浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷解析

浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷解析

‎2019年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜‎0 ‎C．a≥0 D．a≤0‎ ‎2．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）‎ A．﹣2x+4y＝﹣2（x﹣4y） B．a2﹣6＝（a+2）（a﹣3） ‎ C．（a+b）2＝a2+b2 D．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）‎ ‎3．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（　　）‎ A．AH＝DH≠AD B．AH＝DH＝AD C．AH＝AD≠DH D．AH≠DH≠AD ‎4．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．某车间20名工人每天加工零件数如表所示：‎ 每天加工零件数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（　　）‎ A．5，5 B．5，‎6 ‎C．6，6 D．6，5‎ ‎6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为（　　）‎ A．2 B．﹣‎1 ‎C． D．4‎ ‎7．下面平面图形中能围成三棱柱的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，下列结论：①＜0；②a﹣b+c＝﹣‎9a；③若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y＝a（x2﹣9）．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）‎ ‎①∠ADG＝∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2＝AE•EG；④若AB＝4，AD＝5，则CE＝1．‎ A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②‎ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）‎ ‎11．有10个正实数，这些数中每两个乘积恰好为1，这时甲同学断言，任何9个数的和不小于；乙同学断言：任何9个数的和小于，则两位同学　 　正确．‎ ‎12．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝　 　°．‎ ‎13．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有　 　个．‎ ‎14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为　 　．‎ ‎16．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝　 　．‎ 三．解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎17．（6分）定义的运算符号“@”的运算法则为X@Y＝，试求（2@6）@8的值．‎ ‎18．（8分）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A（100﹣90分）、B（89～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：‎ ‎（1）这次随机抽取的学生共有多少人？‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？‎ ‎19．（8分）我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程，例如，一元二次方程x2+x﹣2＝0可以通过因式分解化为：（x﹣1）（x+2）＝0，则方程的两个解为x＝1和x＝﹣2．反之，如果x＝1是某方程ax2+bx+c＝0的一个解，则多项式ax2+bx+c必有一个因式是 （x﹣1），在理解上文的基础上，试找出多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式，并将这个多项式因式分解．‎ ‎20．（10分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．‎ ‎（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎21．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．‎ 下面是小彤探究的过程，请补充完整：‎ ‎（1）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　；‎ ‎（2）下表是y与x的几组对应值：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎…‎ y ‎…‎ m ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎…‎ 则m的值为　 　；‎ ‎（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；‎ ‎（4）观察图象，写出该函数的一条性质　 　；‎ ‎（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　；‎ ‎22．（12分）在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP 上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．‎ ‎（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；‎ ‎（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；‎ ‎（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．‎ ‎23．（12分）抛物线y1＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2＝kx+b．‎ ‎（1）求a、c的值；‎ ‎（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP＝5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎2019年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．【分析】由条件可知a是绝对值等于本身的数，可知a为0或正数，可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵|a|＝a，‎ ‎∴a为绝对值等于本身的数，‎ ‎∴a≥0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负数）是解题的关键．‎ ‎2．【分析】分别利用因式分解，完全平方公式和平方差公式进行分析即可．‎ ‎【解答】解：A、﹣2x+4y＝﹣2（x+2y），故原题计算错误；‎ B、a2﹣6≠（a+2）（a﹣3），故原题计算错误；‎ C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误；‎ D、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），故原题计算正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了分解因式和完全平方公式和平方差公式，关键是掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．‎ ‎3．【分析】利用图形的对称性特点解题．‎ ‎【解答】解：由图形的对称性可知：AB＝AH，CD＝DH，‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AB＝CD＝AD，‎ ‎∴AH＝DH＝AD．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．‎ ‎4．【分析】有工作总量180或120，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等”．等量关系为：小明打120个字所用的时间＝小张打180个字所用的时间．‎ ‎【解答】解：小明打字速度为x个/分钟，那么小明打120个字所需要的时间为：；‎ 易得小张打字速度为（x+6）个/分钟，小张打180个字所需要的时间为：；‎ ‎∴可列方程为：，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】解决本题的关键是根据不同的工作量用的时间相等得到相应的等量关系．‎ ‎5．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；‎ 因为共有20个数据，‎ 所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎6．【分析】根据垂径定理得到CE＝DE，∠CEO＝90°，根据圆周角定理得到∠COE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝OC＝1，最后由垂径定理得出结论．‎ ‎【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴CE＝DE，∠CEO＝90°，‎ ‎∵∠A＝15°，‎ ‎∴∠COE＝30°，‎ 在Rt△OCE中，OC＝2，∠COE＝30°，‎ ‎∴CE＝OC＝1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）‎ ‎∴CD＝2CE＝2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．‎ ‎7．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．‎ ‎【解答】解：A、能围成三棱柱，故选项正确；‎ B、折叠后有两个面重合，不能围成三棱柱，故选项错误；‎ C、不能围成三棱柱，故选项错误；‎ D、折叠后有两个侧面重合，不能围成三棱柱，故选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记三棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．‎ ‎8．【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，‎ 则tan∠BAC＝＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．‎ ‎9．【分析】根据开口方向得出a＜0，抛物线与y轴的交点得出c＞0，对称轴x＝﹣＝﹣1，得出b＝‎2a，当x＝2时，y＝0，得出‎4a+2b+c＝0，根据抛物线的增减性得出y1＞y2；根据上加下减左加右减的原则得出平移后的解析式．‎ ‎【解答】解：∵开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵抛物线与y轴的正半轴相交，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴＜0，故①正确；‎ ‎∵对称轴x＝﹣＝﹣1，‎ ‎∴b＝‎2a，‎ 当x＝2时，y＝0，‎ ‎∴‎4a+2b+c＝0，‎ ‎∴‎4a+‎4a+c＝0，‎ ‎∴c＝﹣‎8a，‎ ‎∴a﹣b+c＝﹣‎9a，故②正确； ‎ ‎∵对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，抛物线有最大值，﹣3距离﹣1有2个单位长度，距离﹣1有个单位长度，‎ ‎∴y1＞y2，故③正确； ‎ ‎∵抛物线过（﹣4，0）（2，0），对称轴为x＝﹣1，‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+k，‎ 将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y＝ax2+k，‎ ‎∵c＝﹣‎8a，‎ ‎∴k＝﹣‎9a，‎ ‎∴将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y＝a（x2﹣9），故④正确；‎ 正确结论有①②③④；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．‎ ‎10．【分析】依据全等三角形的性质即可得到∠ADG＝∠AFG；依据DG＝GF＝DE＝EF，即可得到四边形DEFG为菱形；依据相似三角形的对应边成比例，即可得到DG2＝AE•EG；依据Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，即可得到方程x2+22＝（4﹣x）2，求得x的值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①由折叠可得，AD＝AF，DG＝FG，‎ 在△ADG和△AFG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADG≌△AFG（SSS），‎ ‎∴∠ADG＝∠AFG，故①正确；‎ ‎②∵GF∥DC，‎ ‎∴∠EGF＝∠DEG，‎ 由翻折的性质可知：GD＝GF，DE＝EF，∠DGE＝∠EGF，‎ ‎∴∠DGE＝∠DEG，‎ ‎∴GD＝DE，‎ ‎∴DG＝GF＝DE＝EF，‎ ‎∴四边形DEFG为菱形，故②正确；‎ ‎③如图所示，连接DF交AE于O，‎ ‎∵四边形DEFG为菱形，‎ ‎∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE，‎ ‎∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，‎ ‎∴△DOE∽△ADE，‎ ‎∴＝，即DE2＝EO•AE，‎ ‎∵EO＝GE，DE＝DG，‎ ‎∴DG2＝AE•EG，故③正确；‎ ‎④由折叠可得，AF＝AD＝5，‎ ‎∴Rt△ABF中，BF＝＝3，‎ ‎∴CF＝5﹣3＝2，‎ 设CE＝x，则DE＝EF＝4﹣x，‎ ‎∵Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，‎ ‎∴x2+22＝（4﹣x）2，‎ 解得x＝，‎ ‎∴CE＝，故④错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题属于折叠问题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，依据勾股定理列出关于x的方程是解题答问题的关键．‎ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）‎ ‎11．【分析】由每两个乘积恰好为1，判断任意两数互为倒数，任意9数的和列出代数式，根据a2+b2≥2ab从而确定和的范围．‎ ‎【解答】解：∵这些数中每两个乘积恰好为1，且都是正数，‎ ‎∴任意两个数互为倒数，‎ 故可设这两数分别为x，（x＞0，＞0），且x•＝1；‎ 根据题意，任意9个数的和为：‎ ‎①＝5x+≥2＝4；‎ ‎②＝4x+≥2＝4；‎ ‎∵4＞，‎ ‎∴任意9个数的和不小于．‎ 故答案为：甲．‎ ‎【点评】本题主要考查倒数的性质及a2+b2≥2ab的应用，根据题意列出代数式并确定范围是关键．‎ ‎12．【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．‎ ‎【解答】解：∵直尺的两边平行，‎ ‎∴∠2＝∠4＝50°，‎ 又∵∠1＝30°，‎ ‎∴∠3＝∠4﹣∠1＝20°．‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．‎ ‎13．【分析】根据若从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，列出关于n的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，‎ ‎∴袋中一共有球（6+n）个，‎ ‎∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，‎ ‎∴＝，‎ 解得：n＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．‎ ‎14．【分析】根据该方程是关于x得一元二次方程，得到关于k得一个不等式，根据该方程有两个不相等的实数根，结合根的判别式公式，得到一个关于k得不等式，分别解两个不等式，解之取公共部分即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵原方程是关于x得一元二次方程，‎ ‎∴k﹣1≠0‎ 解得：k≠1，‎ 又∵原方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＝4+4（k﹣1）＞0，‎ 解得：k＞0，‎ 即k得取值范围是：k＞0且k≠1，‎ 故答案为：k＞0且k≠1．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式和一元二次方程的定义是解题的关键．‎ ‎15．【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a+，根据AM＝AG+MG，列方程可得结论．‎ ‎【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，‎ 设CM＝a，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴BC＝‎2CM＝‎2a，‎ ‎∵tan∠ACB＝2，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴AM＝‎2a，‎ 由勾股定理得：AC＝a，‎ S△BDC＝BC•DH＝10，‎ ‎＝10，‎ DH＝，‎ ‎∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，‎ ‎∴四边形DHMG为矩形，‎ ‎∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，‎ ‎∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，‎ ‎∴∠ADG＝∠CDH，‎ 在△ADG和△CDH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADG≌△CDH（AAS），‎ ‎∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a+，‎ ‎∴AM＝AG+MG，‎ 即‎2a＝a++，‎ a2＝20，‎ 在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，‎ ‎∵AD＝CD，‎ ‎∴2AD2＝‎5a2＝100，‎ ‎∴AD＝5或﹣5（舍），‎ 故答案为：5．．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG＝CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．‎ ‎16．【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴DE⊥AB，‎ ‎∴∠AED＝90°，‎ 又∵∠ADE＝40°，‎ ‎∴∠ABD＝∠A＝50°，‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝65°，‎ ‎∴∠DBC＝15°．‎ 故答案为：15°．‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．‎ 三．解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎17．【分析】根据新定义先运算2@6，得到2@6＝4，然后再运算4@8．‎ ‎【解答】解：（2@6）@8‎ ‎＝@8 ‎ ‎＝4@8 ‎ ‎＝‎ ‎＝6．‎ ‎【点评】本题考查了实数的运算：先进行实数的乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了阅读理解能力．‎ ‎18．【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出这次随机抽取的学生数；‎ ‎（2）用抽取的总人数乘以B等级所占的百分比，从而补全统计图；‎ ‎（3）用该校九年级的总人数乘以优秀的人数所占的百分比，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有：20÷50%＝40（人）；‎ ‎（2）B等级的人数是：40×27.5%＝11人，如图：‎ ‎（3）根据题意得：×1200＝480（人），‎ 答：这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎19．【分析】由已知得出多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式是x﹣1，设x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+ax﹣1），展开后根据对应系数相等得出1＝a﹣1，﹣3＝﹣a﹣1，求出a即可．‎ ‎【解答】解：∵x＝1是方程x3+x2﹣3x+1＝0的一个解，‎ ‎∴多项式x3+x2﹣3x+1的一个因式是x﹣1，‎ 设x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+ax﹣1），‎ ‎∴x3+x2﹣3x+1＝x3+ax2﹣x2﹣ax﹣x+1＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a﹣1）x+1，‎ ‎∴1＝a﹣1，﹣3＝﹣a﹣1，‎ 解得：a＝2，‎ ‎∴x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+2x﹣1），‎ 即多项式x3+x2﹣3x+1的另一个因式是x2+2x﹣1，这个多项式因式分解为x3+x2﹣3x+1＝（x﹣1）（x2+2x﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，但有一定的难度．‎ ‎20．【分析】（1）先证出∠ACD＝∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADC＝120°，得出∠BEC＝120°，从而证出∠AEB＝60°；‎ ‎（2）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，最后证出DM＝ME＝CM即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，‎ ‎∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）．‎ ‎∴∠ADC＝∠BEC．‎ ‎∵△DCE为等边三角形，‎ ‎∴∠CDE＝∠CED＝60°．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，‎ ‎∴∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠BEC＝120°．‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．‎ ‎（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+‎2CM．‎ 理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE．‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）．‎ ‎∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．‎ ‎∵△DCE为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CDE＝∠CED＝45°．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，‎ ‎∴∠ADC＝135°，‎ ‎∴∠BEC＝135°．‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．‎ ‎∵CD＝CE，CM⊥DE，‎ ‎∴DM＝ME．‎ ‎∵∠DCE＝90°，‎ ‎∴DM＝ME＝CM．‎ ‎∴AE＝AD+DE＝BE+‎2CM．‎ ‎【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎21．【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；‎ ‎（2）把x＝﹣1代入函数解析式，即可得到m的值；‎ ‎（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；‎ ‎（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；‎ ‎（5）依据函数图象，即可得到当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．‎ ‎【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，‎ ‎∴x≠3；‎ ‎（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝；‎ ‎（3）如图所示：‎ ‎（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；‎ ‎（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．‎ ‎∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．‎ 故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．‎ ‎22．【分析】（1）先求出PC＝6、PB＝10、RP＝2，再证△PBC∽△PRQ得，据此可得；‎ ‎（2）证△RMQ∽△PCB得，根据PC＝6、BC＝8知，据此可得答案；‎ ‎（3）由PD∥AB知，据此可得、PN＝，由、RM＝y知，根据PD∥MQ得，即，整理可得函数解析式，当点R与点A重合时，PQ取得最大值，根据△ABQ∽△NAB知＝，求得x＝，从而得出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠C＝∠A＝90°，‎ 在Rt△BCP中，∠C＝90°，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴PC＝6，‎ ‎∴RP＝2，‎ ‎∴，‎ ‎∵RQ⊥BQ，‎ ‎∴∠RQP＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠RQP，‎ ‎∵∠BPC＝∠RPQ，‎ ‎∴△PBC∽△PRQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）的比值随点Q的运动没有变化，‎ 如图1，‎ ‎∵MQ∥AB，‎ ‎∴∠1＝∠ABP，∠QMR＝∠A，‎ ‎∵∠C＝∠A＝90°，‎ ‎∴∠QMR＝∠C＝90°，‎ ‎∵RQ⊥BQ，‎ ‎∴∠1+∠RQM＝90°、∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，‎ ‎∴∠RQM＝∠PBC，‎ ‎∴△RMQ∽△PCB，‎ ‎∴，‎ ‎∵PC＝6，BC＝8，‎ ‎∴，‎ ‎∴的比值随点Q的运动没有变化，比值为；‎ ‎（3）如图2，延长BP交AD的延长线于点N，‎ ‎∵PD∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵NA＝ND+AD＝8+ND，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵PD∥AB，MQ∥AB，‎ ‎∴PD∥MQ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，RM＝y，‎ ‎∴‎ 又PD＝2，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 如图3，当点R与点A重合时，PQ取得最大值，‎ ‎∵∠ABQ＝∠NBA、∠AQB＝∠NAB＝90°，‎ ‎∴△ABQ∽△NAB，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得x＝，‎ 则它的定义域是．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．‎ ‎23．【分析】（1）把P点和B点的坐标代入抛物线解析式，即可求出答案；‎ ‎（2）根据函数的图象得出即可；‎ ‎（3）根据面积公式求出M点到x轴的距离，得出M点的纵坐标，再求出M点的横坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）将P（1，﹣3）、B（4，0）代入y＝ax2+c得：，‎ 解得：；‎ ‎（2）由图象得x＞4或x＜1；‎ ‎ ‎ ‎（3）在抛物线上存在点M，使得S△ABP＝5S△ABM，‎ 理由是：抛物线的解析式是y＝x2﹣，‎ 设M点的纵坐标为e，‎ ‎∵P（1，﹣3），‎ ‎∴由S△ABP＝5S△ABM得：×AB×|﹣3|＝5×AB×|e|，‎ 解得；|e|＝，‎ 当e＝时， x2﹣＝，‎ 解得：x＝±，‎ 当e＝﹣时， x2﹣＝﹣，‎ 解得：x＝±，‎ 即M点的坐标是（，）（﹣，）（，﹣）（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式、二次函数和一次函数的图象和性质，函数图象上点的坐标特征等知识点，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．‎