荆州市2015年中考数学卷

荆州市2015年中考数学卷

‎ 湖北省荆州市2015年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）‎ ‎1．﹣2的相反数是（　　）‎ A． 2 B． ﹣2 C． D． ‎ 考点： 相反数．‎ 分析： 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．‎ 解答： 解：﹣2的相反数是2，‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．‎ ‎2．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（　　）‎ A． 70° B． 80° C． 110° D． 120°‎ 考点： 平行线的性质．‎ 分析： 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案．‎ 解答： 解：‎ ‎∵直线l1∥l2，∠1=70°，‎ ‎∴∠3=∠1=70°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=110°，‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出∠3的度数，注意：两直线平行，同位角相等．‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A． =±2 B． x2•x3=x6 C． += D． （x2）3=x6‎ 考点： 幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法．‎ 分析： 根据算术平方根的定义对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行运算；根据同类二次根式的定义对C进行判断；根据幂的乘方对D进行运算．‎ 解答： 解：A.=2，所以A错误；‎ B．x2•x3=x5，所以B错误；‎ C.+不是同类二次根式，不能合并；‎ D．（x2）3=x6，所以D正确．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查实数的综合运算能力，综合运用各种运算法则是解答此题的关键．‎ ‎4．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）‎ A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6‎ 考点： 二次函数图象与几何变换．‎ 分析： 根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．‎ 解答： 解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．‎ 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．‎ ‎5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　）‎ A． 55° B． 60° C． 65° D． 70°‎ 考点： 圆周角定理．‎ 分析： 连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．‎ 解答： 解：连接OB，‎ ‎∵∠ACB=25°，‎ ‎∴∠AOB=2×25°=50°，‎ 由OA=OB，‎ ‎∴∠BAO=∠ABO，‎ ‎∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．‎ ‎6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）‎ A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =‎ 考点： 相似三角形的判定．‎ 分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．‎ 解答： 解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．‎ ‎7．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（　　）‎ A． m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1‎ 考点： 分式方程的解．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．‎ 解答： 解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，‎ 解得：x=，‎ 由题意得：≥0且≠1，‎ 解得：m≥﹣1且m≠1，‎ 故选D 点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．‎ ‎8．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 剪纸问题．‎ 分析： 根据题意直接动手操作得出即可．‎ 解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．‎ ‎9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）‎ A． B． C．D．‎ 考点： 动点问题的函数图象．‎ 分析： 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．‎ 解答： 解：由题意可得BQ=x．‎ ‎①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，‎ 则△BPQ的面积=BP•BQ，‎ 解y=•3x•x=x2；故A选项错误；‎ ‎②1＜x≤2时，P点在CD边上，‎ 则△BPQ的面积=BQ•BC，‎ 解y=•x•3=x；故B选项错误；‎ ‎③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，‎ 则△BPQ的面积=AP•BQ，‎ 解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．‎ ‎10．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（　　）‎ A． （31，50） B． （32，47） C． （33，46） D． （34，42）‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．‎ 解答： 解：2015是第=1008个数，‎ 设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，‎ 即≥1008，‎ 解得：n≥，‎ 当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；‎ 当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；‎ 故第1008个数在第32组，‎ 第1024个数为：2×1024﹣1=2047，‎ 第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，‎ 则2015是（+1）=47个数．‎ 故A2015=（32，47）．‎ 故选B．‎ 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．计算：﹣2﹣1+﹣|﹣2|+（﹣）0=　3　．‎ 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．‎ 解答： 解：原式=3﹣+2﹣2+1=3，‎ 故答案为：3‎ 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎12．分解因式：ab2﹣ac2=　a（b+c）（b﹣c）　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式提取a，再利用平方差公式分解即可．‎ 解答： 解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），‎ 故答案为：a（b+c）（b﹣c）‎ 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎13．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　16　cm．‎ 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．‎ 分析： 首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．‎ 解答： 解：∵DE是AB的垂直平分线，‎ ‎∴AE=BE；‎ ‎∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，‎ ‎∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，‎ ‎∴AB=40﹣24=16（cm）．‎ 故答案为：16．‎ 点评： （1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．‎ ‎（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．‎ ‎14．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．‎ 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，‎ ‎∴m+n=﹣1，m2+m=1，‎ 则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，‎ 故答案为：0‎ 点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．‎ ‎15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　137　米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．‎ 解答： 解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，‎ 设AD=xm，‎ 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，‎ ‎∴CD=AD=x，‎ ‎∴BD=BC+CD=x+100，‎ 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，‎ ‎∴x=（x+100），‎ ‎∴x=50（+1）≈137，‎ 即山高AD为137米．‎ 故答案为137．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′‎ 点的坐标为　（，）　．‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．‎ 分析： 作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△AB′E，求出B′E和OE．‎ 解答： 解：作B′E⊥x轴，‎ 易证AD=CD，‎ 设OD=x，AD=5﹣x，‎ 在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2，‎ 解得：x=2.1，‎ ‎∴AD=2.9，‎ ‎∵OD∥B′E，‎ ‎∴△ADO∽△AB′E，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：B′E=，‎ AE=，‎ ‎∴OE=﹣2=．‎ ‎∴B′（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ 点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键．‎ ‎17．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为　36﹣12　cm2．‎ 考点： 展开图折叠成几何体．‎ 分析： 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个六边形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．‎ 解答： 解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，‎ ‎∴这个正六边形的底面边长为1，高为，‎ ‎∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形，‎ ‎∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12．‎ 故答案为：36﹣12．‎ 点评： 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用．此题难度不大，注意动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键．‎ ‎18．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　﹣　．‎ 考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．‎ 解答： 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，‎ ‎∵⊙P与边AB，AO都相切，‎ ‎∴PD=PE=r，AD=AE，‎ 在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，‎ ‎∴OB==6，‎ ‎∵AC=2，‎ ‎∴OC=6，‎ ‎∴△OBC为等腰直角三角形，‎ ‎∴△PCD为等腰直角三角形，‎ ‎∴PD=CD=r，‎ ‎∴AE=AD=2+r，‎ ‎∵∠CAH=∠BAO，‎ ‎∴△ACH∽△ABO，‎ ‎∴=，即=，解得CH=，‎ ‎∴AH===，‎ ‎∴BH=10﹣=，‎ ‎∵PE∥CH，‎ ‎∴△BEP∽△BHC，‎ ‎∴=，即=，解得r=，‎ ‎∴OD=OC﹣CD=6﹣=，‎ ‎∴P（，﹣），‎ ‎∴k=×（﹣）=﹣．‎ 故答案为﹣．‎ 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分）‎ ‎19．（7分）解方程组：．‎ 考点： 解二元一次方程组．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．‎ 解答： 解：②×3﹣①得：11y=22，即y=2，‎ 把y=2代入②得：x=1，‎ 则方程组的解为．‎ 点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎20．（8分）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：‎ ‎（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；‎ ‎（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．‎ 考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．‎ 分析： （1）根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角；根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形．‎ ‎（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．‎ 解答： 解：（1）总人数=5÷25%=20，‎ ‎∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为：×100%=15%，‎ 扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°．‎ 由题意得：B等级的人数=20×40%=8（人），A等级的人数=20×20%=4．‎ ‎（2）根据题意画出树状图如下：‎ 一共有12种情况，恰好是1位男同学和1位女同学有7种情况，‎ 所以，P（恰好是1位男同学和1位女同学）=．‎ 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．‎ ‎（1）求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求△OCD的面积．‎ 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 分析： （1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；‎ ‎（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．‎ 解答： 解：（1）∵OB=4，OE=2，‎ ‎∴BE=2+4=6．‎ ‎∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===．‎ ‎∴OA=2，CE=3．‎ ‎∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，则，‎ 解得．‎ 故直线AB的解析式为y=﹣x+2．‎ 设反比例函数的解析式为y=（m≠0），‎ 将点C的坐标代入，得3=，‎ ‎∴m=﹣6．‎ ‎∴该反比例函数的解析式为y=﹣．‎ ‎（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，‎ 可得交点D的坐标为（6，﹣1），‎ 则△BOD的面积=4×1÷2=2，‎ ‎△BOD的面积=4×3÷2=6，‎ 故△OCD的面积为2+6=8．‎ 点评： 本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．‎ ‎22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．‎ ‎（1）证明：PC=PE；‎ ‎（2）求∠CPE的度数；‎ ‎（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．‎ 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．‎ 分析： （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；‎ ‎（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；‎ ‎（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．‎ 解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，‎ ‎∠ABP=∠CBP=45°，‎ 在△ABP和△CBP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△CBP（SAS），‎ ‎∴PA=PC，‎ ‎∵PA=PE，‎ ‎∴PC=PE；‎ ‎（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，‎ ‎∴∠BAP=∠BCP，‎ ‎∴∠DAP=∠DCP，‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴∠DAP=∠E，‎ ‎∴∠DCP=∠E，‎ ‎∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，‎ 即∠CPF=∠EDF=90°；‎ ‎（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，‎ 在△ABP和△CBP中，‎ ‎∴△ABP≌△CBP（SAS），‎ ‎∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，‎ ‎∵PA=PE，‎ ‎∴PC=PE，‎ ‎∴∠DAP=∠DCP，‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴∠DAP=∠E，‎ ‎∴∠DCP=∠E ‎∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），‎ ‎∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，‎ 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴△EPC是等边三角形，‎ ‎∴PC=CE，‎ ‎∴AP=CE；‎ 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．‎ ‎23．（10分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：‎ 鲢鱼 草鱼 青鱼 每辆汽车载鱼量（吨）‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 每吨鱼获利（万元）‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．‎ 考点： 一次函数的应用．‎ 分析： （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；‎ ‎（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x的范围，设此次销售所获利润为w元，‎ w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性质即可解答．‎ 解答： 解：（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由题意，得 ‎8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，‎ ‎∴y=﹣3x+20．‎ 答：y与x的函数关系式为y=﹣3x+20；‎ ‎（2），根据题意，得 ‎∴，‎ 解得：2≤x≤6，‎ 设此次销售所获利润为w元，‎ w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36‎ ‎∵k=﹣1.4＜0，‎ ‎∴w随x的增大而减小．‎ ‎∴当x=2时，w取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）．‎ ‎∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．‎ 点评： 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键．‎ ‎24．（12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．‎ ‎（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；‎ ‎（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；‎ ‎（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．‎ 考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．‎ 分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；‎ ‎（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．‎ ‎（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．‎ 解答： （1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，‎ ‎②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，‎ ‎∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；‎ ‎（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，‎ 解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，‎ ‎∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，‎ ‎∴k=1．‎ ‎∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，‎ ‎．‎ 由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．‎ ‎（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，‎ 则，‎ 解得或．‎ 所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．‎ 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．‎ ‎25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：ED是⊙P的切线；‎ ‎（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；‎ ‎（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）先确定B（﹣4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交点式求抛物线的解析式；‎ ‎（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算=，加上∠DAE=∠DCB，则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线 ‎（3）由△AED∽△COD，根据相似比计算出DE=3，由于∠CDE=90°，DE＞DC，再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上；‎ ‎（4）利用配方得到y=﹣（x+1）2+，则M（﹣1，），且B（﹣4，0），D（0，2），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．‎ 解答： 解：（1）∵C（2，0），BC=6，‎ ‎∴B（﹣4，0），‎ 在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，‎ ‎∴OD=2tan60°=2，‎ ‎∴D（0，2），‎ 设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），‎ 把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，‎ ‎∵AE=3BE，‎ ‎∴AE=3，‎ ‎∴=，==，‎ ‎∴=，‎ 而∠DAE=∠DCB，‎ ‎∴△AED∽△COD，‎ ‎∴∠ADE=∠CDO，‎ 而∠ADE+∠ODE=90°‎ ‎∴∠CDO+∠ODE=90°，‎ ‎∴CD⊥DE，‎ ‎∵∠DOC=90°，‎ ‎∴CD为⊙P的直径，‎ ‎∴ED是⊙P的切线；‎ ‎（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下：‎ ‎∵△AED∽△COD，‎ ‎∴=，即=，解得DE=3，‎ ‎∵∠CDE=90°，DE＞DC，‎ ‎∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，‎ 而点C、D在抛物线上，‎ ‎∴点E′不能在抛物线上；‎ ‎（4）存在．‎ ‎∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+‎ ‎∴M（﹣1，），‎ 而B（﹣4，0），D（0，2），‎ 如图2，‎ 当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（﹣5，）；‎ 当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；‎ 当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（﹣3，﹣），‎ 综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．‎ 点评： 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线