中考攻略专题3一元二次方程根的判别式应用探讨含答案

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中考攻略专题3一元二次方程根的判别式应用探讨含答案

‎【2013年中考攻略】专题3:‎ 一元二次方程根的判别式应用探讨 一元二次方程,就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程,其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)。在系数a≠0的情况下,Δ=b2-‎4ac>0时,方程有2个不相等的实数根;Δ=b2-‎4ac =0时,方程有两个相等的实数根;Δ=b2-‎4ac <0时,方程无实数根。反之,若方程有2个不相等的实数根,则Δ=b2-‎4ac>0;若方程有两个相等的实数根,则Δ=b2-‎4ac =0;若无实数根,则Δ=b2-‎4ac <0。‎ 因此,Δ=b2-‎4ac称为一元二次方程根的判别式。‎ ‎ 根的判别式b2-‎4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。‎ 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用,也是中考必考内容,并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面,直接应用包括①不解一元二次方程,判断(证明)根的情况、②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用;综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线(含x轴)的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。‎ 一.不解一元二次方程,判断(证明)根的情况:‎ 典型例题:‎ 例1:(2012广西河池3分)一元二次方程的根的情况是【 】‎ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D.无实数根 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵中,a=1,b=2,c=2,‎ ‎ ∴△。‎ ‎ ∴无实数根。故选D。‎ 例2:(2011江苏苏州3分)下列四个结论中,正确的是【 】‎ ‎ A.方程有两个不相等的实数根 ‎ ‎ B.方程有两个不相等的实数根 C.方程有两个不相等的实数根 D.方程(其中a为常数,且)有两个不相等的实数根 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,根据根的判别式判断解的个数即可: ‎ A、整理得:,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;‎ B、整理得:,△<0,∴原方程没有实数根,选项错误;‎ C、整理得:,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;‎ D、整理得:,当时, ,∴原方程有2个不相等的实数根,选项正确 故选D。‎ 练习题:‎ ‎1(2012广东珠海6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.‎ ‎(1)当m=3时,判断方程的根的情况;‎ ‎(2)当m=﹣3时,求方程的根。‎ ‎2. (2011福建福州4分)一元二次方程(﹣2)=0根的情况是 【 】‎ ‎ A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 ‎ C、只有一个实数根 D、没有实数根 ‎3. (2011福建福州4分)一元二次方程(﹣2)=0根的情况是 【 】‎ ‎ A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 ‎ C、只有一个实数根 D、没有实数根 ‎4. (2011内蒙古包头3分)一元二次方程x2+x+=0的根的情况是【 】 ‎ ‎ A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定 ‎ 二. 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围:‎ 典型例题:‎ 例1:(2012湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【 】‎ A.k< B.k<且k≠‎0 C.﹣≤k< D.﹣≤k<且k≠0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。‎ ‎【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为0定义知: k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得:2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。三者联立,解得﹣≤k<且k≠0。‎ 故选D。 ‎ 例3:(2012湖南常德3分)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是【 】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的取值范围:‎ ‎ ∵一元二次方程有实数解,‎ ‎∴△=b2-‎4ac=22-‎4m≥0,解得:m≤1。‎ ‎∴m的取值范围是m≤1。故选B。‎ 例4:(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【 】‎ ‎  A. 1 B. ﹣1 ‎ C. D. ﹣‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+‎4a=0,解得a=﹣1。故选B。‎ 例5:(2012上海市4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是 ▲ 。‎ ‎【答案】c>9。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,‎ ‎∴△=(﹣6)2﹣‎4c<0,即36﹣‎4c<0,c>9。‎ 例6:(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.‎ ‎(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根。‎ ‎【答案】解:(1)证明:由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得 ‎△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,‎ ‎∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,‎ ‎∴原方程总有两个不相等的实数根。‎ ‎(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。‎ ‎∵|x1-x2|=2, ∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。‎ ‎∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+‎2m-3=0。‎ 解得:m1=-3,m2=1。‎ 当m=-3时,原方程化为:x2-2=0,解得:x1= ,x2=-。‎ ‎ 当m=1时,原方程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+ ,x2=-2-。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。‎ ‎【分析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-‎4ac的符号来判定该方程的根的情况。‎ ‎(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。‎ 例7:(2011山东潍坊3分)关于的方程的根的情况描述正确的是【 】.‎ A.为任何实数,方程都没有实数根 B.为任何实数,方程都有两个不相等的实数根 C.为任何实数,方程都有两个相等的实数根 D.根据的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】求出一元二次方程根的判别式的值,然后据此判别,从而得出答案:‎ ‎∵一元二次方程根的判别式为△=(2k)2-4×(k-1)=4k2-4k+4=(2k﹣1)2+3>0,‎ ‎∴不论k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根。故选B。‎ 例8:(2012四川成都4分)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数的图象不经过点(1,0)的概率是 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程根的判别式,解一元二次方程和一元一次不等式,概率公式。‎ ‎【分析】∵有两个不相等的实数根,∴△>0。‎ ‎∴[﹣2(a﹣1)]2﹣‎4a(a﹣3)>0,∴a>﹣1。‎ 将(1,0)代入得,a2+a﹣2=0,解得a1=1,a2=﹣2。‎ 可见,符合要求的点为0,2,3。‎ ‎∴P(符合要求)=。‎ 练习题:‎ ‎1(2012四川广安3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是【 】‎ A.a>2 B.a<‎2 ‎‎ C.a<2且a≠l D.a<﹣2‎ ‎2. (2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【 】‎ ‎(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2‎ ‎3. (2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程x2 -4x + 2k = 0有两个实数根,则k的取值范围是【 】‎ A、k≥2 B、k≤‎2 ‎C、k>-2 D、k<-2‎ ‎4. (2012山东东营3分)方程有两个实数根,则k的取值范围是【 】.‎ A. k≥1 B. k≤‎1 ‎‎ C. k>1 D. k<1‎ ‎5. (2012北京市4分)若关于的方程有两个相等的实数根,则的值是 ▲ 。‎ ‎6. (2012四川资阳3分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ▲ 。‎ ‎7. (2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程。‎ ‎(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根。‎ ‎8. (2011湖南郴州6分)当t取什么值时,关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根?‎ ‎9. (2009黑龙江佳木斯3分)若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x-n的图象不经过【 】‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用:‎ 典型例题:‎ 例1:(2011四川泸州2分)已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11,则k的值为  ▲  。‎ 例2:(2012湖南娄底10分)已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣‎2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足。‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)探究:在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣‎2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,‎ ‎∴令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣‎2m=0 ①,则有:x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣‎2m。‎ ‎∴,化简得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1。‎ 当m=﹣2时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣‎4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;‎ 当m=1时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣‎4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意。‎ ‎∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。‎ ‎(2)存在。理由如下:‎ 假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形。‎ 如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点。‎ ‎∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,‎ ‎∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2)。‎ ‎∴OB=1,OC=2。‎ ‎∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC。‎ ‎∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB。‎ 在Rt△PAD与Rt△CBO中,‎ ‎∵∠PAD=∠CBO ,PA=BC,∠APD=∠OCB ,‎ ‎∴Rt△PAD≌Rt△CBO(AAS)。‎ ‎∴PD=OC=2,即yP=2。‎ ‎∵直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1。∴P(﹣1,2)。‎ ‎∴在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,二次函数与x点问题,曲线图上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)欲求抛物线的解析式,关键是求得m的值.根据题中所给关系式,利用一元二次方程根与系数的关系,可以求得m的值,从而问题得到解决。注意:解答中求得两个m的值,需要进行检验,把不符合题意的m值舍去。‎ ‎(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形,根据全等关系求得P点的纵坐标,从而得到P点的横坐标,从而求得P点坐标。‎ 练习题:‎ ‎1. (2012湖南怀化10分)已知是一元二次方程的两个实数根。‎ ‎(1)是否存在实数a,使成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;‎ ‎(2)求使为负整数的实数a的整数值。‎ ‎2. (2007湖北襄阳7分)已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0.问是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。‎ 四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数:‎ 典型例题:‎ 例1:(2012江苏南通3分)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于【 】‎ A.64 B.‎48 C.32 D.16‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】完全平方式。‎ ‎【分析】∵x2+16x+k是完全平方式,‎ ‎∴对应的一元二次方程x2+16x+k=0根的判别式△=0。‎ ‎∴△=162-4×1×k=0,解得k=64。故选A。‎ 例2:(2012贵州黔东南4分)二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是  ▲  。‎ ‎【答案】±6。‎ ‎【考点】完全平方式。‎ ‎【分析】∵x2﹣kx+9是完全平方式,‎ ‎∴对应的一元二次方程x2﹣kx+9=0根的判别式△=0。‎ ‎∴△=k2-4×1×9=0,解得k=±6。‎ 例3:(2012湖北荆州3分)已知:多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式,则反比例函数的解析式为  ▲  。‎ ‎【答案】或。‎ ‎【考点】完全平方式,待定系数法求反比例函数解析式。‎ ‎【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式,‎ ‎ ∴对应的一元二次方程x2﹣kx+1=0根的判别式△=0。‎ ‎∴△=k2-4×1×1=0,解得k=±2。‎ 把k=±2分别代入反比例函数的解析式得:或。‎ 练习题:‎ ‎1. (2011云南玉溪3分)若是完全平方式,则=【 】 ‎ A.9 B.-‎9 ‎C.±9 D.±3 ‎ ‎2. (2010广西南宁3分)下列二次三项式是完全平方式的是【 】‎ A.x2-8x-16 B.x2+8x+‎16 ‎‎ C.x2-4x-16 D.x2+4x+16‎ 五. 判断双曲线与直线的公共点个数:‎ 典型例题:‎ 例1:(2012江苏南京2分)若反比例函数与一次函数的图像没有交点,则的值可以是【 】‎ A. -2 B. -‎1 ‎ C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的判别式。‎ ‎【分析】把两函数的解析式组成方程组,再转化为求一元二次方程解答问题,求出k的取值范围,找出符合条件的k的值即可:‎ ‎∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点,‎ ‎∴无解,即无解,整理得x2+2x-k=0,‎ ‎∴△=4+4k<0,解得k<-1。‎ 四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件。故选A。‎ 例2:(2012广东河源3分)在同一坐标系中,直线y=x+1与双曲线y=的交点个数为【 】‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】直线与双曲线的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,联立y=x+1和y=得,x+1=,整理,得 x 2+x-1=0。‎ ‎ ∵△=1+4=5>0,∴x 2+x-1=0有两不相等的实数根。‎ ‎ ∴直线y=x+1与双曲线y=有两个交点。故选A。‎ 例4:(2012四川资阳8分)已知:一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。‎ ‎(1)(3分)求该反比例函数的解析式;‎ ‎(2)(3分)将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标;‎ ‎(3)(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:‎ ‎①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到;‎ ‎②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。‎ ‎【答案】解:(1)把x=1代入y=3x-2,得y=1。‎ 设反比例函数的解析式为,把(1,1)代入得,k=1。 ‎ ‎∴该反比例函数的解析式为 ‎(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x-2+4,即y=3x+2,‎ ‎ 联立y=3x+2和,得,‎ ‎ ,解得或。‎ ‎∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(-1, -1) 。‎ ‎(3)y=-2x-2(答案不唯一)。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,一次函数图象与平移、旋转变换。‎ ‎【分析】(1)先求出两函数的交点坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。‎ ‎(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,联立两函数解析式,从而求得交点坐标。‎ ‎(3)∵函数的图象由一次函数y=3x-2的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到,‎ ‎∴可设所求函数解析式为y=mx-2,则由 得。‎ ‎∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点,‎ ‎∴△=4-4·m(-1)<0,解得m<-1。‎ ‎∴只要常数项为-2,一次项系数小于-1的一次函数均可。‎ 例5:(2011湖北宜昌3分)如图,直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点,那么m的取值范围在数轴上表示为【 】 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,在数轴上表示不等式的解集。‎ ‎【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点,联立两方程求出m的取值范围即可,然后在数轴上表示出m的取值范围:‎ 由+2=得2+2+3﹣m=0,‎ ‎∵=+2与=有两个交点,∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。‎ 即△=4﹣4×(3﹣m)>0,解得m>2。‎ 又∵双曲线在二、四象限,∴m﹣3<0。∴m<3。‎ ‎∴m的取值范围为:2<m<3。‎ 故在数轴上表示为B。故选B。‎ 练习题:‎ ‎1.(2011湖北黄石3分)若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点,则实数的取值范围是 ▲ 。‎ ‎2. (2012陕西省3分)在同一平面直角坐标系中,若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点,则这个反比例函数的表达式是 ▲ (只写出符合条件的一个即可)。‎ ‎3. (2006湖北黄石8分8)已知一次函数y=kx+b(k>0,b>0)与反比例函数的图象有唯一的公共点。‎ ‎(1)求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式;‎ ‎(2)证明:k取任何正实数时,直线y=kx+b总经过一个定点,并求出定点的坐标。‎ ‎4. (2012四川绵阳3分)在同一直角坐标系中,正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象没有交点,则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。‎ 六. 判断抛物线与直线(含x轴)的公共点个数:‎ 典型例题:‎ 例2:(2012山东泰安3分)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最大值为【 】‎ ‎  A.  B.‎3 ‎ C.  D.9‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】抛物线与轴的交点。‎ ‎【分析】∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3,‎ ‎∴>0,,即。‎ ‎∵一元二次方程有实数根,‎ ‎∴△=,即,即,解得。‎ ‎∴的最大值为3。故选B。‎ 例3:(2012湖北荆州12分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.‎ ‎①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值。‎ ‎【答案】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。‎ 当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,‎ 令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.‎ ‎△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。‎ 综上所述,k的取值范围是k≤2。‎ ‎(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1。‎ 由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),‎ 将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2。‎ 又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,‎ 解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求k值为﹣1。‎ ‎②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,‎ 由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。‎ ‎∴y的最大值为,最小值为﹣3。‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。‎ ‎(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。‎ 例4:(2012福建福州14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点。‎ ‎(1) 求抛物线的解析式;‎ ‎(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;‎ ‎(3) 如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应) 。‎ ‎【答案】解:(1) ∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).‎ ‎∴,解得:。‎ ‎∴抛物线的解析式是y=x2-3x。‎ ‎ (2) 设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),‎ 得:4=4k1,解得k1=1。‎ ‎∴直线OB的解析式为y=x。‎ ‎∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。‎ ‎∵点D在抛物线y=x2-3x上,∴可设D(x,x2-3x)。‎ 又点D在直线y=x-m上,∴ x2-3x =x-m,即x2-4x+m=0。‎ ‎∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-‎4m=0,解得:m=4。‎ 此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴ D点坐标为(2,-2)。‎ ‎ (3) ∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),‎ ‎∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)。‎ 设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),‎ ‎∴4k2+3=4,解得:k2=。‎ ‎∴直线A'B的解析式是y=x+3。‎ ‎∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上。‎ ‎∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,‎ ‎∴ n+3=n2-3n,解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去)。‎ ‎∴ 点N的坐标为(-,)。‎ 如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,‎ 则N1(-,-),B1(4,-4)。‎ ‎∴O、D、B1都在直线y=-x上。‎ ‎∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。‎ ‎∴ ==。∴点P1的坐标为(-,-)。‎ 将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)。‎ 综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,)。‎ ‎【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。‎ ‎(2) 根据已知可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。‎ 由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标。‎ ‎(3) 综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB沿x 轴翻折。(或用旋转)求出P点坐标之后,该点关于直线y=-x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个。‎ 练习题:‎ ‎1(2011江苏南京7分)已知函数(是常数)。‎ ‎⑴求证:不论为何值,该函数的图象都经过轴上的一个定点;‎ ‎⑵若该函数的图象与轴只有一个交点,求的值。‎ ‎2. (2011甘肃兰州4分)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:‎ ‎(1)b2﹣‎4ac>0;(2)c>1;(3)‎2a﹣b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有【 】‎ ‎ A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 ‎3. (2011四川雅安3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果①b2>‎4ac;②abc>0;③‎2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0,则正确的结论是【 】 ‎ ‎ A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤‎ ‎4.(2011四川泸州2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②b2﹣‎4ac<0,③a﹣b+c>0,④‎4a﹣2b+c<0,其中正确结论的个数是【 】‎ ‎ A、1 B、‎2 ‎ C、3 D、4‎ ‎5. (2008湖北武汉3分)下列命题:‎ ‎ ①若a+b+c=0,则b2-‎4ac≥0;‎ ‎ ② 若 b>a+c, 则 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;‎ ‎ ③若 b=‎2a+‎3c,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;‎ ‎ ④若b2-‎4ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。‎ ‎ 其中正确的【 】‎ A、只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④‎ ‎6. (2009北京市7分)已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于的二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两个公共点时,的取值范围。‎ 一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外,还有许多其它应用,由于近年中考涉及不多,本文不多详谈。例如,‎ ‎ 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。‎ 例1:当m为何值时,关于x的二次三项式mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内因式分解。‎ 例2:如果关于x二次三项式在实数范围内不能分解因式,那么m的取值范围是 ▲ 。‎ 与平面几何相联系的问题。‎ 例1:已知:关于x的方程有两个相等的实数根,试判断以a,b,c为三边的三角形的形状。‎ 例2:已知a、b、c是三角形的三条边长,且关于x的方程有两个相等的实数根,试判断三角形的形状。‎ 例3:已知a,b,c是△ABC的三边,是关于x的一元二次方程,‎ ‎(1)若△ABC是直角三角形,且∠C=90°,试判断方程实根的个数;‎ ‎(2)若方程有两个相等的实数根,试求∠C的度数。‎ ‎ ‎
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