2011年陕西省中考数学试卷(含解析)

2011年陕西省中考数学试卷(含解析)

‎2011年陕西省中考数学试卷 一、选择题 ‎1、的倒数为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ 2、下面四个几何体中，同一个几何体的主视图和俯视图相同的共有（　　） ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ 3、我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.37×109‎ B．1.37×107‎ C．1.37×108‎ D．1.37×1010‎ ‎ 4、下列四个点，在正比例函数的图象上的点是（　　）‎ A．（2，5）‎ B．（5，2）‎ C．（2，-5）‎ D．（5，-2）‎ ‎ 5、在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足=5：12：13，则cosB=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ 6、某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179，182，170，174，188，172，180，195，185，182，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）‎ A．181，181‎ B．182，181‎ C．180，182‎ D．181，182‎ ‎ 7、同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，两圆的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含 ‎ 8、如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） ‎ A．3‎ B．4‎ C．5‎ D．6‎ ‎ 9、如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　） ‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎ ‎ ‎10、若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＞y2＞y3‎ B．y1＞y3＞y2‎ C．y2＞y1＞y3‎ D．y3＞y1＞y2‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎11、计算：= __________ ．（结果保留根号） 12、如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1=64°，则∠2=__________． 13、分解因式：ab2-4ab+4a= __________ ． 14、一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为 __________ ． 15、若一次函数y=（2m-1）x+3-2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值范围是 __________ ． ‎ 三、解答题 ‎16、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值 __________ ． ‎ ‎ 17、解分式方程：． 18、在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE． 19、某校有三个年级，各年级的人数分别为七年级600人，八年级540人，九年级565人，学校为了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则称其为“非低碳族”，经过统计，将全校的低碳族人数按照年级绘制成如下两幅统计图： （1）根据图①、图②，计算八年级“低碳族”人数，并补全上面两个统计图； （2）小丽依据图①、图②提供的信息通过计算认为，与其他两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由． 20、一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下： ‎ ‎①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米； ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米． 根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米） 21、2011年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： ‎ 票的种类 夜票（A）‎ 平日普通票（B）‎ 指定日普通票（C）‎ 单价（元/张）‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎150‎ 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）设购票总费用为W元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 22、七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止． ‎ ‎（1）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）； （2）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率． 23、如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D； （1）求证：AP=AC； （2）若AC=3，求PC的长． 24、如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（-1，m），B（n，n） （1）求A、B的坐标； （2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C有几个？ ②能否将抛物线平移后经过A、C两点？若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由． ‎ ‎25、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个 __________ 三角形 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？ ‎ ‎2011年陕西省中考数学试卷的答案和解析 一、选择题 ‎1、答案： A 试题分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1除以这个数． 试题解析：的倒数为1÷=-． 故选：A． 2、答案： B 试题分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形． 试题解析：圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同； 圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同； 球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同； 正方体主视图、俯视图都是正方形，主视图与俯视图相同． 共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同． 故选B． 3、答案： A 试题分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 试题解析：1370536875=1.370536875×109≈1.37×109， 故选：A． 4、答案： D 试题分析：根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知是定值． 试题解析：由，得=-； A、=，故A选项错误； ‎ B、=，故B选项错误； C、=-，故C选项错误； D、=-，故D选项正确； 故选：D． 5、答案： C 试题分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果． 试题解析：∵BC：CA：AB=5：12：13， ∴BC2+CA2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， 根据三角函数性质， cosB==， 故选C． 6、答案： D 试题分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 试题解析：在这一组数据中182是出现次数最多的，故众数是182； 处于这组数据中间位置的数是180、182，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是181． 故选D． 7、答案： B 试题分析：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R-r＜d＜R+r（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 试题解析：∵他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时， ∴两圆的位置关系是相交． 故选B． 8、答案： A ‎ 试题分析：先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（-，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=-的图象上， ∴当y=b，x=-，即A点坐标为（-，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=-（-）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选：A． 9、答案： C 试题分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用相似三角形的判定定理，对各个三角形逐一分析即可． ∵在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H， ∴△AGB∽△FGH， △HED∽△HBC， △HED∽△EBA， △AEB∽△HBC，共4对． 故选C． 10、答案： B 试题分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（-1，y1），B（2，y2），C（，y3）分别代入二次函数的解析式y=x2-6x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择． 试题解析：根据题意，得 y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c； ‎ y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c； y3=9+2+6-18-6+c=-7+c， 即y3=-7+c； ∵7＞-7＞-8， ∴7+c＞-7+c＞-8+c， 即y1＞y3＞y2． 故选B． ‎ 二、填空题 ‎11、答案： 试题分析：本题需先判断出的符号，再求出的结果即可． 试题解析：∵-2＜0 ∴=2- 故答案为：2- 12、答案： 试题分析：由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数． ∵AC∥BD， ∴∠B=∠1=64°， ∴∠BAC=180°-∠1=180°-64°=116°， ∵AE平分∠BAC交BD于点E， ∴∠BAE=∠BAC=58°， ∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°． 故答案为：122°． 13、答案： 试题分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2． 试题解析：ab2-4ab+4a =a（b2-4b+4）--（提取公因式） =a（b-2）2．--（完全平方公式） 故答案为：a（b-2）2． 14、答案：‎ ‎ 试题分析：此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解． 试题解析：设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得： 80%x=120， 解得：x=150， 故答案为：150元． 15、答案： 试题分析：根据一次函数的性质进行分析：由图形经过一、二、四象限可知（2m-1）＜0，3-2m＞0，即可求出m的取值范围 试题解析：∵y=（2m-1）x+3-2m的图象经过 一、二、四象限 ∴2m-1＜0，3-2m＞0 ∴解不等式得：m＜，m＜ ∴m的取值范围是m＜． 故答案为：m＜． ‎ 三、解答题 ‎16、答案： 试题分析：解法一、平移对角线AC后，会构造出一个直角三角形，这个直角三角形的面积就等于原梯形的面积．该三角形的斜边为3+7=10，此时，它的高越大，面积就越大．解法二、过O作ON⊥AD于N，设ON=h，AO=a，DO=ka，求出△ANO∽△AOD，得出比例式，代入求出h=，根据勾股定理得出a2+（ka）2=32，求出a2=，推出h=，只有当k=1时，即△AOD是等腰三角形时，h有最大值是1.5，同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5，据梯形的面积公式代入求出即可， 试题解析： 解法一、过D作DE∥AC交BC延长线于E， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ‎ ‎∴AD=CE， ∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ABD的面积等于△DCE的面积， 即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积， ∵AC⊥BD，DE∥AC， ∴∠BDE=90°，BE=3+7=10， ∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大， 即当高是BE时最大， 即梯形的最大面积是×10××10=25； 解法二、过O作ON⊥AD于N， 设ON=h，AO=a，DO=ka， ∵∠DAO=∠DAO，∠ANO=∠AOD=90°， ∴△ANO∽△AOD， ∴=， ∴= ∴h=， 而在Rt△AOD中，由勾股定理得：a2+（ka）2=32， a2=， ∴h=， ∵k＞0， ∴只有当k=1时，即△AOD是等腰三角形时，h有最大值是1.5， 同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5， ∴梯形ABCD的面积的最大值是：S=×（3+7）×（1.5+3.5）=25， 解故答案为：25． 17、答案： 试题分析：观察两个分母可知，公分母为x-2，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． ‎ 试题解析：去分母，得4x-（x-2）=-3， 去括号，得4x-x+2=-3， 移项，得4x-x=-2-3， 合并，得3x=-5， 化系数为1，得x=-， 检验：当x=-时，x-2≠0， ∴原方程的解为x=-． 18、答案： 试题分析：根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等． 试题解析：证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=AB，∠1+∠2=90° 又∵BE⊥AG，DF⊥AG ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∴∠2=∠3，∠1=∠4 又∵AD=AB ∴△ADF≌△BAE． 19、答案： 试题分析：（1）根据七年级的人数与所占的百分比可求出总人数，再乘以八年级对应的百分比可求出人数，九年级对应的百分比可用1减去七八年级的百分比求得，再画图即可解答． （2）分别算出三个年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例，再比较即可解答． 试题解析：（1）由题意可知，全校“低碳族”人数为300÷25%=1200人， ∴八年级“低碳族”人数为1200×37%=444人， ‎ ‎∴九年级“低碳族”人数占全校“低碳族”人数的百分比=1-25%-37%=38%． 补全的统计图如①②所示． （2）小丽的判断不正确，理由如下： ∵七年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%=50%， 八年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%≈82.2%， 九年级“低碳族”人数占该年级人数的百分比=×100%≈80.7%， ∴小丽的判断不正确，八年级的学生中，“低碳族”人数比例较大． 20、答案： 试题分析：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，OS∥BC可得出△SOA∽△CBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答． 试题解析：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则 ∠O=∠ABC=90°，OS∥BC， ∴∠ACB=∠ASO， ∴△SOA∽△CBA， ∴=， ∴OS=， ∵OA=≈5.5米，BC=1.6米，AB=1.2米， ∴OS=≈7.3米， ∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米． 故答案为：7.3米． 21、答案： 试题分析：（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系式； （2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出W（元）与X（张）之间的函数关系式； ‎ ‎（3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少． 试题解析：（1）由题意得，B种票数为：3x+8 则y=100-x-3x-8化简得，y=-4x+92． 即y与x之间的函数关系式为：y=-4x+92； （2）w=60x+100（3x+8）+150（-4x+92）化简得， w=-240x+14600 即购票总费用W与X（张）之间的函数关系式为：w=-240x+14600 （3）由题意得， 解得20≤x≤， ∵x是正整数， ∴x可取20、21、22 那么共有3种购票方案． 从函数关系式w=-240x+14600 ∵-240＜0， ∴w随x的增大而减小， 当x=22时，w的最值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少． 购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为22、74、4． 22、答案： 试题分析：（1）首先此题需三步完成，所以采用树状图法求解比较简单；然后依据树状图分析所有等可能的出现结果，根据概率公式即可求出该事件的概率； （2）首先求得出手一次出现“两同一异”的所有情况，然后根据概率公式即可求出该事件的概率． 试题解析：（1）画树状图得： ∴共有8种等可能的结果：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB； （2）∵甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的 有6种情况， ‎ ‎∴出手一次出现“两同一异”的概率为：=． 23、答案： 试题分析：（1）连接OA，可得∠AOC=120°，所以，可得∠P=∠C=30°，即可证明； （2）AC=3，所以，PO=，所以PC=3． （1）证明：连接AO，则AO⊥PA，∠AOC=2∠B=120°， ∴∠AOP=60°， ∴∠P=30°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=30°， ∴∠P=∠ACP， ∴AP=AC． （2）在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=3， ∴AO=， ∴PO=2； ∵CO=OA=， ∴PC=PO+OC=3． 24、答案： 试题分析：（1）把A（-1，m）代入函数式而解得m的值，同理解得n值，从而得到A，B的坐标； （2）①由题意可知：这样的C点有3个， ②能，分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程． 试题解析：（1）∵y=的图象过点A（-1，m） ∴ 即m=1 同理：n= 解之，得n=0（舍）或n=2 ∴A（-1，1），B（2，2）‎ ‎ （2）①由题意可知：这样的C点有3个． 如图：当OA是对角线时，C是过O平行于AB的直线，以及过A平行于OB的直线的交点， 设直线OB的解析式是y=kx，则2=2k，解得：k=1， 设直线AC的解析式是：y=x+c，则-1+c=1，解得：c=2，直线的解析式是y=x+2， 设直线AB的解析式是：y=mx+n，则，解得：，即直线的解析式是：y=x+， 设直线OC的解析式是：y=x， 解方程组，解得：， 则C的坐标是（-3，-1）； 同理，当AB是对角线时，C的坐标是（1，3）； OB是对角线时，C的坐标是（3，1）． 故：C1（-3，-1），C2（1，3），C3（3，1）． ②能 当平移后的抛物线经过A、C1两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位． 使点B移到A点，这时A、C1两点的抛物线的解析式为y+1= 即y= 附：另两条平移后抛物线的解析式分别为： i）经过A、C2两点的抛物线的解析式为 ii）设经过A、C3两点的抛物线的解析式为， ‎ OC3可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到m， 则C3（3，1） 依题意，得， 解得． 故经过A、C3两点的抛物线的解析式为． 25、答案： 试题分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答； （2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标； （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， ①当F在边OC上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4； ②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标． 试题解析：（1）等腰． （2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形． ∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2， ∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A． ∴四边形ABFE为正方形． ∴BF=AB=2， ∴F（2，0）． （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， 理由如下：①当F在边OC上时，如图②所示． S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4． ②当F在边CD上时，如图③所示， 过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K． ∵S△EKF=KF•AH≤HF•AH=S矩形AHFD， S△BKF=KF•BH≤HF•BH=S矩形BCFH， ‎ ‎∴S△BEF≤S矩形ABCD=4． 即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4． 下面求面积最大时，点E的坐标． ①当F与点C重合时，如图④所示． 由折叠可知CE=CB=4， 在Rt△CDE中，ED===2． ∴AE=4-2． ∴E（4-2，2）． ②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示． 此时E（0，2）． 综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2，2）． ‎