2019年山东省淄博市中考数学试卷（a卷）

2019年山东省淄博市中考数学试卷（a卷）

‎2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（4分）比﹣2小1的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010‎ ‎3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ ‎5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）‎ A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） ‎ C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）‎ ‎6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：‎ 对应的计算任务是（　　）‎ A．0.6×+124 B．0.6×+124 ‎ 第24页（共24页）‎ C．0.6×5÷6+412 D．0.6×+412‎ ‎7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．6‎ ‎8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）‎ A．2a B．a C．3a D．a ‎9．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）‎ A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.‎ ‎10．（4分）单项式a3b2的次数是　 　．‎ ‎11．（4分）分解因式：x3+5x2+6x．‎ ‎12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　 　度．‎ ‎13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　 　．‎ ‎14．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B 第24页（共24页）‎ 落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．‎ 如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；‎ 如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；‎ 如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；‎ ‎……‎ 依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（5分）解不等式 ‎16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．‎ ‎17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：‎ 组别 年龄段 频数（人数）‎ 第1组 ‎10≤x＜20‎ ‎5‎ 第2组 ‎20≤x＜30‎ a 第24页（共24页）‎ 第3组 ‎30≤x＜40‎ ‎35‎ 第4组 ‎40≤x＜50‎ ‎20‎ 第5组 ‎50≤x＜60‎ ‎15‎ ‎（1）请直接写出a＝　 　，m＝　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度．‎ ‎（2）请补全上面的频数分布直方图；‎ ‎（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？‎ ‎18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：‎ A B 成本（单位：万元/件）‎ ‎2‎ ‎4‎ 售价（单位：万元/件）‎ ‎5‎ ‎7‎ 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？‎ ‎19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．‎ ‎（1）求证：①BC是⊙O的切线；‎ ‎②CD2＝CE•CA；‎ ‎（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．‎ 第24页（共24页）‎ ‎20．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．‎ ‎（1）试证明DM⊥MG，并求的值．‎ ‎（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．‎ ‎21．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．‎ 第24页（共24页）‎ 第24页（共24页）‎ ‎2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（4分）比﹣2小1的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【分析】用﹣2减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．‎ ‎2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4×109，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；‎ B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；‎ 第24页（共24页）‎ C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；‎ D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ ‎【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．‎ ‎【解答】解：如图：‎ ‎∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，‎ ‎∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，‎ ‎∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，‎ ‎∴∠ABE＝∠DAB＝40°，‎ ‎∵∠EBF＝90°，‎ ‎∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 第24页（共24页）‎ 本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．‎ ‎5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）‎ A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） ‎ C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：‎ 对应的计算任务是（　　）‎ A．0.6×+124 B．0.6×+124 ‎ C．0.6×5÷6+412 D．0.6×+412‎ ‎【分析】根据科学计算器按键功能可得．‎ ‎【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查计算器﹣有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．‎ ‎7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．6‎ ‎【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，‎ 第24页（共24页）‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．‎ ‎8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）‎ A．2a B．a C．3a D．a ‎【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，‎ ‎∴△ACD∽△BCA，‎ ‎∴＝（）2，即＝，‎ 解得，△BCA的面积为4a，‎ ‎∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．‎ ‎9．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）‎ A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0‎ ‎【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．‎ ‎【解答】解：∵x12+x22＝5，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，‎ 而x1+x2＝3，‎ ‎∴9﹣2x1x2＝5，‎ ‎∴x1x2＝2，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.‎ ‎10．（4分）单项式a3b2的次数是　5　．‎ ‎【分析】根据单项式的次数的定义解答．‎ ‎【解答】解：单项式a3b2的次数是3+2＝5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．‎ ‎11．（4分）分解因式：x3+5x2+6x．‎ ‎【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．‎ ‎【解答】解：x3+5x2+6x，‎ ‎＝x（x2+5x+6），‎ ‎＝x（x+2）（x+3）．‎ ‎【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．‎ ‎12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　90　度．‎ ‎【分析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA1＝α＝90°．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 第24页（共24页）‎ 连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E ‎∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，‎ ‎∴点E是旋转中心，‎ ‎∵∠AEA1＝90°‎ ‎∴旋转角α＝90°‎ 故答案为：90‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键．‎ ‎13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　　．‎ ‎【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，‎ ‎∴恰好选中一男一女的概率是＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．‎ ‎14．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．‎ 第24页（共24页）‎ 如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；‎ 如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；‎ 如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；‎ ‎……‎ 依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝　　．‎ ‎【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．‎ ‎【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，‎ 分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．‎ ‎∴tanαn＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．‎ 三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（5分）解不等式 ‎【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：将不等式两边同乘以2得，‎ x﹣5+2＞2x﹣6‎ 解得x＜3．‎ ‎【点评】‎ 第24页（共24页）‎ 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．‎ ‎16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．‎ ‎【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E．‎ ‎【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC ‎∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE ‎∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE ‎∴△ABC≌△ADE（SAS）‎ ‎∴∠C＝∠E ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠CAB＝∠EAD是本题的关键．‎ ‎17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：‎ 组别 年龄段 频数（人数）‎ 第1组 ‎10≤x＜20‎ ‎5‎ 第2组 ‎20≤x＜30‎ a 第3组 ‎30≤x＜40‎ ‎35‎ 第4组 ‎40≤x＜50‎ ‎20‎ 第5组 ‎50≤x＜60‎ ‎15‎ 第24页（共24页）‎ ‎（1）请直接写出a＝　25　，m＝　20　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　126　度．‎ ‎（2）请补全上面的频数分布直方图；‎ ‎（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？‎ ‎【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得a、m的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；‎ ‎（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．‎ ‎【解答】解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25，‎ m%＝（20÷100）×100%＝20%，‎ 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝126°，‎ 故答案为：25，20，126；‎ ‎（2）由（1）值，20≤x＜30有25人，‎ 补全的频数分布直方图如右图所示；‎ ‎（3）300×＝60（万人），‎ 答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：‎ A B 成本（单位：万元/件）‎ ‎2‎ ‎4‎ 售价（单位：万元/件）‎ ‎5‎ ‎7‎ 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？‎ ‎【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；‎ 由题意得：，‎ 解得：；‎ 答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．‎ ‎19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．‎ ‎（1）求证：①BC是⊙O的切线；‎ ‎②CD2＝CE•CA；‎ ‎（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；‎ ‎（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）①连接OD，‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，‎ ‎∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，‎ ‎∴∠DAO＝∠ADO，‎ ‎∴DO∥AB，而∠B＝90°，‎ ‎∴∠ODB＝90°，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎②连接DE，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，‎ ‎∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，‎ ‎∴CD2＝CE•CA；‎ ‎（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，‎ ‎∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，‎ ‎∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，‎ ‎∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF，‎ ‎∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，‎ ‎∴AF＝DF＝OA＝OD，‎ ‎∴△OFD、△OFA是等边三角形，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴∠C＝30°，‎ ‎∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，‎ ‎∴CE＝OE＝R＝3，‎ S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．‎ ‎【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．‎ ‎20．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．‎ ‎（1）试证明DM⊥MG，并求的值．‎ ‎（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．‎ ‎【分析】（1）如图1中，延长DM交FG的延长线于H．证明△DMG是等腰直角三角形即可，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，求出BM，MG即可解决问题．‎ ‎（2）（1）中的值有变化．如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．首先证明O，G，F共线，再证明点M在直线AD上，设BC＝m，则AB＝2m，想办法求出BM，MG（用m表示），即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，‎ ‎∴DE∥AC∥GF，‎ ‎∴∠EDM＝∠FHM，‎ ‎∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，‎ ‎∴△EDM≌△FHM（AAS），‎ ‎∴DE＝FH，DM＝MH，‎ ‎∵DE＝2FG，BG＝DG，‎ ‎∴HG＝DG，‎ ‎∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，‎ ‎∴GM⊥DM，DM＝MG，‎ 连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，‎ ‎∵∠EBD＝∠DBF＝45°，‎ ‎∴∠EBF＝90°，‎ ‎∴EF＝＝a，‎ ‎∵EM＝MF，‎ ‎∴BM＝EF＝a，‎ ‎∵HM＝DM，GH＝FG，‎ ‎∴MG＝DF＝a，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎（2）解：（1）中的值有变化．‎ 第24页（共24页）‎ 理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．‎ ‎∵DO＝OA，DG＝GB，‎ ‎∴GO∥AB，OG＝AB，‎ ‎∵GF∥AC，‎ ‎∴O，G，F共线，‎ ‎∵FG＝AB，‎ ‎∴OF＝AB＝DF，‎ ‎∵DF∥AC，AC∥OF，‎ ‎∴DE∥OF，‎ ‎∴OD与EF互相平分，‎ ‎∵EM＝MF，‎ ‎∴点M在直线AD上，‎ ‎∵GD＝GB＝GO＝GF，‎ ‎∴四边形OBFD是矩形，‎ ‎∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，‎ ‎∵OM＝MD，OG＝GF，‎ ‎∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，‎ 易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，‎ ‎∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．‎ 第24页（共24页）‎ ‎21．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．‎ ‎（2）用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为（0，p），用p表示AP2和MP2．△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．‎ ‎（3）由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE＝IF＝IH．此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG．设点I坐标为（m，n），可用含m、n的式子表示AG、DG的长，又由DA＝OA＝3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式子：（m﹣）2+（n+）2＝，从图形上可理解为点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3‎ 第24页（共24页）‎ ‎（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．‎ ‎∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4‎ ‎∴顶点M（1，4）‎ ‎∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20‎ 设点P坐标为（0，p）‎ ‎∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2‎ ‎①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2‎ ‎∴20+9+p2＝17﹣8p+p2‎ 解得：p＝﹣‎ ‎∴P（0，﹣）‎ ‎②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2‎ ‎∴9+p2+17﹣8p+p2＝20‎ 解得：p1＝1，p2＝3‎ ‎∴P（0，1）或（0，3）‎ ‎③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2‎ ‎∴20+17﹣8p+p2＝9+p2‎ 解得：p＝‎ ‎∴P（0，）‎ 综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．‎ ‎（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ‎∵DG⊥x轴于点G ‎∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°‎ ‎∴四边形IEGH是矩形 ‎∵点I为△ADG的内心 ‎∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ‎∴矩形IEGH是正方形 第24页（共24页）‎ 设点I坐标为（m，n）‎ ‎∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ‎∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ‎∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ‎∵DA＝OA＝3‎ ‎∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ‎∴DG＝DH+HG＝m+n ‎∵DG2+AG2＝DA2‎ ‎∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32‎ ‎∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0‎ 配方得：（m﹣）2+（n+）2＝‎ ‎∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为 ‎∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动 ‎∴当点I在线段CQ上时，CI最小 ‎∵CQ＝‎ ‎∴CI＝CQ﹣IQ＝‎ ‎∴CI最小值为．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第（3）题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 第24页（共24页）‎ 日期：2019/7/4 17:15:15；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第24页（共24页）‎