- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
2019中考数学压轴题专项训练有答案解析
2019 中考压轴题专项训练 训练目标 1. 熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法； 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。 题型结构及解题方法 压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力 以及对数学模型和套路的调用整合能力。 考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法 问 题 背 景 研究 求坐标或函数 解析式，求角 度或线段长 已知点坐标、解析式或几何 图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图 形。 速度已知，所求关系式和运 动时间相关 ① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段； ② 利用动点路程表达线段长； ③ 设计方案表达关系式。 求面积、周长 的函数关系式， 并求最值 坐标系下，所求关系式和坐 标相关 ① 利用坐标及横平竖直线段长； ② 分类：根据线段表达不同分类； ③ 设计方案表达面积或周长。 模 型 套 路 调用 求线段和（差） 的最值 有定点（线）、不变量或不 变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之 间线段最短、垂线段最短、三角形三边关 系等。 点的存在性 点的存在满足某种关系，如 满足面积比为 9:10 ① 抓定量，找特征； ② 确定分类；. ③ 根据几何特征或函数特征建等式。 特殊三角形、特殊四边形的 存在性 ① 分析动点、定点或不变关系（如平 行）； ② 根据特殊图形的判定、性质，确定分 类；根据几何特征或函数特征建等式。 套 路 整 合 及 分 类 讨 论 图形的存在性 三角形相似、全等的存在性 ① 找定点，分析目标三角形边角关系； ② 根据判定、对应关系确定分类； ③ 根据几何特征建等式求解。 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23 题作答更加注重结论，不同类型的作答要点： 几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程； 面积问题，要突出面积表达的方案和结论； 几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解； 存在性问题，要明确分类，突出总结。 4. 20 分钟内完成。 实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道， 需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶 段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课 程名称： 中考数学难点突破之动点 1、图形运动产生的面积问题 2、存在性问题 3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题） 3、中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、 四边形的存在性、压轴题综合训练） 一、图形运动产生的面积问题 一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态： ①由起点、终点确定t的范围； ②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置． 3. 分段画图，选择适当方法表达面积． 二、精讲精练 1. 已知，等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在△ABC 的边 AB 上，沿 AB 方向以 1 厘 米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 N 到达点 时运动终止），过点 M、N 分别作 边的垂线，与△ABC 的其他边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的时间为 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中， 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积． （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S，运动的时间为 t．求四边形 MNQP 的面积 S 随 运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围． 1 题图 M A B AB t t t A B C M N Q P A B C 2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：y= x 与直线 l2：y=-x+6 相交于点 M，直线 l2 与 x 轴 相交于点 N． （1）求 M，N 的坐标． （2）已知矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位长度 的速度移动．设矩形 ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为 S，移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计 时，到点 A 与点 N 重合时计时结束）．求 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的 取值范围． 1 2 A B CD N M O x yy xO M N D C BAA B CD N M O x yy xO M N D C BA 3.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质， 如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重 心的概念完成如下问题： （1）若 O 是△ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： ； （2）若 AD 是△ABC 的一条中线（如图 2），O 是 AD 上一点，且满足 ，试判断 O 是△ABC 的重心吗？ 如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若 O 是△ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如 图 3），S 四边形 BCHG．S△AGH 分别表示四边形 BCHG 和△AGH 的面积，试探究 的最大值。 2 3 AO AD = 2 3 AO AD = BCHG AGH S S 四边形 （图3）（图2）（图1） H A B CD O A B CD OO G D CB A 解：（1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E， ∵点 O 是△ABC 的重心，∴CE 是中线，点 E 是 AB 的中点。 ∴DE 是中位线。∴DE∥AC，且 DE= AC。 ∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。 ∴ 。 ∵AD=AO+OD， ∴ 。 （2）答：点 O 是△ABC 的重心。证明如下： 如答图 2，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q， 则点 Q 为△ABC 的重心。 由（1）可知， ， 而 ， ∴点 Q 与点 O 重合（是同一个点）。 ∴点 O 是△ABC 的重心。 （3）如答图 3 所示，连接 DG． 设 S△GOD=S，由（1）知 ，即 OA=2OD， ∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。 为简便起见，不妨设 AG=1，BG=x，则 S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。 ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。 设 OH=k•OG，由 S△AGO=2S，得 S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。 ∴S 四边形 BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。 ∴ ①。 如答图 3，过点 O 作 OF∥BC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，则 OF∥GE。 ∵OF∥BC，∴ 。∴OF= CD= BC。 ∵GE∥BC，∴ 。∴ 。 ∴ ，∴ 。 ∵OF∥GE，∴ 。∴ ，即 。 ∴ ，代入①式得： 。 ∴当 x= 时， 有最大值，最大值为 。 （1）如答图 1，作出中位线 DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。 （2）如答图 2，作△ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为△ABC 的重心．由（1）可知， ，而 已知 ，故点 O 与点 Q 重合，即点 O 为△ABC 的重心。 （3）如答图 3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出 的表达式，这是一个二 次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： ①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形． ②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解． ③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍． 二、精讲精练 1. 如图，已知点 P 是二次函数 y=-x2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点，将直线 y=-2x 沿 y 轴向上平 移，分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点. 若以 AB 为直角边的△PAB 与△OAB 相似，请求出所有符合条件的 点 P 的坐标． y xOO x y y xO O x y B A y xOO x y A B y xOO x y y xO O x y B A y xOO x y A B y xOO x y y xO O x y B A y xOO x y A B 2. 抛物线 与 y 轴交于点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与 x 轴交于点 C．点 P 在抛物线上， 直线 PQ//BC 交 x 轴于点 Q，连接 BQ． （1）若含 45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一个 顶点 E 在 PQ 上，求直线 BQ 的函数解析式； （2）若含 30°角的直角三角板的一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上（点 D 不与点 Q 重 合），另一个顶点 E 在 PQ 上，求点 P 的坐标． ( )21 1 34y x= − − + CO y BA x x A B y O C Q P ED CO y BA x CO y BA x x A B y O C Q P ED CO y BA x CO y BA x x A B y O C Q P ED CO y BA x 3. 如图，矩形 OBCD 的边 OD、OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上，且 OD＝10， OB＝8．将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 C 恰好与 x 轴上的点 A 重合． （1）若抛物线 经过 A、B 两点，求该抛物线的解析式：______________； （2）若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点，作 MN⊥x 轴于点 N．是否存在点 M，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． cbxxy ++−= 2 3 1 y x A D CB O y x A D CB O 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程： 整合信息时，下面两点可为我们提供便利： ①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注 k、b； ②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息． 二、精讲精练 1. 如图，抛物线 y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知 BC∥x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC． （1）求抛物线的解析式． 关键点坐标 几何特征转 线段长 几何图形函数表达式 D C O y A xB （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请 说明理由． 2. 如图，已知抛物线 y=ax2-2ax-b（a>0）与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，且点 B 的坐标为 (-1，0)，与 y 轴的负半轴交于点 C，顶点为 D．连接 AC、CD，∠ACD=90°． （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上， 且以 B、A、F、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标． 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C， 交直线 AB 于点 D，作 PE⊥AB 于点 E．设△PDE 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 关于 x 的函数关 系式，并求出 l 的最大值． F 3 3 4 2y x= − 21 4y x bx c= − + + B x A y O C y x E P O D C B A 4.如图，点 P 是直线 ： 上的点，过点 P 的另一条直线 交抛物线 于 A、B 两点． （1）若直线 的解析式为 ，求 A、B 两点的坐标； （2）①若点 P 的坐标为（－2， ），当 PA＝AB 时，请直接写出点 A 的坐标； ②试证明：对于直线 上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PA＝AB 成立． （3）设直线 交 轴于点 C，若△AOB 的外心在边 AB 上，且∠BPC＝∠OCP，求点 P 的坐标． l 22 −−= xy m 2xy = m 2 3 2 1 +−= xy t l l y x y 第25（1）题图 O l m P B A x y l O 第25（2）题图 x y C l m P A O B 第25（3）题图 5.如图 1，抛物线 y＝nx2－11nx＋24n (n＜0) 与 x 轴交于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线上另 有一点 A 在第一象限内，且∠BAC＝90°． （1）填空：点 B 的坐标为（_ ），点 C 的坐标为（_ ）； （2）连接 OA，若△OAC 为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图 2，将△OAC 沿 x 轴翻折后得△ODC，点 M 为①中所求的抛物线上点 A 与点 C 两点之间一动 点，且点 M 的横坐标为 m，过动点 M 作垂直于 x 轴的直线 l 与 CD 交于点 N，试探究：当 m 为何值 时，四边形 AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值． CO A y xB CO A y x D B M N l 图 1 图 2 附：参考答案 一、图形运动产生的面积问题 1. （1）当 t= 时，四边形 MNQP 恰为矩形．此时，该矩形的面积为 平方厘米． （2） 当 0＜t≤1 时， ；当 1＜t≤2 时， ； 当 2＜t＜3 时， 3 2 3 3 2 33 + 2S t= 3 3 2S = 7 3- 3 2S t= + 2．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当 0≤t≤1 时， ； 当 1＜t≤4 时， ； 当 4＜t≤5 时， ； 当 5＜t≤6 时， ； 当 6＜t≤7 时， 3.解：（1）证明：如图 1，连结 CO 并延长交 AB 于点 P，连结 PD。 ∵点 O 是△ABC 的重心， ∴P 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，PD 是△ABC 的中位线，AC=2PD， AC // PD， ∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO， △OPD∽△CA， = = , = ,∴ ； （2）点 O 是是△ABC 的重心。 证明：如图 2，作△ABC 的中线 CP，与 AB 边交于点 P，与△ABC 的另一条中线 AD 交于点 Q，则点 Q 是△ABC 的重心，根据（1）中的证明可知 ， 而 ，点 Q 与点 O 重合（是同一个点），所以点 O 是△ABC 的重心； （3）如图 3，连结 CO 交 AB 于 F，连结 BO 交 AC 于 E，过点 O 分别作 AB、AC 的平行线 OM、ON，分别 与 AC、AB 交于点 M、N， ∵点 O 是△ABC 的重心， 2 4 tS = 1-2 4 tS = 23 13 49- -4 2 4S t t= + 13- 2S t= + ( )21 7 -2S t= ∴ = ， = , ∵ 在△ABE 中，OM//AB， = = ，OM = AB， 在△ACF 中，ON//AC， = = ，ON = AC， 在△AGH 中，OM//AH， = ， 在△ACH 中，ON//AH， = ， ∴ + = + =1， + =1, + = 3 , 令 = m , = n , m=3-n, ∵ = , = = = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + , ∴ 当 = n = ，GH//BC 时， 有最大值 。 附： 或 的另外两种证明 方法的作图。 方法一：分别过点 B、C 作 AD 的平行线 BE、CF，分别交 直线 GH 于点 E、F。 方法二：分别过点 B、C、A、D 作直线 GH 的垂线，垂足 分别为 E、F、N、M。 二、二次函数中的存在性问题 1.解：由题意，设 OA=m，则 OB=2m；当∠BAP=90°时， △BAP∽△AOB 或△BAP∽△BOA； ① 若△BAP∽△AOB，如图 1， 可知△PMA∽△AOB，相似比为 2：1；则 P1（5m，2m）， 代入 ，可知 ， ② 若△BAP∽△BOA，如图 2， 可知△PMA∽△AOB，相似比为 1：2；则 P2（2m， ）， 代入 ，可知 ， 当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB 或△ABP∽△BOA； ③ 若△ABP∽△AOB，如图 3， 可知△PMB∽△BOA，相似比为 2：1；则 P3（4m，4m）， 代入 ，可知 ， ④ 若△ABP∽△BOA，如图 4， 可知△PMB∽△BOA，相似比为 1：2；则 P4（m， ）， 代入 ，可知 ， xxy 32 +−= 25 13=m )25 26,5 13(1P 2 m xxy 32 +−= 8 11=m )16 11,4 11(2P xxy 32 +−= 2 1=m )2,2(3P m2 5 xxy 32 +−= 2 1=m 4 1 5( , )2 4P 图2 O A B P M x y 图3 O A B PM x y 图4 O A B PM x y 图1 O A B P M x y 2.解：（1）由抛物线解析式 可得 B 点坐标（1，3）. 要求直线 BQ 的函数解析式，只需求得点 Q 坐标即可，即求 CQ 长度. 过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，过点 D 作 DF⊥QP 于点 F. 则可证△DCG≌△DEF.则 DG=DF，∴矩形 DGQF 为正方形. 则∠DQG=45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q 点坐标为（4，0） 可得 BQ 解析式为 y=－x+4. （2）要求 P 点坐标，只需求得点 Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点 P 坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE=30°时， a）过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，过点 D 作 DK⊥QP 于点 K. 则可证△DCH∽△DEK.则 ， 在矩形 DHQK 中，DK=HQ，则 . 在 Rt△DHQ 中，∠DQC=60°.则在 Rt△BCQ 中， ∴CQ= ，此时，Q 点坐标为（1+ ,0） 则 P 点横坐标为 1+ .代入 可得纵坐标.∴P（1+ , ）. b）又 P、Q 为动点，∴可能 PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点 P 坐标为（1－ , ） ② 当∠DCE=60°时， a) 过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，过点 D 作 DN⊥QP 于点 N. 则可证△DCM∽△DEN.则 ， 在矩形 DMQN 中，DN=MQ，则 . 在 Rt△DMQ 中，∠DQM=30°.则在 Rt△BCQ 中， ∴CQ= BC= ，此时，Q 点坐标为（1+ ，0）,则 P 点横坐标为 1+ .代入 可得纵坐标.∴P（1+ , ）. b）又 P、Q 为动点，∴可能 PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点 P 坐标为（1－ , ） ( )21 1 34y x= − − + 3DH DC DK DE = = 3DH HQ = 3BC CQ = 3 3 3 ( )21 1 34y x= − − + 3 9 4 3 9 4 1 3 DM DC DN DE = = 1 3 DM MQ = 1 3 BC CQ = 3 3 3 3 3 3 3 ( )21 1 34y x= − − + 3 3 15 4 － 3 3 15 4 － G F E BA D C P QO x y H K E BA D C P QO x y y xOQ P C D A B E K H N M E BA D C P Q O x y y xO Q P C D A B E M N 综上所述，P 点坐标为（1+ , ），（1－ , ），（1+ , ）或（1－ , ）. 3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在 Rt△OAB 中，OA=6 ∴ A（6，0） 将 A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得， （2）存在： 如果△AMN 与△ACD 相似，则 或 设 M （0查看更多