ 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考，而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一道题当成三道题来做了。‎ 第二种情况：由于第一问，图形特殊，条件充分，所以解题方法有多种，因此，在做第二题的时候，如果不能按照第一问的思路去“照搬”，就要再重新思考，第一问是否有其它的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法去类比、迁移，自然就“水到渠成”。‎ 二〇一四年元月十九日