初三数学中考复习专题 平行线与三角形

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初三数学中考复习专题 平行线与三角形

平行线与三角形复习材料 ‎ 2006.3‎ 一、相关知识点复习:‎ ‎(一)平行线 1. 定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.‎ 2. 判定:‎ (1) 同位角相等,两直线平行.‎ (2) 内错角相等,两直线平行.‎ (3) 同旁内角相等,两直线平行.‎ (4) 垂直于同一直线的两直线平行.‎ 3. 性质:‎ (1) 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.‎ (2) 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行.‎ (3) 两直线平行,同位角相等.‎ (4) 两直线平行,内错角相等.‎ (5) 两直线平行,同旁内角互补.‎ ‎(二)三角形 4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系:‎ 三个内角的和等于180°;‎ 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和,并且大于任何—个和它不相邻的内角.‎ (2) 边与边的关系:‎ 三角形中任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边.‎ (3) 边与角的大小对应关系:‎ 在一个三角形中,等边对等角;等角对等边.‎ (4) 三角形的主要线段的性质(见下表):‎ 名称 基本性质 角平分线 ① 三角形三条内角平分线相交于一点(内心);内心到三角形三边距离相等;‎ ② 角平分线上任一点到角的两边距离相等.‎ 中线 三角形的三条中线相交于一点.‎ 高 三角形的三条高相交于一点.‎ 边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心);‎ 外心到三角形三个顶点的距离相等.‎ 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.‎ 1. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质:‎ ‎①等腰三角形的两个底角相等;‎ ‎②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段,这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴.‎ (2) 等边三角形的特殊性质:‎ ‎①等边三角形每个内角都等于60°;‎ ‎②等边三角形外心、内心合一.‎ (3) 直角三角形的特殊性质:‎ ‎①直角三角形的两个锐角互为余角;‎ ‎②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;‎ ① 勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 ‎(其逆命题也成立);‎ ② 直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半;‎ ‎⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.‎ 2. 三角形的面积 (1) 一般三角形:S △ = a h( h 是a边上的高 )‎ (2) 直角三角形:S △ = a b = c h(a、b是直角边,c是斜边,h是斜边上的高)‎ (3) 等边三角形: S △ = a 2( a是边长 )‎ (4) 等底等高的三角形面积相等;等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比;等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比.‎ 3. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法:‎ ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似;‎ ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;‎ ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似.‎ (2) 相似三角形的性质:‎ ① 相似三角形对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;‎ ② 相似三角形的周长比等于相似比;‎ ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ 4. 全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形,全等三角形的对应角相等,对应边相等,其他的对应线段也相等.‎ ‎ 判定两个三角形全等的公理或定理:‎ ‎①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS;‎ ‎②直角三角形还有HL 二、巩固练习:‎ 一、选择题:‎ 1. 如图,若AB∥CD,∠C = 60º,则∠A+∠E=( )‎ A.20º B.30º C.40º D.60º 2. 如图,∠1=∠2,则下列结论一定成立的是( )‎ A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠B=∠D D.∠3=∠4‎ 3. 如图,AD⊥BC,DE∥AB,则∠B和∠1的关系是( )‎ A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4. 如图,下列判断正确的是( )‎ A.∠1和∠5是同位角; B.∠2和∠6是同位角;‎ C.∠3和∠5是内错角; D.∠3和∠6是内错角.‎ 5. 下列命题正确的是(  )‎ A.两直线与第三条直线相交,同位角相等;‎ B.两直线与第三条直线相交,内错角相等;‎ C.两直线平行,内错角相等; ‎ D.两直线平行,同旁内角相等.‎ 6. 如图,若AB∥CD,则( )‎ A.∠1 = ∠4 B.∠3 = ∠5‎ C.∠4 = ∠5 D.∠3 = ∠4‎ 7. 如图, l1∥l2,则α= ( )‎ A.50° B.80°‎ C.85° D.95°‎ 8. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )‎ A.3cm,4cm,8cm B.5cm,6cm,11cm C.5cm,6cm,10cm D.3cm,8cm,12cm 1. 等腰三角形中,一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )‎ ‎ A.150° B.80° C.50°或80° D.70°‎ 2. 如图,点D、E、F是线段BC的四等分点,点A在BC外,‎ 连接AB、AD、AE、AF、AC,若AB = AC,则图中的全等三角形 共有( )对 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ 3. 三角形的三边分别为 a、b、c,下列哪个三角形是直角三角形?( )‎ A. a = 3,b = 2,c = 4 B. a = 15,b = 12,c = 9‎ C. a = 9,b = 8,c = 11 D. a = 7,b = 7,c = 4‎ 4. 如图,△AED ∽ △ABC,AD = 4cm,AE = 3cm,‎ AC = 8cm,那么这两个三角形的相似比是( )‎ A. B. C. D.2‎ 5. 下列结论中,不正确的是( )‎ A.有一个锐角相等的两个直角三角形相似;‎ B.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似;‎ C.各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似;‎ D.各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似.‎ 二、填空题:‎ 6. 如图,直线a∥b,若∠1 = 50°,‎ 则∠2 = ___________.‎ 7. 如图,AB∥CD,∠1 = 40°,‎ 则∠2 = _________.‎ 8. 如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,‎ 若∠ADE = 80°,则∠1 = _________.‎ 1. 如图, l1∥l2,∠1 = 105°,∠2 = 140°,‎ 则∠α = _____________.‎ 2. ‎△ABC中,BC = 12cm,BC边上的高 AD = 6cm,则△ABC的面积为____________.‎ 3. 如果一个三角形的三边长分别为x,2,3,‎ 那么x的取值范围是_____________.‎ 4. 在△ABC中,AB = AC,∠A = 80°,则∠B = ______,∠C = ______.‎ 5. 在△ABC中,∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 4cm,则AB = ___________.‎ 6. 已知直角三角形两直角边分别为6和8,则斜边上的中线长是___________.‎ 7. 等腰直角三角形的斜边为2,则它的面积是______________.‎ 8. 在Rt△ABC中,其中两条边的长分别是3和4,则这个三角形的面积等于_________.‎ 9. 已知等腰三角形的一边长为6,另一边长为10,则它的周长为_____________.‎ 10. 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,则它的顶角度数为_______________.‎ 11. 如图,A、B两点位于一个池塘的两端,冬冬想用绳子 测量A、B两点间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他 想了一个办法:先在地上取一个可以直接到达A、B的 点C,找到AC,BC的中点D、E,并且测得DE的长 为15m,则A、B两点间的距离为__________.‎ 12. 如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,‎ ‎∠B=∠E.要使△ABC≌△DEF,需要补充的 是一个条件:_____________________________.‎ 1. 太阳光下,某建筑物在地面上的影长为36m,同时 量得高为1.2m的测杆影长为2m,那么该建筑物的高为________________.‎ 三、解答题:‎ 2. 如图,已知△ABC中,AB = AC,AE = AF,D是BC的中点 求证: ∠1 = ∠2‎ 3. 如图,已知D是BC的中点,BE⊥AE于E,CF⊥AE于F 求证:BE = CF 4. 如图,CE平分∠ACB且CE⊥BD,∠DAB =∠DBA,AC = 18,△CDB的周长是28.求BD的长.‎ 5. 已知:如图,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC,‎ 求证:AB=AC A E D C B 1. ‎*一条河的两岸有一段是平行的,在河的这一岸每隔5m有一棵树,在河的对岸每隔50m有一根电线杆,在此岸离岸边25m处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且这两棵树之间还有三棵树.‎ (1) 根据题意,画出示意图;‎ (2) 求河宽.‎ 练习答案:‎ 一、选择题 ‎1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C ‎9、C 10、C 11、B 12、B 13、B 二、填空题 ‎14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm2‎ ‎19、1<x<5 20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、1‎ ‎24、6或 25、22或26 26、120° 27、30m ‎28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m 三、证明题 ‎30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2‎ ‎31、△BED≌△CFD→BE=CF ‎32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10‎ ‎33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC ‎34、‎ 解:如图,根据题意,有AB∥CD,PM⊥CD于N点,‎ 交AB于M点,且AB=20m,‎ CD=50m, PM=25m,‎ AB∥CD→△PAB∽△PCD→‎ ‎ ‎ ‎→ →PN=62.5→MN=37.5‎
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