- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
中考数学选择填空压轴题专题复习三角形综合问题
最新中考数学专题复习--三角形综合问题 例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 同类题型1.1 如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 同类题型1.2 如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则( ) A.当∠B为定值时,∠CDE为定值 B.当∠1为定值时,∠CDE为定值 C.当∠2为定值时,∠CDE为定值 D.当∠3为定值时,∠CDE为定值 同类题型1.3 如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________. 例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论: ①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________. 同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,…,则第n个等边三角形的边长等于____________. 同类题型2.2 如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为_________. 例3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论: ①∠A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切; ③EF是△ABC的中位线;④设OD=m,AE+AF=n,则mn.其中正确的结论是 ( ) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为( ) A. B. C. D. 同类题型3.2 如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论: ①若C、O两点关于AB对称,则;②C、O两点距离的最大值为4; ③若AB平分CO,则AB⊥CO;④斜边AB的中点D运动路径的长为; 其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上). 同类题型3.3 如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为 ( ) A. B. C. D. 例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________. 同类题型4.1 如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC. 同类题型4.2 如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________. 例5. 如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是 ____________.(用含有S与n的式子表示) 同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是 ( ) A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5 同类题型5.2 如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于 ( ) A.2 B. C. D. 同类题型5.3 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________. 同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号) 参考答案 例1.如图所示,矩形ABCD中,AB=4,,点E是折线ADC上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中,使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解:①BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P; ②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P; ③以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点. 选C. 同类题型1.1 如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:∵D是BC中点,N是AC中点, ∴DN是△ABC的中位线, ∴DN∥AB,且AB; ∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M, ∴M是AB的中点, ∴AB, 又∵AB, ∴EM=DN, ∴结论①正确; ∵DN∥AB, ∴△CDN∽ABC, ∵AB, ∴, ∴S_(四边形ABDN), ∴结论②正确; 如图1,连接MD、FN, ∵D是BC中点,M是AB中点, ∴DM是△ABC的中位线, ∴DM∥AC,且AC; ∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点, ∴AC, 又∵AC, ∴DM=FN, ∵DM∥AC,DN∥AB, ∴四边形AMDN是平行四边形, ∴∠AMD=∠AND, 又∵∠EMA=∠FNA=90°, ∴∠EMD=∠DNF, 在△EMD和△DNF中, , ∴△EMD≌△DNF, ∴DE=DF, ∴结论③正确; 如图2,连接MD,EF,NF, ∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB, ∴M是AB的中点,EM⊥AB, ∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°, ∴, ∵D是BC中点,M是AB中点, ∴DM是△ABC的中位线, ∴DM∥AC,且AC; ∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点, ∴AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°, 又∵AC, ∴FA, ∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD, ∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC =360°-45°-45°-(180°-∠AMD) =90°+∠AMD ∴∠EMD=∠EAF, 在△EMD和△∠EAF中, ∴△EMD∽△∠EAF, ∴∠MED=∠AEF, ∵∠MED+∠AED=45°, ∴∠AED+∠AEF=45°, 即∠DEF=45°, 又∵DE=DF, ∴∠DFE=45°, ∴∠EDF=180°-45°-45°=90°, ∴DE⊥DF, ∴结论④正确. ∴正确的结论有4个:①②③④. 选D. 同类题型1.2 如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点,若∠B=∠C,∠ADE=∠AED,则( ) A.当∠B为定值时,∠CDE为定值 B.当∠1为定值时,∠CDE为定值 C.当∠2为定值时,∠CDE为定值 D.当∠3为定值时,∠CDE为定值 解:在△CDE中,由三角形的外角性质得,∠AED=∠CDE+∠C, 在△ABD中,由三角形的外角性质得,∠B+∠1=∠ADC=∠ADE+∠CDE, ∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED, ∴∠B+∠1=∠CDE+∠C+∠CDE=2∠CDE+∠B, ∴∠1=2∠CDE, ∴当∠1为定值时,∠CDE为定值. 选B. 同类题型1.3 如图,在△ABC中,,∠BAC=120°,点D、E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为______________. 解:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示. ∵,∠BAC=120°, ∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°, ∴∠ECG=60°. ∵CF=BD=2CE, ∴CG=CE, ∴△CEG为等边三角形, ∴EG=CG=FG, ∴∠CGE=30°, ∴△CEF为直角三角形. ∵∠BAC=120°,∠DAE=60°, ∴∠BAD+∠CAE=60°, ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°. 在△ADE和△AFE中,, ∴△ADE≌△AFE(SAS), ∴DE=FE. 设EC=x,则BD=CD=2x,DE=FE=6-3x, 在Rt△CEF中,∠CEF=90°,CF=2x,EC=x, x, ∴x, , ∴-3. 例2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E为AB边上一点,∠BCE=15°,且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论: ①ACD≌△ACE;②△CDE为等边三角形;③EH=2EB;④.其中正确的结论是________. 解:①∵∠ABC=90°,AB=BC, ∴∠BAC=∠ACB=45°, 又∵∠BAD=90°, ∴∠BAC=∠DAC, 在△ACD和△ACE中, , ∴△ACD≌△ACE(SAS);故①正确; ②同理∠AED=45°,∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°, ∴∠DEC=60°, ∵△ACD≌△ACE, ∴CD=CE, ∴△CDE为等边三角形.故②正确. ③∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60° ∴EC=2EH ∵∠ECB=15°, ∴EC≠4EB, ∴EH≠2EB;故③错误. ④∵AE=AD,CE=CD, ∴点A与C在DE的垂直平分线上, ∴AC是DE的垂直平分线, 即AC⊥DE, ∴CE>CH, ∵CD=CE, ∴CD>CH, ∵∠BAC=45°, ∴AH=EH, ∵, ∴,故④错误. 答案为:①②. 同类题型2.1 如图所示,已知:点A(0,0),,0),C(0,1)在△ABC内依次作等边三角形,使一边在x轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个,第2个,第3个,…,则第n个等边三角形的边长等于____________. 解:∵,OC=1, ∴BC=2, ∴∠OBC=30°,∠OCB=60°. 而为等边三角形,=60°, ∴=30°,则O=90°. 在中,, 同理得:, 依此类推,第n个等边三角形的边长等于. 同类题型2.2 如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为_________. 解:连接PP′,如图, ∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C, ∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°, ∴△CPP′为等边三角形, ∴PP′=PC=6, ∵△ABC为等边三角形, ∴CB=CA,∠ACB=60°, ∴∠PCB=∠P′CA, 在△PCB和△P′CA中 , ∴△PCB≌△P′CA, ∴PB=P′A=10, ∵, ∴, ∴△APP′为直角三角形,∠APP′=90°, ∴. 同类题型2.4 例3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论: ①∠A; ②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切; ③EF是△ABC的中位线; ④设OD=m,AE+AF=n,则mn. 其中正确的结论是( ) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴∠ABC,∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠A, ∴∠A;故①正确; 过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA, ∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴ON=OD=OM=m, ∴mn;故④正确; ∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB, ∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴EB=EO,FO=FC, ∴EF=EO+FO=BE+CF, ∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故②正确, 根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点,故③正确, ∴其中正确的结论是①②④ 选D. 同类题型3.1 如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为( ) A. B. C. D. 解:以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF. ∵DC∥AB, ∴, ∴DF=CB=1,BF=2+2=4, ∵FB是⊙A的直径, ∴∠FDB=90°, ∴. 选B. 同类题型3.2 如图,在Rt△ABC中,BC=2,∠BAC=30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论: ①若C、O两点关于AB对称,则; ②C、O两点距离的最大值为4; ③若AB平分CO,则AB⊥CO; ④斜边AB的中点D运动路径的长为; 其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上). 解:在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°, ∴AB=4,, ①若C、O两点关于AB对称,如图1, ∴AB是OC的垂直平分线, 则; 所以①正确; ②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE, ∵∠AOB=∠ACB=90°, ∴AB=2, 当OC经过点E时,OC最大, 则C、O两点距离的最大值为4; 所以②正确; ③如图2,当∠ABO=30°时,∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°, ∴四边形AOBC是矩形, ∴AB与OC互相平分, 但AB与OC的夹角为60°、120°,不垂直, 所以③不正确; ④如图3,斜边AB的中点D运动路径是:以O为圆心,以2为半径的圆周的, 则:=π, 所以④不正确; 综上所述,本题正确的有:①②. 同类题型3.3 如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( ) A. B. C. D. 解:∵点O是△ABC的重心, ∴CE, ∵△ABC是直角三角形, ∴CE=BE=AE, ∵∠B=30°, ∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°, ∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形, ∴CE, ∴CE,即AE, ∵BE=AE, ∴AE, ∵EF⊥AB, ∴∠AFE=60°, ∴∠FEM=30°, ∴EF, ∴AE, ∴. 选D. 例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________. 解:已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h. ∵, ∴CD. 如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM. 在△ABD与△AMD中, ∴△ABD≌△AMD(SAS), ∴CD. 过点M作MN∥AD,交EG于点N,交DE于点K. ∵MN∥AD, ∴, ∴CD, ∴CD. ∴MD=KD,即△DMK为等腰三角形, ∴∠DMK=∠DKM. 由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2; ∵MN∥AD, ∴∠3=∠4=∠1=∠2, 又∵∠DKM=∠3(对顶角) ∴∠DMK=∠4, ∴DM∥GN, ∴四边形DMNG为平行四边形, ∴MN=DG=2FD. ∵点H为AC中点,AC=4CM, ∴. ∵MN∥AD, ∴,即, ∴. 同类题型4.1 如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,连接交于点;过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC. 解:∵∥AC, ∴=∠BAC,=∠BCA, ∴∽△BAC, ∴. ∵是△ABC的中线, ∴. ∵∥AC, ∴,, ∴, ∴. ∵∥AC, ∴, ∴AC. 同理:AC. ∴. 同类题型4.2 如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________. 解:过点H作HG⊥AC于点G, ∵AF平分∠CAE,DE∥BF, ∴∠HAF=∠AFC=∠CAF, ∴AC=CF=2, ∵AF, ∴, ∵DE∥CF, ∴△AHM∽△FCM, ∴, ∴AH=1, 设△AHM中,AH边上的高为m, △FCM中CF边上的高为n, ∴, ∵△AMH的面积为:, ∴AH﹒m ∴, ∴, 设△AHC的面积为S, ∴=3, ∴, ∴, ∴, ∴由勾股定理可知:, ∴ ∴. 例5. 如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是 ____________.(用含有S与n的式子表示) 解:连接MN,设BN交于,交于,交于. ∵, ∴MN∥BC, ∴, ∵点,,,…,是边BC的n等分点, ∴, ∴四边形B,四边形,四边形都是平行四边形, 易知﹒S,﹒S,﹒S, ∴﹒S, ∴﹒S-(n-1)﹒﹒S-S=﹒S. 同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是( ) A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.5 解:设AM=x, 连接BM,MB′, 在Rt△ABM中,, 在Rt△MDB′中,, ∵MB=MB′, ∴, 即, 解得x=2, 即AM=2, 故选B. 同类题型5.2 如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( ) A.2 B. C. D. 解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H. 在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3, ∴=5, ∵CD=DB, ∴, ∵﹒AB﹒AC, ∴, ∵AE=AB, ∴点A在BE的垂直平分线上. ∵DE=DB=DC, ∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形, ∴AD垂直平分线段BE, ∵﹒BD﹒AH, ∴, ∴, 在Rt△BCE中,, 选D. 同类题型5.3 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________. 解:①如图1, 当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点, ∴; ②如图2,当∠MB′C=90°, ∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠C=45°, ∴△CMB′是等腰直角三角形, ∴MB′, ∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′, ∴BM=B′M, ∴BM, ∵+1, ∴+1, ∴BM=1, 综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为或1. 同类题型5.4 如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号) 解:延长EF和BC,交于点G ∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E, ∴∠ABE=∠AEB=45°, ∴AB=AE=9, ∴直角三角形ABE中,, 又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F, ∴∠BEG=∠DEF ∵AD∥BC ∴∠G=∠DEF ∴∠BEG=∠G ∴ 由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC ∴ 设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴=9+2x+x 解得-3 ∴+3.查看更多