九年级中考压轴——动点问题集锦

九年级中考压轴——动点问题集锦

O M A N BC y x 动态几何综合练习 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在 的边 上沿 方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达 点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒． （1）、线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）、线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时间为 ．求四边形 的 面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． 2、如图，在梯形 中， 动点 从 点出发 沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒． （1）求 的长． （2）当 时，求 的值． （3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OA∥BC，点 A 的坐标为(6，0)，点 B 的坐标 为(4，3)，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点 M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动， 从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时， 另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为 t(秒)． (1)求线段 AB 的长；当 t 为何值时，MN∥OC？ (2)设△CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式， 并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接 AC，那么是否存在这样的 t，使 MN 与 AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由． ABC MN ABC△ AB AB B M A N B M N、 AB ABC△ P Q、 MN t MN t MNQP MN MNQP S t MNQP S t t ABCD 3 5 4 2 45AD BC AD DC AB B= = = = °∥ ， ， ， ，∠ ． M B BC C N C CD D t BC MN AB∥ t t MNC△ C P Q BA M N A D CB M N 4、（河北卷）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运 动．P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程 中，△PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是△PDQ．设运动时间为 t（秒）． （1）设四边形 PCQD 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？ （3）是否存在时刻 t，使得 PD∥AB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻 t，使得 PD⊥AB？若存在，请估计 t 的值 在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理 由． 5、（山东济宁）如图（见下页），A、B 分别为 x 轴和 y 轴正半轴上的点。OA、OB 的长分别是方程 x2 －14x＋48＝0 的两根(OA＞OB)，直线 BC 平分∠ABO 交 x 轴于 C 点，P 为 BC 上一动点，P 点以每秒 1 个单位的速度从 B 点开始沿 BC 方向移动。 (1)设△APB 和△OPB 的面积分别为 S1、S2，求 S1∶S2 的值； (2)求直线 BC 的解析式； (3)设 PA－PO＝m，P 点的移动时间为 t。 ①当 0＜t≤ 时，试求出 m 的取值范围； ②当 t＞ 时，你认为 m 的取值范围如何(只要求写出结论)？ 6、在 中， 现有两个动点 P、Q 分 别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s 的速 度沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PE∥BC 交 AD 于点 E，连结 EQ。设动点运动时间为 x 秒。 （1）用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度； （2）当点 Q 在 BD（不包括点 B、D）上移动时，设 的面积为 ，求 与月份 的函数关 系式，并写出自变量 的取值范围； （3）当 为何值时， 为直角三角形。 54 54 ABC∆ , 4 , 5 , D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm∠ = ∠ = = 点 在 上，且以 ＝ EDQ∆ 2( )y cm y x x x EDQ∆ A P C Q B D O A B C P x y 7（杭州）在直角梯形 中， ，高 （如图 1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图 2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图 3 中的线段 。 （1）分别求出梯形中 的长度； （2）写出图 3 中 两点的坐标； （3）分别写出点 在 边上和 边上运动时， 与 的函数关系式（注明自变量的取值范围）， 并在图 3 中补全整个运动中 关于 的函数关系的大致图象。 8 、（金 华 ） 如 图 1 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 ， 点 在 正 半 轴 上 ， 且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ． （1）求直线 的解析式； （2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值； （3）如果取 的中点 ，以 为边在 内部作如图 2 所示的矩形 ，点 在线段 上．设等边 和矩形 重叠部分的面积为 ，请求出当 秒时 与 的函数关 系式，并求出 的最大值． 9、（重庆课改卷）如图 1 所示，一张三角形纸片 ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中线 CD 把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图 2 所示）.将纸片 沿直线 （AB）方 向平移（点 始终在同一直线上），当点 于点 B 重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点 E, 与 分别交于点 F、P. ABCD 90C∠ = ° 6CD cm= ,P Q B P , ,BA AD DC C Q BC C 1 /cm s P A Q C ,P Q B ( )t s BPQ∆ ( )2y cm ,t y P AD A D y t MN ,BA AD ,M N P BA DC y t y t (0 4 3)A ， B x 30ABO = ∠ P AB A B 3 t x M N， PMN△ AB PMN△ t PMN△ M O t OB D OD Rt AOB△ ODCE C AB PMN△ ODCE S 0 2t≤ ≤ S t S 1 1AC D∆ 2 2BC D∆ 1 1AC D∆ 2D B 1 2, , ,A D D B 1D 1 1C D 2BC 1AC 2 2 2C D BC、 CB A D （图 1） CB A D P Q （图 2） （图 3） （图 1） y A P M O N B x （图 2） y A C O D B x E （1）当 平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的 与 的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ，请写出 与 的函数关系式， 以及自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值；使得重叠部分的面积等于原 面积的 ？若 不存在，请说明理由. 10. 梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 开始，沿 AD 边， 以 1 厘米/秒的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 开始，沿 CB 边，以 3 厘米/秒的速度向 B 点运动。 已知 P、Q 两点分别从 A、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运 动时间为 t 秒，问： （1）t 为何值时，四边形 PQCD 是平行四边形？ （2）在某个时刻，四边形 PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形 PQCD 是直角梯形？ （4）t 为何值时，四边形 PQCD 是等腰梯形？ 11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 A—B—C—D 以 4cm/s 的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时 出发，当其中一点到达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为 t(s)，t 为何值时，四边形 APQD 也为矩形？ 1 1AC D∆ 1D E 2D F 2 1D D x 1 1AC D∆ 2 2BC D∆ y y x x ABC∆ 1 4 C BDA 图 1 图 3 C2 D2 C1 BD1A 图 2 A B C DP Q F D B C D' A A F D P E B Q C A M O F N E B C D 12. 如图，在等腰梯形 中， ∥ ， ,AB=12 cm,CD=6cm , 点 从 开始沿 边向 以每秒 3cm 的速度移动，点 从 开始沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点 P、 Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为 t 秒。 （1）求证：当 t= 时，四边形 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线 BD？若能，求出当 t 为何值时 PQ 平分 BD；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形，求 t 的值。 13. 如图所示，△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过 O 作直线 MN//BC，设 MN 交 的平分 线于点 E，交 的外角平分线于 F。 （1）求让： ； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。 （3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，且AE BC= 2 ，求 的大小。 14. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D’处，求重叠部分⊿AFC 的 面积. 15. 如图所示，有四个动点 P、Q、E、F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿着 AB、BC、CD、DA 以同样的速度向 B、C、D、A 各点移动。 （1）试判断四边形 PQEF 是正方形并证明。 （2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。 （3）四边形 PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？ ∠BCA ∠BCA EO FO= ∠B ABCD AB DC cmBCAD 5== P A AB B Q C 2 3 APQD A B CD Q P 16. 已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = DC，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，E 是 BC 边上一个动点（E 点不与 B、C 两点重合），EF∥BD 交 AC 于点 F，EG∥AC 交 BD 于点 G. ⑴求证：四边形 EFOG 的周长等于 2 OB； ⑵请你将上述题目的条件“梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变， 使得结论“四边形 EFOG 的周长等于 2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、 不必证明. 17.如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知 AD＝AB＝3，BC＝4，动点 P 从 B 点出发， 沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动．过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC 于点 N．P、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．当 Q 点运动 到 A 点，P、Q 两点同时停止运动．设点 Q 运动的时间为 t 秒． (1)求 NC，MC 的长(用 t 的代数式表示)； (2)当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形？ (3)是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由； (4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？ 图10 G F O DA B CE