中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总

‎17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D 点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得 AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由； ‎ ‎（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.‎ ‎18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。‎ ‎（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；‎ F G x y C B O A 图4‎ ‎（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=‎9米。‎ ‎(i )求拉杆⑤DE的长度；‎ ‎(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)‎ ‎（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，‎ tg∠FOG= tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？‎ C O ‎19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设A= x，PE = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（3）当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EF的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由。‎ ‎20. （2006湖北十堰）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．‎ 注：抛物线的顶点坐标为．‎ ‎（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；‎ ‎（2）当时，判定的形状，并说明理由；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？ ‎ ‎21.（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n＜0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE．过点A的直线y＝kx＋m 交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．‎ ‎22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO c，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b≥0；‎ ‎（3）若a + b + c = 0，a > b > c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.‎ ‎5.（2006江苏盐城）已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C. ‎(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长； ‎(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）； (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式． ‎ ‎ ‎ ‎6.（2006广东广州）已知抛物线y =x2+mx‎-2m2‎(m≠0)．‎ ‎ (1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；‎ ‎ (2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是 ‎ 否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．‎ ‎1.（2001天津）已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝‎4cm，AB＝‎8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．‎ ‎（1）如图，当AP＝‎3cm时，求y的值；‎ ‎（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；‎ ‎（3）当y＝‎2cm2时，试确定点P的位置．‎ ‎2.（2002上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．‎ 图5图6图7‎ 探究：设A、P两点间的距离为x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；‎ ‎（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）‎ ‎4. (2004山东枣庄)如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝5，∠CAB＝45°，点O在BA上移动，以O为圆心作⊙O，使⊙O与边BC相切，切点为D，设⊙O的半径为x，四边形AODC的面积为y．‎ A B O D C ‎ （1）求 y与x的函数关系式；‎ ‎ （2）求x的取值范围；‎ ‎ （3）当x为何值时，⊙O与BC、AC都相切？‎ ‎5.（2004浙江宁波）已知是半圆的直径，AB＝16，P点是AB上的一动点(不与A、B重合) ，PQ⊥AB， 垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O1的直径，⊙O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切，切点分别为M、N、C．‎ ‎ （1）当P点与O点重合时(如图1) ，求⊙O2的半径r；‎ 图⑵‎ 图⑴‎ A O ‎（P）‎ N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B P ‎·‎ A O N ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ M C Q B ‎ （2）当P点在AB上移动时(如图2) ，设PQ＝x，⊙O2的半径r．求R与x的函数关系式，并求出r取值范围．‎ ‎6.（2005河北）如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。‎ ‎（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ A B M C D P Q 图3‎ ‎（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？‎ ‎（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；‎ ‎（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎7.（2005河南）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝2，DC＝2，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC＝x，四边形ABPD的面积为y。‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积。‎ ‎8.（2005江苏宿迁）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎3厘米，CB＝‎4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为‎1厘米/秒、‎2厘米/秒，设点P运动时间为（秒）． ‎ ‎（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于‎2厘米2；‎ ‎（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；‎ ‎（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．‎ ‎9.（2005江苏泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.‎ ‎（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；‎ 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. ‎ ‎（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；‎ 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围. ‎ ‎（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；‎ E′‎ D′‎ 图2‎ 图3‎ D′‎ E′‎ 图4‎ C/‎ ‎（C/）‎ ‎（C/）‎ 探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由. ‎ ‎[‎ ‎10.（2005江苏南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O‎1A1P1B1．设四边形O‎1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．‎ ‎（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；‎ O ‎－3‎ y B x A P Q α 图1‎ ‎（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎11.（2005新疆乌鲁木齐）四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0），B（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动，过点N作NP垂直于x轴于P点连结AC交NP于Q，连结MQ。‎ ‎（1）写出C点的坐标；‎ ‎（2）若动点N运动t秒，求Q点的坐标（用含t的式子表示 ‎（3）其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。‎ ‎（4）当t取何值时，△AMQ的面积最大；‎ ‎（5）当t为何值时，△AMQ为等腰三角形。‎ ‎12. (2005浙江温州)如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝‎4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为‎1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为‎2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。‎ ‎⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；‎ ‎⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；‎ ‎⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；‎ ‎⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)‎ ‎13. （2005上海静安）如图4，已知⊙O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设AC=，OE=，求与之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎14. （2005上海闵行）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，．‎ A B C D P E Q 点E在AD边上，且，连结CE．点P是AB边上的一个动点，过 点P作，交BC于点Q．设，．‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎(3) 当时，求x的值．‎ ‎16.（2006广东课改）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．‎ ‎ (1)求点B的坐标；‎ ‎ (2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；‎ ‎(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。‎ ‎17.（2006上海静安）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E．‎ （1） 求证：△AOB∽△BDC；‎ （2） 设大圆的半径为，CD的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域．‎ （1） ‎△BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．‎ ‎18. （2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝‎8cm，BC＝‎6cm，∠C＝90°，EG＝‎4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．‎ 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以‎1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以‎1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．‎ ‎（1）当x为何值时，OP∥AC ?‎ ‎（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456‎ 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）‎ A P C Q B D ‎19.（2006河北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；‎ ‎（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？‎ ‎（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． ‎ ‎1.（2004福建南平）已知：如图① , A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B、设PA＝m , PB＝n .‎ ‎（1）当n＝4时，求m的值；‎ ‎（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？（图②、图③供解题时选用）‎ A B 图①‎ P ‎·‎ O A ‎·‎ O A ‎·‎ O 图②‎ 图③‎ ‎2.（2005福建南平）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.‎ 探究：‎ ‎（1）如图甲，已知△ABC中∠C=900，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的 小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.‎ ‎（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，‎ B C A 图甲 则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF ‎(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；‎ 把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分 割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去.‎ n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时 小三角形的面积为SN.‎ ‎①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，21时，请写出一个反映Sn-1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）‎ ‎3.（2005广西玉林）如图(1)，AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合)，PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连结BC并延长BC交AT于点D，连结PB交CE于F．‎ ‎ (1)请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；‎ ‎ (2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明； ‎ ‎ (3)设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求∠APC的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．‎ ‎6.（2005重庆） 已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎8.（2006山东日照）阅读下面的材料：‎ 如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC+BP·BD=AB2．‎ 证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90ｏ，‎ ‎∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．‎ 由割线定理得： AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，‎ 所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB2．‎ 当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么： ‎ ‎（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？为什么？‎ ‎（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．‎