有关中考数学试题分类汇编相似

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‎（2010哈尔滨）１．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．‎ ‎ （1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；‎ ‎ （2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。‎ ‎（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，‎ 求tan∠ACP的值．‎ ‎（2010珠海）２．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC AB∥CD ‎ ‎ ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°‎ ‎ ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ‎ ∴∠AFD=∠C ‎ ∴△ADF∽△DEC ‎(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC CD=AB=4‎ ‎ 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ‎ 在Rt△ADE中，DE=‎ ‎ ∵△ADF∽△DEC ‎ ∴ ∴ AF=‎ ‎（2010珠海）３。一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下 的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子 恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点 ‎（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3‎ ‎（桂林2010）6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC的面积比为（ B ）．‎ A． 1：2 B． 1：4 ‎ C． 2：1 D． 4：1‎ ‎（2010年兰州）19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.‎ 答案 6‎ ‎（2010宁波市）26．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．‎ ‎（1）求∠DCB的度数；‎ ‎（2）当点F的坐标为（－4，0），求点的坐标；‎ ‎（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．‎ ‎① 如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG≌△DHE；‎ ‎② △若EHG的面积为3，请你直接写出点F的坐标 ‎24. （2010年金华） (本题12分)‎ ‎ 如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ ‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ 若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）‎ B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而，∴,‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 由得 ；………………………………………………………………1分 ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ 即，解得．…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）………………………1分 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分 ‎26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；‎ ‎（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．‎ B A P x C Q O y 第26题图 解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t ‎∴S△OPQ＝（0＜t＜8） …………………3分 ‎(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ ‎＝＝32 ………… 5分 ‎∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 …………6分 ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°‎ ‎ 又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ‎∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7分 ‎∴解得：t＝4 ‎ 经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）‎ 此时P（，0）‎ ‎∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，‎ ‎∴抛物线是，直线BP是： …………………8分 设M（m, ）、N(m，) ‎ ‎∵M在BP上运动 ∴‎ ‎∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P ‎∴当时， ………………………………9分 ‎∴＝ ∴当时，MN有最大值是2‎ ‎∴设MN与BQ交于H 点则、‎ ‎∴S△BHM＝＝‎ ‎∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝＝3:29‎ ‎∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分 ‎（2010年湖南郴州市）13.如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 ．（只要填一个）‎ A B E F D C 第13题 答案或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点 ‎(2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 ‎(1)求证：AC·CD＝PC·BC；‎ ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；‎ ‎(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．‎ 第23题图 答案23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．‎ 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．‎ ‎∴AC·CD＝PC·BC；………………………………………………………………………3分 第23题图 ‎(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．‎ ‎∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．‎ 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．‎ 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝…………………………………7分 ‎(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．‎ ‎∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；‎ 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．………………………………10分 ‎（2010年眉山）25．如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．‎ ‎（1）证明：△ACE∽△FBE；‎ ‎（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．‎ 答案：25．（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，‎ ‎ ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢ ………………（1分）‎ ‎ ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢ ‎ ‎∴∠ACC ¢=∠ABB ¢ ……………………………………（3分）‎ 又∠AEC=∠FEB ‎∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）‎ ‎ （2）解：当时，△ACE≌△FBE． …………………（5分）‎ ‎ 在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，‎ ‎ ∴ ………（6分）‎ ‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎ ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，‎ ‎ ∴∠BCE=．‎ ‎ ∵∠ABC=，‎ ‎ ∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分）‎ ‎ ∴CE=BE ‎ 由（1）知：△ACE∽△FBE，‎ ‎ ∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）‎ ‎12．(10重庆潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为______．3：4‎ ‎1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上. ‎ ‎(1) 求证：△ABD∽△CAE；‎ ‎(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. ‎ 答案：‎ ‎(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ÐDBA = ÐCAE,‎ 又∵ , ∴ △ABD∽△CAE. ‎ ‎(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，‎ ‎(第22题)‎ ‎ ∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ‎ ‎∴ÐD =90°, ‎ 由（1）得 ÐE =ÐD = 90°, ‎ ‎∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，‎ ‎∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 ‎ ‎= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 ,‎ ‎ ∴ BC =a . ‎ ‎（2010陕西省）13、如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ∠ACD=∠B ∠ADC=∠AOB ‎ 第（17）题 D C A F B E G ‎（2010年天津市）（17）如图，等边三角形中，、分别为、边上 的点，，与交于点，于点， ‎ 则的值为 ．‎ ‎（2010山西5．在R t△ABC中，∠C＝90º，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）D A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 A B C ‎（第5题）‎ ‎（2010宁夏16．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ②③ ．（只填序号）‎ 2． 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；‎ 3． 位似图形一定有位似中心；‎ 4． 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；‎ 5． 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．‎ ‎（2010宁夏22．(6分) ‎ 已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．‎ ‎（1）求证：△ABF≌△DAE；‎ ‎（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．‎ ‎22．(1)证明：在正方形ABCD中：‎ AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC=‎ ‎∵CE=DF ‎∴AD-DF=CD-CE 即：AF=DE 在△ABF与△DAE中 ‎∴△ABF≌△DAE（SAS）----------------------------------------------------------------------------3分 ‎（2）与△ABM相似的三角形有：△FAM; △FBA; △EAD----------------------------------6分 ‎（2010山西26．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；‎ ‎（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B D E ‎（第26题 图1）‎ F C O M N x y ‎1．（2010四川宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D.则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）‎ A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5‎ 答案： A ‎（2010年安徽）23.如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。‎ ‎⑴若，求证：；‎ ‎⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；‎ ‎⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。‎ ‎（2010河北省）图15-2‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N 图15-1‎ A D B M N ‎1‎ ‎2‎ 图15-3‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N O 24．（本小题满分10分）‎ 在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．‎ ‎（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD ‎ 的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图15-2，其中AO = OB．‎ 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；‎ ‎（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3，求的值．‎ 解：（1）AO = BD，AO⊥BD； ‎ 图4‎ A D O B C ‎2‎ ‎1‎ M N E F ‎（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．‎ ‎  又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，‎ ‎∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． ‎ 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．‎ ‎∴∠DEB = 45°．‎ ‎∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．‎ ‎（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．‎ 又∵∠BOE = ∠AOC ， ‎ A O B C ‎1‎ D ‎2‎ 图5‎ M N E ‎∴△BOE ∽ △AOC．‎ ‎∴． ‎ 又∵OB = kAO，‎ 由（2）的方法易得 BE = BD．∴． ‎ ‎（2010河南）4．如图，△ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：①BC=2DE；‎ ‎（第4题）‎ ‎②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（ ）‎ ‎（A）3个 （B）2个 ‎ ‎（C）1个 （D）0个 A ‎1、（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 答案：D ‎2、（2010山东烟台）如图，△ ABC中，点D在线段BC上，且△ ABC∽△ DBA，则下列结论一定正确的是 A、AB2=BC·BD B、AB2=AC·BD C、AB·AD=BD·BC D、AB·AD=AD·CD 答案：A ‎（2010山东烟台）如图，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。‎ ‎（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。‎ ‎（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。‎ 答案：‎ ‎（2010·珠海）8.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3‎ ‎（2010·珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC AB∥CD ‎ ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°‎ ‎ ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ‎ ∴∠AFD=∠C ‎ ∴△ADF∽△DEC ‎(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC CD=AB=4‎ ‎ 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ‎ 在Rt△ADE中，DE=‎ ‎ ∵△ADF∽△DEC ‎ ∴ ∴ AF=‎ ‎(苏州2010中考题28)．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ．‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：‎ ‎ 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，‎ ‎ 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程．‎ 答案：‎ ‎5. （上海）下列命题中，是真命题的为（ D ）‎ A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 ‎16. （上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __3________.图2‎ ‎ ‎25．（上海）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；‎ ‎（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；‎ ‎（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.‎ 图9 图10(备用) 图11(备用)‎ ‎（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°‎ ‎∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ‎∴∠EPC＝30°‎ ‎∴三角形BDP为等腰三角形 ‎∵△AEP与△BDP相似 ‎∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°‎ ‎∴AE=EP=1‎ ‎∴在RT△ECP中，EC=EP=‎ ‎（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ‎∵AE=1,EC=2‎ ‎∴QC=3-a ‎∵∠ACB＝90°‎ ‎∴△ADQ与△ABC相似 ‎∴‎ 即，∴‎ ‎∵在RT△ADQ中 ‎∵‎ ‎∴‎ 解之得x=4，即BC=4‎ 过点C作CF//DP ‎∴△ADE与△AFC相似， ‎ ‎∴，即AF=AC，即DF=EC=2, ‎ ‎∴BF=DF=2‎ ‎∵△BFC与△BDP相似 ‎∴，即：BC=CP=4‎ ‎∴tan∠BPD=‎ ‎(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a ‎∴且 ‎∴‎ ‎∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：‎ 即：，解之得 ‎∵△ADQ与△ABC相似 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴三角形ABC的周长 即：，其中x>0‎ ‎（2010·绵阳）G A B D C O 10．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．‎ 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ A ）．‎ A．1 : 2 B．1 : 3‎ C．2 : 3 D．11 : 20‎ ‎（2010·绵阳）B F G H A D E C ‎1‎ 14．如图，AB∥CD，∠A = 60°，∠C = 25°，G、H分别为CF、CE的中点，则∠1 = ．答案：145° ‎（2010·浙江湖州）15．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．答案：‎ ‎1．（2010，安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m．‎ ‎【答案】1.8‎ ‎2．（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上，点F在AC上，‎ ‎(1)求证：△ADF∽△CAF ‎ ‎（2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积 ‎【答案】证明： （1）在梯形ABCD中，AD∥BC ‎∴∠DAF=∠ACE ‎∵∠D FC=∠AEB ‎∠DFC=∠DAF+∠ADF, ∠AEB= ∠A C E+∠CAE ‎∴∠ADF=∠CAE ‎∴△ADF∽△CAF ‎(2) ∵AD=8,DC=6，∠ADC=90°，‎ ‎∴AC=10‎ 又∵F是AC的中点，∴AF=5‎ ‎∵△ADF∽△CAF ‎∴ ∴ ∴CE=‎ ‎∵E是BC的中点 ∴BC=‎ ‎∴直角梯形ABCD的面积=×(+8)×6=‎ ‎3．（2010，安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。‎ ‎（1）求证：PM=PN；‎ ‎（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．‎ ‎【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP ‎ ‎∴∠OMD +∠DMP=90°‎ ‎∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90°‎ ‎∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ‎∴PM=PN ‎（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=OA=3‎ ‎∴PO=5‎ ‎∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=BC ‎∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90°‎ ‎∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°‎ ‎∴△OMP∽△BEO ∴ ∴,∴BE= ∴BC=‎ ‎4．（2010，浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，‎ 且S△PBD＝4，．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例 函数的值的的取值范围.‎ ‎ ‎y x P B D A O C ‎【答案】（1）在中，令得 ∴点D的坐标为（0，2）‎ ‎（2）∵ AP∥OD ∴Rt△PAC ∽ Rt△DOC ‎∵ ‎ ‎∴‎ ‎∴AP＝6‎ 又∵BD＝‎ ‎∴由S△PBD＝4可得BP＝2‎ ‎∴P(2，6)　 ‎ 把P(2，6)分别代入与可得一次函数解析式为：y＝2x+2 ，反比例函数解析式为： 　 ‎ ‎（3）由图可得x＞2‎ ‎5．（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S＝36时点A1的坐标；‎ ‎（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB ‎、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ C B A O y x 图1‎ D M 图2‎ O1‎ A1‎ O y x B1‎ C1‎ D M ‎【分析】第（1）问，已知O、A两点的坐标点O（0，0）、A（2，0），发现对称轴为x＝1；再设二次函数解析式y＝a（x-0）（x-2）将B（6，3）代入即可．‎ 第（2）问，注意到OA与CB两平行线之间的距离可由A（2，0）、B（6，3）看出是3，在平移梯形的过程中它保持不变．利用列出一个关于x1、x2的方程，再利用面积S＝36关系再列出一个关于x1、x2的方程，解这两个方程组成的方程组，确定x1的值便可求出点A1的坐标.‎ 第（3）问，如下图1-0本题先要找到当点P经过t秒时∥，进而分两种情况：当没有到达这一时刻之前，和过了这一时刻之后.‎ C B A O y x 图1-1‎ D M E P Q F G ‎ 图1—0‎ C B A O y x 图1-2‎ D M E F P Q G 情况1.如图1-1，寻求△DPQ∽△DEB，运用相似比来解答.‎ 情况2. 如图1-2，也是寻求△DPQ∽△DEB，运用相似比来解答.‎ ‎【答案】（1）对称轴：直线 解析式：或 ‎ 顶点坐标：M（1，）‎ ‎ （2）由题意得 ‎ ‎3‎ 得：①‎ ‎ ‎ 得： ②‎ 把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)‎ 当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣分) ‎ 把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）‎ ‎（3）存在 解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为 ‎∴BD＝5，DE＝，DP＝5－t，DQ＝ t 当∥时，‎ ‎ 得 ‎ 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ‎① 当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ‎∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴‎ ‎∴ 得 ∴(舍去)‎ ‎② 当时，如图1-2‎ ‎∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ‎∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ‎∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ‎ ‎ ∴‎ ‎∴， ∴‎ ‎∴当秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．‎ ‎ 解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得 ‎ , , ‎ ‎ ∴ , .‎