2013中考数学压轴题精选四

2013中考数学压轴题精选四

九（26）班2012年各地中考数学压轴题精选 ‎（2012滨州）1．如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．‎ ‎（1）求证：△ADF≌△CBE；‎ ‎（2）求正方形ABCD的面积；‎ ‎（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．‎ ‎(2012云南)2．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．‎ ‎ 3.‎ 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ ＝θ,,我们将这种变换记为.‎ ‎(1)如图①,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,则: =_______;直线BC与 直线B′C′所夹的锐角为_______度;‎ ‎(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换得△AB′ C′ ,使 点B、C、在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;‎ ‎(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换得△AB′C′ ,‎ 使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.‎ 图3‎ 图1‎ 图2‎ ‎(2012云南)4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；‎ ‎（3）除点C外，在y标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2012岳阳)5．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．‎ ‎（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）深入探究：‎ Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．‎ Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．‎ ‎6．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2012重庆）7．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎8.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．‎ ‎（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是；勾是五时，股和弦的算式分别是．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；‎ ‎（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；‎ ‎（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．‎ ‎9.观察下列各式：‎ ‎； ； ……，‎ 请你猜想：‎ ‎(1) ， 。‎ ‎(2) 计算(请写出推导过程)：‎ ‎(3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来，并验证其正确性.‎ ‎10.如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF ⊥DF，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．‎ 第3题图 ‎[中~&国^教育%出版网@]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式；‎ ‎(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎ (3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？[来源:中国教育出 ‎1.考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。‎ 解答：证明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，‎ ‎∵AD=BC，AF=CE，‎ ‎∴Rt△AFD≌Rt△CEB；‎ ‎（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠BAH 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°‎ ‎∴△ABH≌△BCE，‎ 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF ‎=4××2×1+1×1‎ ‎=5；‎ ‎（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，‎ 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF ‎=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．‎ 解答：‎ ‎2.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠A=90°，‎ ‎∵MN是BD的中垂线，‎ ‎∴OB=OD，BD⊥MN，=，‎ ‎∴BM=DM，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴四边形BMDN是平行四边形，‎ ‎∵MN⊥BD，‎ ‎∴平行四边形BMDN是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形BMDN是菱形，‎ ‎∴MB=MD，‎ 设MD长为x，则MB=DM=x，‎ 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2‎ 即x2=（8﹣x）2+42，‎ 解得：x=5，‎ 答：MD长为5．‎ ‎3.【答案】(1) 3;60°.‎ ‎(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°.‎ ‎∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°.‎ 在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°, ∠BAB′＝60°,‎ ‎∴n＝＝2.‎ ‎(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝36°‎ ‎∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°‎ ‎∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B, ‎ ‎∴△ABC∽△B′BA,∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC+CB′),‎ 而CB′＝AC＝AB＝B′C′, BC＝1, ∴AB2＝1·(1+AB)‎ ‎∴AB＝,∵AB＞0,‎ ‎∴n＝＝.‎ 解答：4.‎ 解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2． ‎ ‎（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，‎ ‎∴P（6，0），A（0，2），‎ ‎∴OP=6，OA=2．‎ ‎∵AC⊥AB，OA⊥OP，‎ ‎∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，‎ ‎∴OC=，‎ 又C点在x轴负半轴上，‎ ‎∴点C的坐标为C（，0）．‎ ‎（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，‎ 令x2+x+2=x+2，‎ 解得x1=0，x2=，‎ ‎∴B（，）．‎ ‎③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．‎ 此时M点坐标为（0，）；‎ ‎④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．‎ 设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．‎ 易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，‎ ‎∴，即，‎ 解得m=，‎ ‎∴此时M点坐标为（0，）．‎ ‎ 5.‎ 解：（1）AF=BD；‎ 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），‎ ‎∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；‎ 同理知，DC=CF，∠DCF=60°；‎ ‎∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；‎ 在△BCD和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△ACF（SAS），‎ ‎∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；‎ ‎（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；‎ ‎（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；‎ 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；‎ 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，‎ ‎∴AF+BF′=BD+AD=AB；‎ Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；‎ 证明如下：在△BCF′和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCF′≌△ACD（SAS），‎ ‎∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；‎ 又由（2）知，AF=BD；‎ ‎∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．‎ ‎ 5.‎ 解：（1）AF=BD；‎ 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），‎ ‎∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；‎ 同理知，DC=CF，∠DCF=60°；‎ ‎∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；‎ 在△BCD和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△ACF（SAS），‎ ‎∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；‎ ‎（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；‎ 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；‎ 同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，‎ ‎∴AF+BF′=BD+AD=AB；‎ Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；‎ 证明如下：在△BCF′和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCF′≌△ACD（SAS），‎ ‎∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；‎ 又由（2）知，AF=BD；‎ ‎∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．‎ ‎6.解：如图1，∵PE=BE，‎ ‎∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．‎ 即∠PBC=∠BPH．‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠APB=∠PBC．‎ ‎∴∠APB=∠BPH．‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8．‎ 证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP．‎ ‎∴AP=QP，AB=BQ．‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴BC=BQ．‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，‎ ‎∴△BCH≌△BQH．‎ ‎∴CH=QH．‎ ‎∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．‎ ‎（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．‎ 又∵EF为折痕，‎ ‎∴EF⊥BP．‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，‎ ‎∴∠EFM=∠ABP．‎ 又∵∠A=∠EMF=90°，‎ ‎∴△EFM≌△BPA．‎ ‎∴EM=AP=x．‎ ‎∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．‎ 解得，．‎ ‎∴．‎ 又四边形PEFG与四边形BEFC全等，‎ ‎∴．‎ 即：．‎ 配方得，，‎ ‎∴当x=2时，S有最小值6．‎ ‎7.解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠ACD，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠ACD=∠2，‎ ‎∴MC=MD，‎ ‎∵ME⊥CD，‎ ‎∴CD=2CE，‎ ‎∵CE=1，‎ ‎∴CD=2，‎ ‎∴BC=CD=2；‎ ‎（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，‎ ‎∴BF=CF=BC，‎ ‎∴CF=CE，‎ 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，‎ ‎∴∠ACB=∠ACD，‎ 在△CEM和△CFM中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CEM≌△CFM（SAS），‎ ‎∴ME=MF，‎ 延长AB交DF于点G，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠G=∠2，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠1=∠G，‎ ‎∴AM=MG，‎ 在△CDF和△BGF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CDF≌△BGF（AAS），‎ ‎∴GF=DF，‎ 由图形可知，GM=GF+MF，‎ ‎∴AM=DF+ME．‎ ‎8.解：（1）；‎ ‎（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，‎ 它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股=1，（ⅱ）勾2+股2=弦2‎ 如证明（ⅰ），弦﹣股=；‎ ‎（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，，它们的股和弦．‎