怀化2015中考数学试题解析版

怀化2015中考数学试题解析版

2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号 填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4 分）（2015•怀化）某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是（ ） A． ﹣10℃ B． 10℃ C． 14℃ D． ﹣14℃ 2．（4 分）（2015•怀化）下列计算正确的是（ ） A． x2+x3=x5 B． （x3）3=x6 C． x•x2=x2 D． x（2x）2=4x3 3．（4 分）（2015•怀化）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的 成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ） A． 平均数 B． 方差 C． 众数 D． 中位数 4．（4 分）（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A． 由 a＞b 得 ac＞bc B． 由 a＞b 得﹣2a＞﹣2b C． 由 a＞b 得﹣a＜﹣b D． 由 a＞b 得 a﹣2＜b﹣2 5．（4 分）（2015•怀化）下列事件是必然事件的是（ ） A． 地球绕着太阳转 B． 抛一枚硬币，正面朝上 C． 明天会下雨 D． 打开电视，正在播放新闻 6．（4 分）（2015•怀化）一个多边形的内角和是 360°，这个多边形是（ ） A． 三角形 B． 四边形 C． 六边形 D． 不能确定 7．（4 分）（2015•怀化）设 x1，x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根，则 x12+x22 的值是（ ） A． 19 B． 25 C． 31 D． 30 8．（4 分）（2015•怀化）下列各点中，在函数 y=﹣ 图象上的是（ ） A． （﹣2，4） B． （2，4） C． （﹣2，﹣4） D． （8，1） 9．（4 分）（2015•怀化）如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图， 小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（ ） A． 仅有甲和乙相同 B． 仅有甲和丙相同 C． 仅有乙和丙相同 D． 甲、乙、丙都相同 10．（4 分）（2015•怀化）一次函数 y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是（ ） A． k＞0，b＞0 B． k＜0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＞0，b＜0 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11．（4 分）（2015•怀化）二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ． 12．（4 分）（2015•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2= ． 13．（4 分）（2015•怀化）方程 =0 的解是 ． 14．（4 分）（2015•怀化）如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分） 15．（8 分）（2015•怀化）计算： ． 16．（8 分）（2015•怀化）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示 出来． 17．（8 分）（2015•怀化）已知：如图，在 △ ABC 中，DE、DF 是 △ ABC 的中位线，连接 EF、AD， 其交点为 O．求证： （1） △ CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 18．（8 分）（2015•怀化）小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所 增加，而且增加的距离相同．2 月份，5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m，4.7m．请你算出小明 1 月 份的跳远成绩以及每个月增加的距离． 19．（8 分）（2015•怀化）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2 （1）求作⊙O，使它过点 A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，求出劣弧 的长 l． 20．（8 分）（2015•怀化）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2， 3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也 从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 21．（8 分）（2015•怀化）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，E 是 BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）求证： △ ABC∽△CBD； （2）求证：直线 DE 是⊙O 的切线． 22．（8 分）（2015•怀化）如图，已知 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 P 以每秒 1 个单位的 速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动，它们到 C 点后都停止 运动，设点 P，Q 运动的时间为 t 秒． （1）在运动过程中，求 P，Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求 △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得 △ PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的 t 值；若不存在，请说明理由（ ≈2.24，结果保留一位小数） 2015 年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号 填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4 分）（2015•怀化）某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是（ ） A． ﹣10℃ B． 10℃ C． 14℃ D． ﹣14℃ 考点： 有理数的减法． 专题： 应用题． 分析： 用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上这个数的相 反数进行计算即可得解． 解答： 解：12﹣2=10℃． 故选：B． 点评： 本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 2．（4 分）（2015•怀化）下列计算正确的是（ ） A． x2+x3=x5 B． （x3）3=x6 C． x•x2=x2 D． x（2x）2=4x3 考点： 单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题． 分析： 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 解答： 解：A、原式不能合并，错误； B、原式=x9，错误； C、原式=x3，错误； D、原式=4x3，正确， 故选 D 点评： 此题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（4 分）（2015•怀化）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的 成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ） A． 平均数 B． 方差 C． 众数 D． 中位数 考点： 统计量的选择． 分析： 根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离 平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两 名学生了 5 次短跑训练成绩的方差． 解答： 解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差． 故选 B． 点评： 此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义． 4．（4 分）（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A． 由 a＞b 得 ac＞bc B． 由 a＞b 得﹣2a＞﹣2b C． 由 a＞b 得﹣a＜﹣b D． 由 a＞b 得 a﹣2＜b﹣2 考点： 不等式的性质． 分析： A：因为 c 的正负不确定，所以由 a＞b 得 ac＞bc 不正确，据此判断即可． B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可． D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据 此判断即可． 解答： 解：∵a＞b， ∴①c＞0 时，ac＞bc；②c=0 时，ac=bc；③c＜0 时，ac＜bc， ∴选项 A 不正确； ∵a＞b， ∴﹣2a＜﹣2b， ∴选项 B 不正确； ∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， ∴选项 C 正确； ∵a＞b， ∴a﹣2＞b﹣2， ∴选项 D 不正确． 故选：C． 点评： 此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不 等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 5．（4 分）（2015•怀化）下列事件是必然事件的是（ ） A． 地球绕着太阳转 B． 抛一枚硬币，正面朝上 C． 明天会下雨 D． 打开电视，正在播放新闻 考点： 随机事件． 分析： 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 解答： 解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故 A 符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故 C 不符合题意； D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故 D 不符合题意； 故选：A． 点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必 然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确 定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（4 分）（2015•怀化）一个多边形的内角和是 360°，这个多边形是（ ） A． 三角形 B． 四边形 C． 六边形 D． 不能确定 考点： 多边形内角与外角． 分析： 本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于 360°，列出方程，解出即可． 解答： 解：设这个多边形的边数为 n， 则有（n﹣2）180°=360°， 解得：n=4， 故这个多边形是四边形． 故选：B． 点评：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题． 7．（4 分）（2015•怀化）设 x1，x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根，则 x12+x22 的值是（ ） A． 19 B． 25 C． 31 D． 30 考点： 根与系数的关系． 分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 x1 与 x2 的和与积，所求的代数式可以用两 根的和与积表示出来，即可求解． 解答： 解：∵x1，x2 是方程 x2+5x﹣3=0 的两个根， ∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31． 故选：C． 点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使 用的解题方法． 8．（4 分）（2015•怀化）下列各点中，在函数 y=﹣ 图象上的是（ ） A． （﹣2，4） B． （2，4） C． （﹣2，﹣4） D． （8，1） 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8 的，就在此函数图象上． 解答： 解：∵反比例函数 y=﹣ 中，k=﹣8， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8 的点在函数图象上， 四个选项中只有 A 选项符合． 故选 A． 点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应 等于比例系数． 9．（4 分）（2015•怀化）如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图， 小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（ ） A． 仅有甲和乙相同 B． 仅有甲和丙相同 C． 仅有乙和丙相同 D． 甲、乙、丙都相同 考点： 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图． 分析： 由已知条件可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2；乙的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2．据此 可即可求解． 解答： 解：根据分析可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2；乙的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2； 则主视图相同的是甲和丙． 故选：B． 点评： 本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数 与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的 列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 10．（4 分）（2015•怀化）一次函数 y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则 k 和 b 的取值范围是（ ） A． k＞0，b＞0 B． k＜0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＞0，b＜0 考点： 一次函数图象与系数的关系． 分析： 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 解答： 解：∵一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0． 故选 C． 点评： 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＜0，b＞0 时图象在一、二、四象限． 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11．（4 分）（2015•怀化）二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 （﹣1，﹣1） ，对称轴是直线 x=﹣ 1 ． 考点： 二次函数的性质． 分析： 先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可． 解答： 解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1， ∴二次函数 y=x2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线 x=﹣1． 故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1． 点评： 此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，熟练配方是解题关 键． 12．（4 分）（2015•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2= a（x+y）（x﹣y） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 应先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答： 解：ax2﹣ay2， =a（x2﹣y2）， =a（x+y）（x﹣y）． 故答案为：a（x+y）（x﹣y）． 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底． 13．（4 分）（2015•怀化）方程 =0 的解是 x=﹣2 ． 考点： 解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程 的解． 解答： 解：去分母得：2+2x﹣x=0， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是分式方程的解． 故答案为：x=﹣2． 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程 求解．解分式方程一定注意要验根． 14．（4 分）（2015•怀化）如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 90° ． 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA 与∠BAE 的关系，根据余角的性质，可得∠ODA 与∠OAD 的关系，根据直角三角形的判定，可得答案． 解答： 解：由 ABCD 是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90°． 在 △ ABE 和 △ DAF 中 ， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠AOD=90°， 故答案为：90°． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角 三角形的判定． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 64 分） 15．（8 分）（2015•怀化）计算： ． 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用 负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可 得到结果． 解答： 解：原式= ﹣1+4× ﹣2﹣1+3= +1． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（8 分）（2015•怀化）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示 出来． 考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 解答： 解：由①得，x≤2， 由②得，x＞﹣1， 故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2． 在数轴上表示为： 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大 大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 17．（8 分）（2015•怀化）已知：如图，在 △ ABC 中，DE、DF 是 △ ABC 的中位线，连接 EF、AD， 其交点为 O．求证： （1） △ CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 专题： 证明题． 分析： （1）根据三角形中位线，可得 DF 与 CE 的关系，DB 与 DC 的关系，根据 SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得 DF 与 AE 的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 解答： 证明：（1）∵DE、DF 是 △ ABC 的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在 △ CDE 和 △ DBF 中 ， ∴△CDE≌△DBF （SAS）； （2）∵DE、DF 是 △ ABC 的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE， ∴四边形 DEAF 是平行四边形， ∵EF 与 AD 交于 O 点， ∴AO=OD 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定； （2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质． 18．（8 分）（2015•怀化）小明从今年 1 月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所 增加，而且增加的距离相同．2 月份，5 月份他的跳远成绩分别为 4.1m，4.7m．请你算出小明 1 月 份的跳远成绩以及每个月增加的距离． 考点： 一元一次方程的应用． 分析： 设小明 1 月份的跳远成绩为 xm，则 5 月份﹣2 月份=3（2 月份﹣1 月份），据此列出方程并 解答． 解答： 解：设小明 1 月份的跳远成绩为 xm，则 4.7﹣4.1=3（4.1﹣x）， 解得 x=3.9． 则每个月的增加距离是 4.1﹣3.9=0.2（m）． 答：小明 1 月份的跳远成绩是 3.9m，每个月增加的距离是 0.2m． 点评： 本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系列出方程，再求解． 19．（8 分）（2015•怀化）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2 （1）求作⊙O，使它过点 A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的圆中，求出劣弧 的长 l． 考点： 作图—复杂作图；弧长的计算． 分析： （1）使以 O 为圆心的圆经过 A、B、C 三点，即做三角形的外接圆，即是三条边的垂直平 分线的交点； （2）由，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，易得∠B=30°，∠A=60°，∠BOC=120°，由弧长计算公式得出 结论． 解答： 解：（1）如图所示： （2）∵AC=1，AB=2， ∴∠B=30°，∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∴l= = 点评： 本题主要考查了三角形外接圆的做法，含 30°直角三角形的性质及弧长的计算，数形结合， 掌握直角三角形的性质是解答此题的关键． 20．（8 分）（2015•怀化）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2， 3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也 从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由． 考点： 游戏公平性；列表法与树状图法． 专题： 计算题． 分析： （1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即 可； （2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果． 解答： 解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）； （3，2）；（3，3）， 则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，9，共 9 种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种， ∴P（甲）＜P（乙）， 则该游戏对甲乙双方不公平． 点评： 此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概 率，概率相等就公平，否则就不公平． 21．（8 分）（2015•怀化）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，E 是BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，连接 DE （1）求证： △ ABC∽△CBD； （2）求证：直线 DE 是⊙O 的切线． 考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）根据 AC 为⊙O 的直径，得出 △ BCD 为 Rt △ ，通过已知条件证明 △ BCD∽△BAC 即可； （2）连结 DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E 为 BC 的中点得到 DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到 DE 与⊙O 相 切． 解答： （1）证明：∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠BDC=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BDC， 又∵∠B=∠B， ∴△BCD∽△BAC； （2）连结 DO，如图， ∵∠BDC=90°，E 为 BC 的中点， ∴DE=CE=BE， ∴∠EDC=∠ECD， 又∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， 而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°， ∴DE⊥OD， ∴DE 与⊙O 相切． 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某 线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角 三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质． 22．（8 分）（2015•怀化）如图，已知 Rt △ ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 P 以每秒 1 个单位的 速度从 A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动，它们到 C 点后都停止 运动，设点 P，Q 运动的时间为 t 秒． （1）在运动过程中，求 P，Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求 △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得 △ PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的 t 值；若不存在，请说明理由（ ≈2.24，结果保留一位小数） 考点： 相似形综合题． 分析： （1）如图 1，过 Q 作 QE⊥AC 于 E，连接 PQ，由 △ ABC∽△AQE，得到比例式 ， 求得 PE= ，QE= ，根据勾股定理得到 PQ2=QE2+PE2，求出 PQ= t，当 Q 与 B 重合时，PQ 的值最大，于是得到当 t=5 时，PQ 的最大值=3 ； （2）由三角形的面积公式即可求得； （3）存在，如图 2，连接 CQ，PQ，分三种情况①当 CQ=CP 时，②当 PQ=CQ 时，③当 PQ=PC 时，列方程求解即可． 解答： 解：（1）如图 1，过 Q 作 QE⊥AC 于 E，连接 PQ， ∵∠C=90°， ∴QE∥BC， ∴△ABC∽△AQE， ∴ ， ∵AQ=2t，AP=t， ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴ ， ∴PE= ，QE= ， ∴PQ2=QE2+PE2， ∴PQ= t， 当 Q 与 B 重合时，PQ 的值最大， ∴当 t=5 时，PQ 的最大值=3 ； （2）如图 1， △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积=S △ AQP， 当 Q 在 AB 边上时，S= AP•QE= t• = ，（0＜t≤5） 当 Q 在 BC 边上时， △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积=S 四边形 ABQP， ∴S 四边形 ABQP=S △ ABC﹣S △ PQC= ×8×6﹣ （8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）； ∴经过 t 秒的运动， △ ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式：S= 或 S=﹣t2+16t﹣ 40． （3）存在，如图 2，连接 CQ，PQ， 由（1）知 QE= ，CE=AC﹣AE=8﹣ ，PQ= t， ∴CQ= = = =2 ， ①当 CQ=CP 时， 即：2 =8﹣t， 解得；t= ， ②当 PQ=CQ 时， 即； t=2 ， 解得：t= ，t= （不合题意舍去）， ③当 PQ=PC 时， 即 t=8﹣t， 解得：t=3 ﹣5≈1.7； 综上所述：当 t= ，t= ，t=1.7 时， △ PQC 为等腰三角形． 点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的 性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解．