北京中考西城一模数学含答案电子版

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北京中考西城一模数学含答案电子版

北京市西城区2013年初三一模试卷 ‎ 数 学 2013. 5‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.‎ ‎1.的相反数是 A. B. C.3 D.‎ ‎2.上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心,该项目营业面积约130 000平方米,130 000用科学记数法表示应为 ‎ A.1.3×105 B.1.3×104 C.13×104 D.0.13×106‎ ‎3.如图,AF是∠BAC的平分线,EF∥AC交AB于点E.‎ 若∠1=25°,则的度数为 ‎ A.15° B.50°‎ ‎ C.25° D.12.5°‎ ‎4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为 ‎ A. B. C. D.1‎ ‎5.若菱形的对角线长分别为6和8,则该菱形的边长为 ‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ ‎6.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下:‎ 年龄(单位:岁)‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 人数 ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎ 则该队队员年龄的众数和中位数分别是 A.16,15   B.15,15.5 C.15,17 D.15,16‎ ‎7.由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示,则构成这个几何体 的小正方体共有 A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 ‎8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向 旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是 ‎ A B C D 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9.函数中,自变量x的取值范围是 .‎ ‎10.分解因式:= .‎ ‎11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,∠C=45°.‎ 若AD=2,BC=8,则AB的长为 .‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.‎ 第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;‎ 第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;‎ 第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;‎ 第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;‎ ‎……‎ 依此规律进行,点A6的坐标为 ;若点An的坐标为(2013,2012),‎ 则n= .‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.计算:.‎ ‎14.解不等式组 并求它的所有整数解. ‎ ‎15.如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.‎ ‎ (1) 求证:△DAB≌△DCE;‎ ‎(2) 求证:DA∥EC. ‎ ‎16.已知,求的值.‎ ‎-2‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数与反比例函数的图象在 第二象限交于点A,且点A的横坐标为 .‎ ‎(1) 求反比例函数的解析式;‎ ‎(2) 点B的坐标为(-3,0),若点P在y轴上,‎ 且△AOB的面积与△AOP的面积相等,‎ 直接写出点P的坐标.‎ ‎18.列方程(组)解应用题:‎ 某工厂原计划生产2400台空气净化器,由于天气的影响,空气净化器的需求量呈上升趋势,生产任务的数量增加了1200台.工厂在实际生产中,提高了生产效率,每天比原计划多生产10台,实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍.求原计划每天生产多少台空气净化器.‎ ‎19.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,‎ ‎ AC⊥AB,AB=2,且AC︰BD=2︰3.‎ ‎ (1) 求AC的长; ‎ ‎ (2) 求△AOD的面积.‎ ‎20.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于 点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.‎ ‎ (1) 求证:EF与⊙O相切;‎ ‎ (2) 若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.‎ ‎21.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.‎ 北京市2009-2012年农业观光园 经营年收入增长率统计表 北京市2008-2012年农业观光园 经营年收入统计图 年份 年增长率(精确到1%)‎ ‎2009年 ‎12%‎ ‎2010年 ‎2011年 ‎22%‎ ‎2012年 ‎24%‎ ‎ ‎ ‎ 请根据以上信息解答下列问题: ‎ ‎ (1) 北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ;(结果精确到1%)‎ ‎ (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)‎ ‎ (3) 如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请 ‎ 你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到 年.(填写年份)‎ ‎22.先阅读材料,再解答问题:‎ ‎ 小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,‎ 同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均 为⊙O上的点,则有∠C=∠D.‎ 小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,‎ 则有∠D>∠E.‎ ‎ 请你参考小明得出的结论,解答下列问题:‎ ‎(1) 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),‎ ‎ 点C的坐标为(3,0) .‎ ‎ ①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);‎ ‎②若在轴的正半轴上有一点D,且∠ACB =∠ADB,则点D的坐标为 ;‎ ‎ (2) 如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),‎ 其中m>n>0.点P为轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)‎ ‎23.已知关于的一元二次方程.‎ ‎ (1) 求证:无论为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为,其中,将抛物线向右平移个单位,再向上平移个单位,得到抛物线.求抛物 线的解析式;‎ ‎(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上,且A、B两点不重合,求代数式 的值.‎ ‎24.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=,点P在△ABC的内部.‎ ‎(1) 如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cos=_______,‎ ‎ △PMN周长的最小值为_______;‎ ‎(2) 如图2,若条件AB=2AC不变,而PA=,PB=,PC=1,求△ABC的面积;‎ ‎(3) 若PA=,PB=,PC=,且,直接写出∠APB的度数.‎ ‎25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).‎ ‎ (1) 求的值和抛物线的解析式;‎ ‎(2) 点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0< t <4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;‎ ‎(3) M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.‎ 图1 图2‎ 北京市西城区2013年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分参考 2013. 5‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A C B A D C A 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x≥3‎ ‎(-2, -3),4023 (各2分)‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.解:原式=. ………………………………………………4分 ‎ =. ………………………………………………… 5分 ‎①‎ ‎②‎ ‎14.解:‎ ‎ 由①得. …………………………………………………………1分 ‎ 由②得. …………………………………………………………3分 ‎ ∴ 原不等式组的解集是. ………………………………… 4分 ‎ ∴ 它的整数解为4,5,6. ………………………………………… 5分 图1‎ ‎15. 证明:(1)如图1.‎ ‎ ∵△DAC和△DBE都是等边三角形,‎ ‎∴DA=DC,DB=DE, …………1分 ‎∠ADC=∠BDE=60º . ‎ ‎ ∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,‎ ‎ 即∠ADB=∠CDE. ……………2分 ‎ 在△DAB和△DCE中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △DAB≌△DCE. ………………………………………… 3 分 ‎ (2)∵△DAB≌△DCE,‎ ‎∴ ∠A=∠DCE=60° . ……………………………………… 4分 ‎∵∠ADC=60°,‎ ‎∴ ∠DCE =∠ADC. ‎ ‎∴DA∥EC. ………………………………………………… 5分 ‎16. 解:原式= ..….….….…. …..…………..……………………2分 ‎=. ………………………………………………………… 3分 ‎ ∵ , ∴ .‎ ‎ ∴ 原式=. ……………………………………………… 5分 ‎17. 解:(1)∵正比例函数的图象经过点A,且点A的横坐标为,‎ ‎ ∴点A的纵坐标为3. …………………………………………… 1分 ‎ ∵反比例函数的图象经过点A(),∴.‎ ‎ ∴. … 2分∴. ………… 3分 ‎(2)点P的坐标为或. ……………………………… 5分 ‎18.解:设原计划每天生产空气净化器台. ……………………………………1分 ‎ 依题意得 . …………………………………… 2分 ‎ 解得. …………………………………………………………… 3分 ‎ 经检验,是原方程的解,并且符合题意. ……………………… 4分 答: 原计划每天生产空气净化器40台. ……………………………………………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分)‎ ‎19.解:(1)如图2.‎ 图2‎ ‎∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,‎ ‎ ∴OA= AC,OB= BD . …………… 1分 ‎ ∵AC︰BD=2︰3,∴OA︰OB=2︰3 .‎ 设OA=2x (x >0),则OB=3x. ∵AC⊥AB,‎ ‎∴∠BAC =90°.‎ 在Rt△OAB中,OA2+AB2=OB2. ……………… 2分 ‎∵AB=2,‎ ‎∴(2x)2+22=(3x)2 .‎ 解得x=±(舍负).‎ ‎∴AC=2OA= . …………………………………………………… 3分 ‎(2)∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,‎ ‎∴OB=OD.‎ ‎∴S△AOD= S△AOB= AO·AB = ××2= . ……………………… 5分 图3‎ ‎20.(1)证明:连接OD . (如图3)‎ ‎ ∵OC=OD,‎ ‎∴∠OCD=∠ODC. ‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠ACB=∠B.‎ ‎∴∠ODC=∠B.‎ ‎∴OD∥AB. …………………………………………………………… 1分 ‎∴∠ODF=∠AEF.‎ ‎ ∵EF⊥AB,‎ ‎ ∴∠ODF =∠AEF =90°.‎ ‎∴OD⊥EF .‎ ‎ ∵OD为⊙O的半径,‎ ‎ ∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分 ‎ (2)解:由(1)知:OD∥AB,OD⊥EF .‎ 在Rt△AEF中,sin∠CFD = = ,AE=6.‎ ‎∴AF=10. ………………………………………………………………3分 ‎∵OD∥AB,∴△ODF∽△AEF.∴.‎ 设⊙O的半径为r,∴ = .‎ 解得r= . …………………… 4分 图4‎ ‎∴AB= AC=2r = . ∴EB=AB-AE= -6= . ………… 5 分 ‎ 21.解:(1)17%; ……………………………2分 ‎ (2)所补数据为21.7; ……………………3分 ‎ 补全统计图如图4; ………………… 4分 图5‎ ‎(3)2015. ………………………… 5分 ‎22.解:(1)①如图5; ………………………… 1分 ‎ ②点D的坐标为; ………………… 3分 ‎(2)点P的坐标为. ……………… 5分 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)‎ ‎23.(1)证明:∵, …………………………………1分 ‎ 而, ∴,即. ‎ ‎ ∴无论为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 ‎(2)解:∵当时,,‎ ‎ ∴. ∴,即.‎ ‎∵,∴. ………………… 3分 ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎∴抛物线的顶点为.∴抛物线的顶点为.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………4分 ‎(3)解:∵点A(,)和B(,)都在抛物线上,‎ ‎∴,且. ∴.‎ ‎ ∴ ∴.‎ ‎ ∵A、B两点不重合,即,∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………………………… 5分 ‎∵,,∴‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 . ………7分 ‎24.解:(1)=,△PMN周长的最小值为 3 ; ………………………2分 图6‎ ‎ (2)分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折,点P的对称点分别是点D、E、F,连接DE、DF,(如图6)‎ ‎ 则△PAB≌△DAB,△PCB≌△ECB,△PAC≌△FAC.‎ ‎ ∴AD=AP=AF, BD=BP=BE,CE=CP=CF.‎ ‎ ∵由(1)知∠ABC=30°,∠BAC=60°,∠ACB=90°,‎ ‎ ∴∠DBE=2∠ABC=60°,∠DAF=2∠BAC=120°,‎ ‎ ∠FCE=2∠ACB=180°.‎ ‎ ∴△DBE是等边三角形,点F、C、E共线.‎ ‎ ∴DE=BD=BP=,EF=CE+CF=2CP=2.‎ ‎ ∵△ADF中,AD=AF=,∠DAF=120°,‎ ‎ ∴∠ADF=∠AFD=30°.‎ ‎∴DF=AD =.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分 ‎ ∵,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………………5分 ‎ (3)∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分 ‎ 说明:作BM⊥DE于M,AN⊥DF于N.(如图7)‎ ‎ 由(2)知∠DBE=,∠DAF=.‎ 图7‎ ‎ ∵BD=BE=,AD=AF=,‎ ‎ ∴∠DBM=,∠DAN=.‎ ‎ ∴∠1=,∠3=.‎ ‎ ∴DM =,DN=.‎ ‎ ∴DE=DF=EF.‎ ‎ ∴∠2=60°.‎ ‎ ∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.‎ ‎25.解:(1)∵直线l:经过点B(0,),‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴直线l的解析式为. ‎ ‎ ∵直线l:经过点C(4,n),‎ ‎∴. ………………………………………………1分 ‎ ∵抛物线经过点C(4,2)和点B(0,),‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为. …………………………2分 图8‎ ‎ (2)∵直线l:与x轴交于点A,‎ ‎ ∴点A的坐标为(,0). ∴OA=.‎ 在Rt△OAB中,OB=1,‎ ‎ ∴AB==. ‎ ‎ ∵DE∥轴,∴∠OBA=∠FED ∵矩形DFEG中,∠DFE=90°,‎ ‎ ∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE.‎ ‎ ∴∴,‎ ‎ . …………………………………………4分 ‎ ∴=2(FD+ FE)=. ‎ ‎ ∵D(,),E(,),且,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. …………………………… 5分 ‎ ∵,且,‎ ‎ ∴当时,有最大值. …………………………………… 6分 ‎ (3)点A1的横坐标为或. ……………………………………………8分 ‎ 说明:两种情况参看图9和图10,其中O1B1与轴平行,O1A1与轴平行.‎ 图9‎ 图10‎ B ‎1‎ O ‎1‎ A ‎1‎ l C A B O x y y x O B A C l A ‎1‎ O ‎1‎ B ‎1‎ ‎ ‎
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