- 2021-05-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 30页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
河南中考数学试卷及答案
2018年河南省中考数学试卷 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分) 1.(3.00分)﹣的相反数是( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 2.(3.00分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为( ) A.2.147×102 B.0.2147×103 C.2.147×1010 D.0.2147×1011 3.(3.00分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.厉 B.害 C.了 D.我 4.(3.00分)下列运算正确的是( ) A.(﹣x2)3=﹣x5 B.x2+x3=x5 C.x3•x4=x7 D.2x3﹣x3=1 5.(3.00分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是( ) A.中位数是12.7% B.众数是15.3% C.平均数是15.98% D.方差是0 6.(3.00分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为( ) A. B. C. D. 7.(3.00分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0 8.(3.00分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是( ) A. B. C. D. 9.(3.00分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为( ) A.(﹣1,2) B.(,2) C.(3﹣,2) D.(﹣2,2) 10.(3.00分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( ) A. B.2 C. D.2 二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上) 11.(3.00分)计算:|﹣5|﹣= . 12.(3.00分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为 . 13.(3.00分)不等式组的最小整数解是 . 14.(3.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为 . 15.(3.00分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为 . 三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题) 16.(8.00分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1. 17.(9.00分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图. 治理杨絮一一您选哪一项?(单选) A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量 B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树 C.选育无絮杨品种,并推广种植 D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮 E.其他 根据以上统计图,解答下列问题: (1)本次接受调查的市民共有 人; (2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是 ; (3)请补全条形统计图; (4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数. 18.(9.00分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: ①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; ②矩形的面积等于k的值. 19.(9.00分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空: ①当∠D的度数为 时,四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为 时,四边形ECOG为正方形. 20.(9.00分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850) 21.(10.00分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表: 销售单价x(元) 85 95 105 115 日销售量y(个) 175 125 75 m 日销售利润w(元) 875 1875 1875 875 (注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价)) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空: 该产品的成本单价是 元,当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元; (3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 22.(10.00分)(1)问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空: ①的值为 ; ②∠AMB的度数为 . (2)类比探究 如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠ OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长. 23.(11.00分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 2018年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分) 1.(3.00分)﹣的相反数是( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【解答】解:﹣的相反数是:. 故选:B. 2.(3.00分)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为( ) A.2.147×102 B.0.2147×103 C.2.147×1010 D.0.2147×1011 【解答】解:214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010, 故选:C. 3.(3.00分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是( ) A.厉 B.害 C.了 D.我 【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, “的”与“害”是相对面, “了”与“厉”是相对面, “我”与“国”是相对面. 故选:D. 4.(3.00分)下列运算正确的是( ) A.(﹣x2)3=﹣x5 B.x2+x3=x5 C.x3•x4=x7 D.2x3﹣x3=1 【解答】解:A、(﹣x2)3=﹣x6,此选项错误; B、x2、x3不是同类项,不能合并,此选项错误; C、x3•x4=x7,此选项正确; D、2x3﹣x3=x3,此选项错误; 故选:C. 5.(3.00分)河南省旅游资源丰富,2013~2017年旅游收入不断增长,同比增速分别为:15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.关于这组数据,下列说法正确的是( ) A.中位数是12.7% B.众数是15.3% C.平均数是15.98% D.方差是0 【解答】解:A、按大小顺序排序为:12.7%,14.5%,15.3%,15.3%,17.1%, 故中位数是:15.3%,故此选项错误; B、众数是15.3%,正确; C、(15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%) =14.98%,故选项C错误; D、∵5个数据不完全相同, ∴方差不可能为零,故此选项错误. 故选:B. 6.(3.00分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为( ) A. B. C. D. 【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y线,根据题意,可列方程组为:. 故选:A. 7.(3.00分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x﹣1)2+1=0 【解答】解:A、x2+6x+9=0 △=62﹣4×9=36﹣36=0, 方程有两个相等实数根; B、x2=x x2﹣x=0 △=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0 两个不相等实数根; C、x2+3=2x x2﹣2x+3=0 △=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0, 方程无实根; D、(x﹣1)2+1=0 (x﹣1)2=﹣1, 则方程无实根; 故选:B. 8.(3.00分)现有4张卡片,其中3张卡片正面上的图案是“”,1张卡片正面上的图案是“ ”,它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是( ) A. B. C. D. 【解答】解:令3张用A1,A2,A3,表示,用B表示, 可得: , 一共有12种可能,两张卡片正面图案相同的有6种, 故从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是:. 故选:D. 9.(3.00分)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为( ) A.(﹣1,2) B.(,2) C.(3﹣,2) D.(﹣2,2) 【解答】解:∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2), ∴AH=1,HO=2, ∴Rt△AOH中,AO=, 由题可得,OF平分∠AOB, ∴∠AOG=∠EOG, 又∵AG∥OE, ∴∠AGO=∠EOG, ∴∠AGO=∠AOG, ∴AG=AO=, ∴HG=﹣1, ∴G(﹣1,2), 故选:A. 10.(3.00分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( ) A. B.2 C. D.2 【解答】解:过点D作DE⊥BC于点E 由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2. ∴AD=a ∴ ∴DE=2 当点F从D到B时,用s ∴BD= Rt△DBE中, BE= ∵ABCD是菱形 ∴EC=a﹣1,DC=a Rt△DEC中, a2=22+(a﹣1)2 解得a= 故选:C. 二、细心填一填(本大题共5小题,每小题3分,满分15分,请把答案填在答題卷相应题号的横线上) 11.(3.00分)计算:|﹣5|﹣= 2 . 【解答】解:原式=5﹣3 =2. 故答案为:2. 12.(3.00分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为 140° . 【解答】解:∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O, ∴∠EOB=90°, ∵∠EOD=50°, ∴∠BOD=40°, 则∠BOC的度数为:180°﹣40°=140°. 故答案为:140°. 13.(3.00分)不等式组的最小整数解是 ﹣2 . 【解答】解: ∵解不等式①得:x>﹣3, 解不等式②得:x≤1, ∴不等式组的解集为﹣3<x≤1, ∴不等式组的最小整数解是﹣2, 故答案为:﹣2. 14.(3.00分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为 π . 【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C',此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB, ∴∠ACA′=∠BCA′=45°, ∴∠BCB′=135°, ∴S阴==π. 15.(3.00分)如图,∠ MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为 4或4 . 【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况: ①当∠A'EF=90°时,如图1, ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称, ∴A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB, ∵点D,E分别为AC,BC的中点, ∴D、E是△ABC的中位线, ∴DE∥AB, ∴∠CDE=∠MAN=90°, ∴∠CDE=∠A'EF, ∴AC∥A'E, ∴∠ACB=∠A'EC, ∴∠A'CB=∠A'EC, ∴A'C=A'E=4, Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点, ∴BC=2A'B=8, 由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2, ∴AB==4; ②当∠A'FE=90°时,如图2, ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°, ∴∠ABF=90°, ∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称, ∴∠ABC=∠CBA'=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴AB=AC=4; 综上所述,AB的长为4或4; 故答案为:4或4; 三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题) 16.(8.00分)先化简,再求值:(﹣1)÷,其中x=+1. 【解答】解:当x=+1时, 原式=• =1﹣x =﹣ 17.(9.00分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示),并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图. 治理杨絮一一您选哪一项?(单选) A.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量 B.调整树种结构,逐渐更换现有杨树 C.选育无絮杨品种,并推广种植 D.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮 E.其他 根据以上统计图,解答下列问题: (1)本次接受调查的市民共有 2000 人; (2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是 28.8° ; (3)请补全条形统计图; (4)若该市约有90万人,请估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数. 【解答】解:(1)本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人, 故答案为:2000; (2)扇形统计图中,扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°, 故答案为:28.8°; (3)D选项的人数为2000×25%=500, 补全条形图如下: (4)估计赞同“选育无絮杨品种,并推广种植”的人数为70×40%=28(万人). 18.(9.00分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: ①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; ②矩形的面积等于k的值. 【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过格点P(2,2), ∴k=2×2=4, ∴反比例函数的解析式为y=; (2)如图所示: 矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形. 19.(9.00分)如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空: ①当∠D的度数为 30° 时,四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为 22.5° 时,四边形ECOG为正方形. 【解答】(1)证明:连接OC,如图, ∵CE为切线, ∴OC⊥CE, ∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°, ∵DO⊥AB, ∴∠3+∠B=90°, 而∠2=∠3, ∴∠2+∠B=90°, 而OB=OC, ∴∠4=∠B, ∴∠1=∠2, ∴CE=FE; (2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°, 而AB为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠B=30°, ∴∠3=∠2=60°, 而CE=FE, ∴△CEF为等边三角形, ∴CE=CF=EF, 同理可得∠GFE=60°, 利用对称得FG=FC, ∵FG=EF, ∴△FEG为等边三角形, ∴EG=FG, ∴EF=FG=GE=CE, ∴四边形ECFG为菱形; ②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°, 而OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC=67.5°, ∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°, ∴∠AOC=45°, ∴∠COE=45°, 利用对称得∠EOG=45°, ∴∠COG=90°, 易得△OEC≌△OEG, ∴∠OEG=∠OCE=90°, ∴四边形ECOG为矩形, 而OC=OG, ∴四边形ECOG为正方形. 故答案为30°,22.5°. 20.(9.00分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850) 【解答】解:在Rt△ACE中, ∵tan∠CAE=, ∴AE==≈≈21(cm) 在Rt△DBF中, ∵tan∠DBF=, ∴BF==≈=40(cm) ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm) ∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF ∴四边形CEFH是矩形, ∴CH=EF=151cm 答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm. 21.(10.00分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表: 销售单价x(元) 85 95 105 115 日销售量y(个) 175 125 75 m 日销售利润w(元) 875 1875 1875 875 (注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价)) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空: 该产品的成本单价是 80 元,当销售单价x= 100 元时,日销售利润w最大,最大值是 2000 元; (3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b, ,得, 即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600, 当x=115时,y=﹣5×115+600=25, 即m的值是25; (2)设成本为a元/个, 当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80, w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000, ∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000, 故答案为:80,100,2000; (3)设科技创新后成本为b元, 当x=90时, (﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750, 解得,b≤65, 答:该产品的成本单价应不超过65元. 22.(10.00分)(1)问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空: ①的值为 1 ; ②∠AMB的度数为 40° . (2)类比探究 如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由; (3)拓展延伸 在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长. 【解答】解:(1)问题发现 ①如图1,∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB, ∵OC=OD,OA=OB, ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD, ∴=1, ②∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO, ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°, 在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣140°=40°, 故答案为:①1;②40°; (2)类比探究 如图2,=,∠AMB=90°,理由是: Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴, 同理得:, ∴, ∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=∠BOD, ∴△AOC∽△BOD, ∴=,∠CAO=∠DBO, 在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠ABM)=180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°; (3)拓展延伸 ①点C与点M重合时,如图3,同理得:△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,, 设BD=x,则AC=x, Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1, ∴CD=2,BC=x﹣2, Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=, ∴AB=2OB=2, 在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2, , x2﹣x﹣6=0, (x﹣3)(x+2)=0, x1=3,x2=﹣2, ∴AC=3; ②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,, 设BD=x,则AC=x, 在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2, +(x+2)2= x2+x﹣6=0, (x+3)(x﹣2)=0, x1=﹣3,x2=2, ∴AC=2; 综上所述,AC的长为3或2. 23.(11.00分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5), 当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0), 把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得,解得, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5; (2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0), ∵B(5,0),C(0,﹣5), ∴△OCB为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM⊥BC, ∴△AMB为等腰直角三角形, ∴AM=AB=×4=2, ∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ, ∴PQ=AM=2,PQ⊥BC, 作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°, ∴PD=PQ=×2=4, 设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5), 当P点在直线BC上方时, PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4, 当P点在直线BC下方时, PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=,m2=, 综上所述,P点的横坐标为4或或; ②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2, ∵M1A=M1C, ∴∠ACM1=∠CAM1, ∴∠AM1B=2∠ACB, ∵△ANB为等腰直角三角形, ∴AH=BH=NH=2, ∴N(3,﹣2), 易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣), 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b, 把E(,﹣)代入得﹣+b=﹣,解得b=﹣, ∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣, 解方程组得,则M1(,﹣); 作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB, 设M2(x,x﹣5), ∵3=, ∴x=, ∴M2(,﹣), 综上所述,点M的坐标为(,﹣)或(,﹣). 查看更多