2018中考数学分类汇编考点22勾股定理

2018中考数学分类汇编考点22勾股定理

‎2018中考数学试题分类汇编：考点22 勾股定理　‎ 一．选择题（共7小题）‎ ‎1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】直接根据勾股定理求解即可．‎ ‎【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，‎ ‎∴弦为=5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，‎ ‎∵∠ACB=90°，CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，‎ ‎∵AF平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAF=∠FAD，‎ ‎∴∠CFA=∠AED=∠CEF，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，‎ ‎∴FC=FG，‎ ‎∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，‎ ‎∴△BFG∽△BAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴=，‎ ‎∵FC=FG，‎ ‎∴=，‎ 解得：FC=，‎ 即CE的长为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）‎ A．9 B．6 C．4 D．3‎ ‎【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．‎ ‎【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，‎ ‎∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，‎ ‎∴4×ab+（a﹣b）2=25，‎ ‎∴（a﹣b）2=25﹣16=9，‎ ‎∴a﹣b=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（　　）‎ A．20 B．24 C． D．‎ ‎【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．‎ ‎【解答】解：设小正方形的边长为x，‎ ‎∵a=3，b=4，‎ ‎∴AB=3+4=7，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ 即（3+x）2+（x+4）2=72，‎ 整理得，x2+7x﹣12=0，‎ 解得x=或x=（舍去），‎ ‎∴该矩形的面积=（+3）（+4）=24，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．‎ ‎【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，‎ ‎∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ 即AC2+（7+AC）2=132，‎ 整理得，AC2+7AC﹣60=0，‎ 解得AC=5，AC=﹣12（舍去），‎ ‎∴BC==12，‎ ‎∴sinα==，cosα==，‎ ‎∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）‎ A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米 ‎【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．‎ ‎【解答】解：∵52+122=132，‎ ‎∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，‎ ‎∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．‎ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，‎ 所以AC=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎8．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为　（﹣1，0）　．‎ ‎【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．‎ ‎【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，‎ ‎∴AC=AB=5，‎ ‎∴OC=5﹣4=1，‎ ‎∴点C的坐标为（﹣1，0），‎ 故答案为：（﹣1，0），‎ ‎　‎ ‎9．（2018•玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是　2＜AD＜8　．‎ ‎【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；‎ ‎【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．‎ 在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，‎ ‎∴AE=2AB=8，‎ 在Rt△ABF中，AF=AB=2，‎ ‎∴AD的取值范围为2＜AD＜8，‎ 故答案为2＜AD＜8．‎ ‎　‎ ‎10．（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　2或2　．‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①当△ABC是锐角三角形，如图1，‎ ‎②当△ABC是钝角三角形，如图2，‎ 分别根据勾股定理计算AC和BC即可．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①当△ABC是锐角三角形，如图1，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∵CD=，AD=1，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∵AB=2AC，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴BD=4﹣1=3，‎ ‎∴BC===2；‎ ‎②当△ABC是钝角三角形，如图2，‎ 同理得：AC=2，AB=4，‎ ‎∴BC===2；‎ 综上所述，BC的长为2或2．‎ 故答案为：2或2．‎ ‎　‎ ‎11．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=　或　．‎ ‎【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；‎ ‎【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，‎ ‎∵PQ∥AC，‎ ‎∴△BPQ∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴AQ=．‎ ‎②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．‎ ‎∵△BQP∽△BCA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=．‎ 综上所述，满足条件的AQ的值为或．‎ ‎　‎ ‎12．（2018•黔南州）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为　60　．‎ ‎【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，构建方程求出x即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，‎ ‎∵∠BAC=45°，‎ ‎∴AE=EB，‎ ‎∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，‎ ‎∴∠EAF=∠CBE，‎ ‎∴△AEF≌△BEC，‎ ‎∴AF=BC=10，设DF=x．‎ ‎∵△ADC∽△BDF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 整理得x2+10x﹣24=0，‎ 解得x=2或﹣12（舍弃），‎ ‎∴AD=AF+DF=12，‎ ‎∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60．‎ 故答案为60．‎ ‎　‎ ‎13．（2018•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为　　．‎ ‎【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．‎ ‎【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，‎ ‎∴NF=x，AN=4﹣x，‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴AM=BM=1，‎ ‎∵AE=，AB=2，‎ ‎∴BE=1，‎ ‎∴ME==，‎ ‎∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠MAE+∠NAF=45°，‎ ‎∵∠MAE+∠AEM=45°，‎ ‎∴∠MEA=∠NAF，‎ ‎∴△AME∽△FNA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：x=，‎ ‎∴AF==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为　x2+32=（10﹣x）2　．‎ ‎【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设AC=x，‎ ‎∵AC+AB=10，‎ ‎∴AB=10﹣x．‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．‎ 故答案为：x2+32=（10﹣x）2．‎ ‎　‎ ‎15．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）．‎ ‎【分析】‎ 将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，‎ 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．‎ 故答案为20．‎ ‎　‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018•杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．‎ ‎（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．‎ ‎（2）设BC=a，AC=b．‎ ‎①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．‎ ‎②若AD=EC，求的值．‎ ‎【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；‎ ‎（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；‎ ‎②根据勾股定理列出算式，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，‎ ‎∴∠B=62°，‎ ‎∵BD=BC，‎ ‎∴∠BCD=∠BDC=59°，‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；‎ ‎（2）①由勾股定理得，AB==，‎ ‎∴AD=﹣a，‎ 解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，‎ ‎∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；‎ ‎②∵AD=AE，‎ ‎∴AE=EC=，‎ 由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，‎ 整理得， =．‎ ‎　‎ ‎17．（2018•台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：‎ 路径 编号 图例 行径位置 第一条路径 R1‎ ‎_‎ A→C→D→B 第二条路径 R2‎ ‎…‎ A→E→D→F→B 第三条路径 R3‎ ‎▂‎ A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．‎ ‎【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得．‎ ‎【解答】解：第一条路径的长度为++=2+，‎ 第二条路径的长度为++1+=+++1，‎ 第三条路径的长度为+=2+，‎ ‎∵2+＜2+＜+++1，‎ ‎∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．‎ ‎　‎