怀化2015中考数学试题解析版

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怀化2015中考数学试题解析版

2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分;每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号 填涂在答题卡的相应位置上) 1.(4 分)(2015•怀化)某地一天的最高气温是 12℃,最低气温是 2℃,则该地这天的温差是( ) A. ﹣10℃ B. 10℃ C. 14℃ D. ﹣14℃ 2.(4 分)(2015•怀化)下列计算正确的是( ) A. x2+x3=x5 B. (x3)3=x6 C. x•x2=x2 D. x(2x)2=4x3 3.(4 分)(2015•怀化)体育课上,某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练,要判断哪一位同学的 成绩比较稳定,通常要比较两名同学成绩的( ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 4.(4 分)(2015•怀化)下列不等式变形正确的是( ) A. 由 a>b 得 ac>bc B. 由 a>b 得﹣2a>﹣2b C. 由 a>b 得﹣a<﹣b D. 由 a>b 得 a﹣2<b﹣2 5.(4 分)(2015•怀化)下列事件是必然事件的是( ) A. 地球绕着太阳转 B. 抛一枚硬币,正面朝上 C. 明天会下雨 D. 打开电视,正在播放新闻 6.(4 分)(2015•怀化)一个多边形的内角和是 360°,这个多边形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 不能确定 7.(4 分)(2015•怀化)设 x1,x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根,则 x12+x22 的值是( ) A. 19 B. 25 C. 31 D. 30 8.(4 分)(2015•怀化)下列各点中,在函数 y=﹣ 图象上的是( ) A. (﹣2,4) B. (2,4) C. (﹣2,﹣4) D. (8,1) 9.(4 分)(2015•怀化)如图,甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图, 小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( ) A. 仅有甲和乙相同 B. 仅有甲和丙相同 C. 仅有乙和丙相同 D. 甲、乙、丙都相同 10.(4 分)(2015•怀化)一次函数 y=kx+b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示,则 k 和 b 的取值范围是( ) A. k>0,b>0 B. k<0,b<0 C. k<0,b>0 D. k>0,b<0 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.(4 分)(2015•怀化)二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 ,对称轴是直线 . 12.(4 分)(2015•甘南州)分解因式:ax2﹣ay2= . 13.(4 分)(2015•怀化)方程 =0 的解是 . 14.(4 分)(2015•怀化)如图,在正方形 ABCD 中,如果 AF=BE,那么∠AOD 的度数是 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 64 分) 15.(8 分)(2015•怀化)计算: . 16.(8 分)(2015•怀化)解不等式组: ,并把它的解集在数轴上表示 出来. 17.(8 分)(2015•怀化)已知:如图,在 △ ABC 中,DE、DF 是 △ ABC 的中位线,连接 EF、AD, 其交点为 O.求证: (1) △ CDE≌△DBF; (2)OA=OD. 18.(8 分)(2015•怀化)小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一个月有所 增加,而且增加的距离相同.2 月份,5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m,4.7m.请你算出小明 1 月 份的跳远成绩以及每个月增加的距离. 19.(8 分)(2015•怀化)如图,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2 (1)求作⊙O,使它过点 A、B、C(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)所作的圆中,求出劣弧 的长 l. 20.(8 分)(2015•怀化)甲乙两人玩一种游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1,2, 3,现将标有数字的一面朝下,洗匀后甲从中任意抽取一张,记下数字后放回;又将卡片洗匀,乙也 从中任意抽取一张,计算甲乙两人抽得的两个数字之积,如果积为奇数则甲胜,若积为偶数则乙胜. (1)用列表或画树状图等方法,列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况; (2)请判断该游戏对甲乙双方是否公平?并说明理由. 21.(8 分)(2015•怀化)如图,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°,E 是 BC 的中点,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,连接 DE (1)求证: △ ABC∽△CBD; (2)求证:直线 DE 是⊙O 的切线. 22.(8 分)(2015•怀化)如图,已知 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点 P 以每秒 1 个单位的 速度从 A 向 C 运动,同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动,它们到 C 点后都停止 运动,设点 P,Q 运动的时间为 t 秒. (1)在运动过程中,求 P,Q 两点间距离的最大值; (2)经过 t 秒的运动,求 △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式; (3)P,Q 两点在运动过程中,是否存在时间 t,使得 △ PQC 为等腰三角形?若存在,求出此时的 t 值;若不存在,请说明理由( ≈2.24,结果保留一位小数) 2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分;每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号 填涂在答题卡的相应位置上) 1.(4 分)(2015•怀化)某地一天的最高气温是 12℃,最低气温是 2℃,则该地这天的温差是( ) A. ﹣10℃ B. 10℃ C. 14℃ D. ﹣14℃ 考点: 有理数的减法. 专题: 应用题. 分析: 用最高气温减去最低气温,然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上这个数的相 反数进行计算即可得解. 解答: 解:12﹣2=10℃. 故选:B. 点评: 本题考查了有理数的减法,熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键. 2.(4 分)(2015•怀化)下列计算正确的是( ) A. x2+x3=x5 B. (x3)3=x6 C. x•x2=x2 D. x(2x)2=4x3 考点: 单项式乘单项式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 专题: 计算题. 分析: 原式各项计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式不能合并,错误; B、原式=x9,错误; C、原式=x3,错误; D、原式=4x3,正确, 故选 D 点评: 此题考查了单项式乘以单项式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及幂的乘方与积的乘方, 熟练掌握运算法则是解本题的关键. 3.(4 分)(2015•怀化)体育课上,某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练,要判断哪一位同学的 成绩比较稳定,通常要比较两名同学成绩的( ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 考点: 统计量的选择. 分析: 根据方差的意义:是反映一组数据波动大小,稳定程度的量;方差越大,表明这组数据偏离 平均数越大,即波动越大,反之也成立.故要判断哪一名学生的成绩比较稳定,通常需要比较这两 名学生了 5 次短跑训练成绩的方差. 解答: 解:由于方差能反映数据的稳定性,需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差. 故选 B. 点评: 此题主要考查了方差,关键是掌握方差所表示的意义. 4.(4 分)(2015•怀化)下列不等式变形正确的是( ) A. 由 a>b 得 ac>bc B. 由 a>b 得﹣2a>﹣2b C. 由 a>b 得﹣a<﹣b D. 由 a>b 得 a﹣2<b﹣2 考点: 不等式的性质. 分析: A:因为 c 的正负不确定,所以由 a>b 得 ac>bc 不正确,据此判断即可. B:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可. C:不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,据此判断即可. D:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,据 此判断即可. 解答: 解:∵a>b, ∴①c>0 时,ac>bc;②c=0 时,ac=bc;③c<0 时,ac<bc, ∴选项 A 不正确; ∵a>b, ∴﹣2a<﹣2b, ∴选项 B 不正确; ∵a>b, ∴﹣a<﹣b, ∴选项 C 正确; ∵a>b, ∴a﹣2>b﹣2, ∴选项 D 不正确. 故选:C. 点评: 此题主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不 等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不 等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变. 5.(4 分)(2015•怀化)下列事件是必然事件的是( ) A. 地球绕着太阳转 B. 抛一枚硬币,正面朝上 C. 明天会下雨 D. 打开电视,正在播放新闻 考点: 随机事件. 分析: 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件. 解答: 解:A、地球绕着太阳转是必然事件,故 A 符合题意; B、抛一枚硬币,正面朝上是随机事件,故 B 不符合题意; C、明天会下雨是随机事件,故 C 不符合题意; D、打开电视,正在播放新闻是随机事件,故 D 不符合题意; 故选:A. 点评: 本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必 然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确 定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 6.(4 分)(2015•怀化)一个多边形的内角和是 360°,这个多边形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 不能确定 考点: 多边形内角与外角. 分析: 本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于 360°,列出方程,解出即可. 解答: 解:设这个多边形的边数为 n, 则有(n﹣2)180°=360°, 解得:n=4, 故这个多边形是四边形. 故选:B. 点评:本题主要考查多边形的内角和定理,解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题. 7.(4 分)(2015•怀化)设 x1,x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根,则 x12+x22 的值是( ) A. 19 B. 25 C. 31 D. 30 考点: 根与系数的关系. 分析: 根据一元二次方程的根与系数的关系,即可求得 x1 与 x2 的和与积,所求的代数式可以用两 根的和与积表示出来,即可求解. 解答: 解:∵x1,x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根, ∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣3, ∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=25+6=31. 故选:C. 点评: 此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使 用的解题方法. 8.(4 分)(2015•怀化)下列各点中,在函数 y=﹣ 图象上的是( ) A. (﹣2,4) B. (2,4) C. (﹣2,﹣4) D. (8,1) 考点: 反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: 只需把所给点的横纵坐标相乘,结果是﹣8 的,就在此函数图象上. 解答: 解:∵反比例函数 y=﹣ 中,k=﹣8, ∴只需把各点横纵坐标相乘,结果为﹣8 的点在函数图象上, 四个选项中只有 A 选项符合. 故选 A. 点评: 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应 等于比例系数. 9.(4 分)(2015•怀化)如图,甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图, 小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( ) A. 仅有甲和乙相同 B. 仅有甲和丙相同 C. 仅有乙和丙相同 D. 甲、乙、丙都相同 考点: 由三视图判断几何体;简单组合体的三视图. 分析: 由已知条件可知,甲的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,2;乙的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,1;丙的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,2.据此 可即可求解. 解答: 解:根据分析可知,甲的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,2;乙的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,1;丙的主视图有 2 列,每列小正方数形数目分别为 2,2; 则主视图相同的是甲和丙. 故选:B. 点评: 本题考查几何体的三视图画法.由几何体的俯视图及小正方形内的数字,可知主视图的列数 与俯视数的列数相同,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的 列数与俯视图的行数相同,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字. 10.(4 分)(2015•怀化)一次函数 y=kx+b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示,则 k 和 b 的取值范围是( ) A. k>0,b>0 B. k<0,b<0 C. k<0,b>0 D. k>0,b<0 考点: 一次函数图象与系数的关系. 分析: 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可. 解答: 解:∵一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、四象限, ∴k<0,b>0. 故选 C. 点评: 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,即一次函数 y=kx+b(k≠0)中,当 k<0,b>0 时图象在一、二、四象限. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.(4 分)(2015•怀化)二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 (﹣1,﹣1) ,对称轴是直线 x=﹣ 1 . 考点: 二次函数的性质. 分析: 先把该二次函数化为顶点式的形式,再根据其顶点式进行解答即可. 解答: 解:∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1, ∴二次函数 y=x2+4x 的顶点坐标是:(﹣1,﹣1),对称轴是直线 x=﹣1. 故答案为:(﹣1,﹣1),x=﹣1. 点评: 此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法,熟练配方是解题关 键. 12.(4 分)(2015•甘南州)分解因式:ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 应先提取公因式 a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 解答: 解:ax2﹣ay2, =a(x2﹣y2), =a(x+y)(x﹣y). 故答案为:a(x+y)(x﹣y). 点评: 本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式,需要注意分解因式一定要彻底. 13.(4 分)(2015•怀化)方程 =0 的解是 x=﹣2 . 考点: 解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方程 的解. 解答: 解:去分母得:2+2x﹣x=0, 解得:x=﹣2, 经检验 x=﹣2 是分式方程的解. 故答案为:x=﹣2. 点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程 求解.解分式方程一定注意要验根. 14.(4 分)(2015•怀化)如图,在正方形 ABCD 中,如果 AF=BE,那么∠AOD 的度数是 90° . 考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: 根据全等三角形的判定与性质,可得∠ODA 与∠BAE 的关系,根据余角的性质,可得∠ODA 与∠OAD 的关系,根据直角三角形的判定,可得答案. 解答: 解:由 ABCD 是正方形,得 AD=AB,∠DAB=∠B=90°. 在 △ ABE 和 △ DAF 中 , ∴△ABE≌△DAF, ∴∠BAE=∠ADF. ∵∠BAE+∠EAD=90°, ∴∠OAD+∠ADO=90°, ∴∠AOD=90°, 故答案为:90°. 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,余角的性质,直角 三角形的判定. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 64 分) 15.(8 分)(2015•怀化)计算: . 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用 负整数指数幂法则计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用算术平方根的定义计算即可 得到结果. 解答: 解:原式= ﹣1+4× ﹣2﹣1+3= +1. 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 16.(8 分)(2015•怀化)解不等式组: ,并把它的解集在数轴上表示 出来. 考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可. 解答: 解:由①得,x≤2, 由②得,x>﹣1, 故此不等式组的解集为:﹣1<x≤2. 在数轴上表示为: 点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大 大小小解不了”的原则是解答此题的关键. 17.(8 分)(2015•怀化)已知:如图,在 △ ABC 中,DE、DF 是 △ ABC 的中位线,连接 EF、AD, 其交点为 O.求证: (1) △ CDE≌△DBF; (2)OA=OD. 考点: 全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 专题: 证明题. 分析: (1)根据三角形中位线,可得 DF 与 CE 的关系,DB 与 DC 的关系,根据 SAS,可得答案; (2)根据三角形的中位线,可得 DF 与 AE 的关系,根据平行四边形的判定与性质,可得答案. 解答: 证明:(1)∵DE、DF 是 △ ABC 的中位线, ∴DF=CE,DF∥CE,DB=DC. ∵DF∥CE, ∴∠C=∠BDF. 在 △ CDE 和 △ DBF 中 , ∴△CDE≌△DBF (SAS); (2)∵DE、DF 是 △ ABC 的中位线, ∴DF=AE,DF∥AE, ∴四边形 DEAF 是平行四边形, ∵EF 与 AD 交于 O 点, ∴AO=OD 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,(1)利用了三角形中位线的性质,全等三角形的判定; (2)利用了三角形中位线的性质,平行四边的性的判定与性质. 18.(8 分)(2015•怀化)小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一个月有所 增加,而且增加的距离相同.2 月份,5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m,4.7m.请你算出小明 1 月 份的跳远成绩以及每个月增加的距离. 考点: 一元一次方程的应用. 分析: 设小明 1 月份的跳远成绩为 xm,则 5 月份﹣2 月份=3(2 月份﹣1 月份),据此列出方程并 解答. 解答: 解:设小明 1 月份的跳远成绩为 xm,则 4.7﹣4.1=3(4.1﹣x), 解得 x=3.9. 则每个月的增加距离是 4.1﹣3.9=0.2(m). 答:小明 1 月份的跳远成绩是 3.9m,每个月增加的距离是 0.2m. 点评: 本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找 出合适的等量关系列出方程,再求解. 19.(8 分)(2015•怀化)如图,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2 (1)求作⊙O,使它过点 A、B、C(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)所作的圆中,求出劣弧 的长 l. 考点: 作图—复杂作图;弧长的计算. 分析: (1)使以 O 为圆心的圆经过 A、B、C 三点,即做三角形的外接圆,即是三条边的垂直平 分线的交点; (2)由,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,易得∠B=30°,∠A=60°,∠BOC=120°,由弧长计算公式得出 结论. 解答: 解:(1)如图所示: (2)∵AC=1,AB=2, ∴∠B=30°,∠A=60°, ∴∠BOC=120°, ∴l= = 点评: 本题主要考查了三角形外接圆的做法,含 30°直角三角形的性质及弧长的计算,数形结合, 掌握直角三角形的性质是解答此题的关键. 20.(8 分)(2015•怀化)甲乙两人玩一种游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1,2, 3,现将标有数字的一面朝下,洗匀后甲从中任意抽取一张,记下数字后放回;又将卡片洗匀,乙也 从中任意抽取一张,计算甲乙两人抽得的两个数字之积,如果积为奇数则甲胜,若积为偶数则乙胜. (1)用列表或画树状图等方法,列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况; (2)请判断该游戏对甲乙双方是否公平?并说明理由. 考点: 游戏公平性;列表法与树状图法. 专题: 计算题. 分析: (1)列表得出所有等可能的情况数,找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即 可; (2)分别求出甲乙两人获胜的概率,比较即可得到结果. 解答: 解:(1)列表如下: 1 2 3 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) 所有等可能的情况有 9 种,分别为(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1); (3,2);(3,3), 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1,2,3,2,4,6,3,6,9,共 9 种; (2)该游戏对甲乙双方不公平,理由为: 其中积为奇数的情况有 4 种,偶数有 5 种, ∴P(甲)<P(乙), 则该游戏对甲乙双方不公平. 点评: 此题考查了游戏的公平性,以及列表法与树状图法,判断游戏公平性就要计算每个事件的概 率,概率相等就公平,否则就不公平. 21.(8 分)(2015•怀化)如图,在 Rt △ ABC 中,∠ACB=90°,E 是BC 的中点,以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D,连接 DE (1)求证: △ ABC∽△CBD; (2)求证:直线 DE 是⊙O 的切线. 考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)根据 AC 为⊙O 的直径,得出 △ BCD 为 Rt △ ,通过已知条件证明 △ BCD∽△BAC 即可; (2)连结 DO,如图,根据直角三角形斜边上的中线性质,由∠BDC=90°,E 为 BC 的中点得到 DE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,由于∠OCD+∠DCE=∠ ACB=90°,所以∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到 DE 与⊙O 相 切. 解答: (1)证明:∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ADC=90°, ∴∠BDC=90°, 又∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BDC, 又∵∠B=∠B, ∴△BCD∽△BAC; (2)连结 DO,如图, ∵∠BDC=90°,E 为 BC 的中点, ∴DE=CE=BE, ∴∠EDC=∠ECD, 又∵OD=OC, ∴∠ODC=∠OCD, 而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°, ∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°, ∴DE⊥OD, ∴DE 与⊙O 相切. 点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某 线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了直角 三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质. 22.(8 分)(2015•怀化)如图,已知 Rt △ ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点 P 以每秒 1 个单位的 速度从 A 向 C 运动,同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动,它们到 C 点后都停止 运动,设点 P,Q 运动的时间为 t 秒. (1)在运动过程中,求 P,Q 两点间距离的最大值; (2)经过 t 秒的运动,求 △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式; (3)P,Q 两点在运动过程中,是否存在时间 t,使得 △ PQC 为等腰三角形?若存在,求出此时的 t 值;若不存在,请说明理由( ≈2.24,结果保留一位小数) 考点: 相似形综合题. 分析: (1)如图 1,过 Q 作 QE⊥AC 于 E,连接 PQ,由 △ ABC∽△AQE,得到比例式 , 求得 PE= ,QE= ,根据勾股定理得到 PQ2=QE2+PE2,求出 PQ= t,当 Q 与 B 重合时,PQ 的值最大,于是得到当 t=5 时,PQ 的最大值=3 ; (2)由三角形的面积公式即可求得; (3)存在,如图 2,连接 CQ,PQ,分三种情况①当 CQ=CP 时,②当 PQ=CQ 时,③当 PQ=PC 时,列方程求解即可. 解答: 解:(1)如图 1,过 Q 作 QE⊥AC 于 E,连接 PQ, ∵∠C=90°, ∴QE∥BC, ∴△ABC∽△AQE, ∴ , ∵AQ=2t,AP=t, ∵∠C=90°,AC=8,BC=6, ∴AB=10, ∴ , ∴PE= ,QE= , ∴PQ2=QE2+PE2, ∴PQ= t, 当 Q 与 B 重合时,PQ 的值最大, ∴当 t=5 时,PQ 的最大值=3 ; (2)如图 1, △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积=S △ AQP, 当 Q 在 AB 边上时,S= AP•QE= t• = ,(0<t≤5) 当 Q 在 BC 边上时, △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积=S 四边形 ABQP, ∴S 四边形 ABQP=S △ ABC﹣S △ PQC= ×8×6﹣ (8﹣t)•(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40,(5<t≤8); ∴经过 t 秒的运动, △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式:S= 或 S=﹣t2+16t﹣ 40. (3)存在,如图 2,连接 CQ,PQ, 由(1)知 QE= ,CE=AC﹣AE=8﹣ ,PQ= t, ∴CQ= = = =2 , ①当 CQ=CP 时, 即:2 =8﹣t, 解得;t= , ②当 PQ=CQ 时, 即; t=2 , 解得:t= ,t= (不合题意舍去), ③当 PQ=PC 时, 即 t=8﹣t, 解得:t=3 ﹣5≈1.7; 综上所述:当 t= ,t= ,t=1.7 时, △ PQC 为等腰三角形. 点评: 本题考查了动点问题,相似三角形的判定和性质,三角形的面积,勾股定理,等腰三角形的 性质,特别是(3)要分类讨论,不要漏解.
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