湖北省武汉市2013年中考数学试题（含答案）

湖北省武汉市2013年中考数学试题（含答案）

2013 年武汉市初中毕业生学业考试 数学试卷 第 I 卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列各数中，最大的是（ ） A．－3 B．0 C．1 D．2 2．式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A． <1 B． ≥1 C． ≤－1 D． <－1 3．不等式组 的解集是（ ） A．－2≤ ≤1 B．－2< <1 C． ≤－1 D． ≥2 4．袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等 完全相同，在看不到球 的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ） A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球． B．摸出的三个球中至少有一个球是白球． C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球． D．摸出的三个球中至少有两个球是白球． 5．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ） A．－2 B．－3 C．2 D．3 6．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的 度数是（ ） A．18° B．24° C．30° D．36° 7．如图，是由 4 个相同小正方体组合而成的几何体， 它的左视图是（ ） A． B． C． D． 8．两条直线最多有 1 个交点，三条直 线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交 点，……，那么六条直线最多有（ ） A．21 个交点 B．18 个交点 C．15 个交点 D．10 个交点 9．为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要 求 每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计。图（1）与图 1−x x x x x    ≤− ≥+ 01 02 x x x x x x 1x 2x 0322 =−− xx 21xx 第6题图 D CB A （2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图。以下结论不正确的是（ ） A．由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有 90 人． B．若该年级共有 1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有 360 个． C．由这两个统计图不能确定喜欢“ 小说”的人数． D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 72°． 10．如图，⊙A 与⊙B 外切于点 D，PC，PD，PE 分别是圆的切线，C，D，E 是切点， 若∠CED＝ °，∠ECD＝ °，⊙B 的半径为 R，则 的长度是（ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题 共 84 分） 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 11．计算 ＝ ． 12．在 2013 年的体育中考中，某校 6 名学生的分数分别是 27、28、29、28、26、28．这组 数据的众数是 ． 13．太阳的半径约为 696 000 千米，用科学记数法表示数 696 000 为 ． 14．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后， 两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设 秒后 两车间的距离为 千米， 关于 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/ 秒． x y ∩ DE ( ) 90 90 Rx−π ( ) 90 90 Ry−π ( ) 180 180 Rx−π ( ) 180 180 Ry−π °45cos x y y x 第9题图（2）第9题图（1） 30% 其它10% 科普常识 漫画 小说 30 60 书籍其它科普常识漫画小说 人数 E P A B C D 第10题图 220200100 x/（秒） y/（米） 500 A B C D 第14题图 O 900 15．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，BC＝2AB，A，B 两点的坐标分别是（－1， 0）， （ 0 ， 2 ） ， C ， D 两 点 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， 则 的 值 等 于 ． 16．如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于 G ， 连 接 BE 交 AG 于 点 H ． 若 正 方 形 的 边 长 为 2 ， 则 线 段 DH 长 度 的 最 小 值 是 ． 三、解答题（共 9 小题，共 72 分） 17．（本题满分 6 分）解方程： ． 18．（本题满分 6 分）直线 经过点（3，5），求关于 的不等式 ≥0 的解 集． 19．（本题满分 6 分）如图，点 E、F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C． 求证：∠A＝∠D． 20．（本题满分 7 分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这 两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果； )0( <= xx ky k xx 3 3 2 =− bxy += 2 x bx +2 y x 第15题图 D C B A O 第16题图 H G FE D CB A 第19题图 A B C D E F （2）求一次打开锁的概率． 21．（本题满分 7 分）如图，在平面直角坐标系中， Rt△ABC 的三个顶点分别是 A（－3，2），B（0，4）， C（0，2）． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋 转后对应的△ C；平移△ABC，若 A 的对应点 的坐标为（0，4），画出平移后对应的△ ； （2）若将△ C 绕某一点旋转可以得到△ ， 请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直 接写出点 P 的坐标． 22．（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC， 点 P 是 的中点，连接 PA，PB，PC． （1）如图①，若∠BPC＝60°，求证： ； （2）如图②，若 ，求 的值． 23．（本题满分 10 分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍 奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下 表）： 温度 /℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量 /mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 11BA 2A 222 CBA 11BA 222 CBA x ∩ AB APAC 3= 25 24sin =∠BPC PAB∠tan x y x y A C B O 第21题图 –1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 O P 第22题图① CB A 第22题图② O P CB A 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 是温度 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种． （1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的 理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那 么实验室的温度 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 24．（ 本题满分 10 分）已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G． （1）如图①，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE⊥CF，求证 ； （2）如图②，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时， 使得 成立？并证明你的结论； （3）如图③，若 BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出 的 值． 25．（本题满分 12 分 ）如图，点 P 是直线 ： 上的点，过点 P 的另一条直线 交抛物线 于 A、B 两点． （1）若直线 的解析式为 ，求 A、B 两点的坐标； （2）①若点 P 的坐标为（－2， ），当 PA＝AB 时，请直接写出点 A 的坐标； ②试证明：对于直线 上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PA＝AB 成立． （3）设直线 交 轴于点 C，若△AOB 的外心在边 AB 上，且∠BPC＝∠OCP，求点 P 的坐 标． y x x CD AD CF DE = CD AD CF DE = CF DE l 22 −−= xy m 2xy = m 2 3 2 1 +−= xy t l l y E F G A B C D 第24题图① 第24题图② A B C DF G E 第24题图③ A B C D F G E x y 第25（1）题图 O l m P B A x y l O 第25（2）题图 x y C l m P A O B 第25（3）题图 2013 年武汉市中考数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A B A C C C B 二、填空题 11． 12．28 13． 14．20 15．－12 16． 三、解答题 17．（本题满分 6 分） 解：方程两边同乘以 ，得 解得 ． 经检验， 是原方程的解． 18．（本题满分 6 分） 解：∵直线 经过点（3，5）∴ ． ∴ ． 即不等式为 ≥0，解得 ≥ ． 19．（本题满分 6 分） 证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即 BF＝CE． 在△ABF 和△DCE 中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 20．（本题满分 7 分） 解：（1）设两把不同的锁分别为 A、B，能把两锁打开的钥匙分别为 、 ，其余两把钥匙 分别为 、 ，根据题意，可以画出如下树形图： 2 2 51096.6 × 15 − ( )3−xx ( )332 −= xx 9=x 9=x bxy += 2 b+×= 325 1−=b 12 −x x 2 1    = ∠=∠ = CEBF CB DCAB a b m n a b m nnmb A B a 由上图可知，上述试验共有 8 种等可能结果．（列表法参照给分） （2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有 8 种可能的结果，一次打开 锁的结果有 2 种，且所有结果的可能性相等． ∴P（一次打开锁）＝ ． 21．（本题满分 7 分） （1）画出△A1B1C 如图所示： （2）旋转中心坐标（ ， ）； （3）点 P 的坐标（－2，0）． 22．（本题满分 8 分） （1）证明：∵弧 BC＝弧 BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°． 又∵AB＝AC，∴△ABC 为等边三角形 ∴∠ACB＝60°，∵点 P 是弧 AB 的中点，∴∠ACP＝30°， 又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝ AP． （2）解：连接 AO 并延长交 PC 于 F，过点 E 作 EG⊥AC 于 G，连接 OC． ∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF． ∵点 P 是弧 AB 中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF． ∵∠BPC＝∠FOC， ∴sin∠FOC＝sin∠BPC= ． 设 FC＝24a，则 OC＝OA＝25a， ∴OF＝7a，AF＝32a． 在 Rt△AFC 中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝40a． 在 Rt△AGE 和 Rt△AFC 中，sin∠FAC＝ ， ∴ ，∴EG＝12a． ∴tan∠PAB＝tan∠PCB= ． 23．（本题满分 10 分） 解：（1）选择二次函数，设 ，得 ，解得 4 1 8 2 = 2 3 1− 3 25 24 AC FC AE EG = a a EGa EG 40 24 32 =− 2 1 24 12 == a a CF EF cbxaxy ++= 2    =++ =+− = 4124 4924 49 cba cba c    = −= −= 49 2 1 c b a x y (B1) C2 B2 A2 A1 A C B O 第21题图 –1–2–3–4–5 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 G E F A B C P O 第22（2）题图 ∴ 关于 的函数关系式是 ． 不选另外两个函数的理由： 注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以 不是 的反比例函数；点（－ 4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以 不是 的一次函数． （2）由（1），得 ，∴ ， ∵ ，∴当 时， 有最 大值为 5 0． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3） ． 24．（本题满分 10 分） （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ． （2）当∠B+∠EGC＝180°时， 成立，证明如下： 在 AD 的延长线上取点 M，使 CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM， ∵∠B+∠EGC＝180°， ∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED． ∴△ADE∽△DCM， ∴ ，即 ． （3） ． 25．（本题满分 12 分） 解：（1）依题意，得 解得 ， ∴A（ ， ），B（1，1）． （2）①A1（－1，1），A2（－3，9）． ②过点 P、B 分别作过点 A 且平行于 轴的直线的垂线，垂足分别为 G、H. 设 P（ ， ），A（ ， ），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH， ∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（ ， ）， 将点 B 坐标代入抛物线 ，得 ， y x 4922 +−−= xxy y x y x 4922 +−−= xxy ( ) 501 2 ++−= xy 01<−=a 1−=x y 46 <<− x DC AD CF DE = DC AD CF DE = DC AD CM DE = DC AD CF DE = 24 25= CF DE    = +−= . ,2 3 2 1 2xy xy      = −= 4 9 2 3 1 1 y x    = = 1 1 2 2 y x 2 3− 4 9 x a 22 −− a m 2m am −2 222 2 ++ am 2xy = 02242 22 =−−+− aaamm M E G F D CB A 第24题图② ∵△＝ ∴无论 为何值时，关于 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A． （3）设直线 ： 交 y 轴于 D，设 A（ ， ），B（ ， ）． 过 A、B 两点分别作 AG、BH 垂直 轴于 G、H． ∵△AOB 的外心在 AB 上，∴∠AOB＝90°， 由△AGO∽△OHB，得 ，∴ ． 联立 得 ，依题意，得 、 是方程 的两 根，∴ ，∴ ，即 D（0，1）． ∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P 设 P （ ， ） ， 过 点 P 作 PQ ⊥ 轴 于 Q ， 在 Rt △ PDQ 中 ， ， ∴ ． ∴ （ 舍 去 ） ， ， ∴ P （ ， ）． ∵PN 平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴ ， ( ) ( ) 08181616822816 2222 >++=++=−−− aaaaaa a m m ( )0≠+= kbkxy m 2m n 2n x BH OH OG AG = 1−=mn    = += 2xy bkxy 02 =−− bkxx m n 02 =−− bkxx bmn −= 1−=b a 22 −− a y 222 PDDQPQ =+ ( ) 222 3122 =−−−+ aa 01 =a 5 12 2 −=a 5 12− 5 14 ( )ttt −=+− 222 1 2 x y P G HA B O 第25（2）题图 x y HG Q 第25（3）题图 B O A P m l C