- 2021-05-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 26页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
天津2017中考数学题
2017年天津市中考数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算(﹣3)+5的结果等于( ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 2.cos60°的值等于( ) A. B.1 C. D. 3.在一些美术字中,有的汉子是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4.据《天津日报》报道,天津市社会保障制度更加成熟完善,截止2017年4月末,累计发放社会保障卡12630000张.将12630000用科学记数法表示为( ) A.0.1263×108 B.1.263×107 C.12.63×106 D.126.3×105 5.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( ) A. B. C. D. 6.估计的值在( ) A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 7.计算的结果为( ) A.1 B.a C.a+1 D. 8.方程组的解是( ) A. B. C. D. 9.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△ DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( ) A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠C C.AD∥BC D.AD=BC 10.若点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 11.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( ) A.BC B.CE C.AD D.AC 12.已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x﹣1 C.y=x2﹣2x+1 D.y=x2﹣2x﹣1 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 13.计算x7÷x4的结果等于 . 14.计算的结果等于 . 15.不透明袋子中装有6个球,其中有5个红球、1个绿球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 . 16.若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第二、四象限,则k的值可以是 (写出一个即可). 17.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为 . 18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上. (1)AB的长等于 ; (2)在△ABC的内部有一点P,满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) . 三、解答题(本大题共7小题,共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答. (1)解不等式①,得 ; (2)解不等式②,得 ; (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (4)原不等式组的解集为 . 20.某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,根据跳水运动员的年龄(单位:岁),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题: (1)本次接受调查的跳水运动员人数为 ,图①中m的值为 ; (2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数. 21.已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D. (1)如图①,求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小. 22.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数). 参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,取1.414. 23.用A4纸复印文件,在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件,一次复印页数不超过20时,每页收费0.12元;一次复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元. 设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数). (1)根据题意,填写下表: 一次复印页数(页) 5 10 20 30 … 甲复印店收费(元) 0.5 2 … 乙复印店收费(元) 0.6 2.4 … (2)设在甲复印店复印收费y1元,在乙复印店复印收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式; (3)当x>70时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由. 24.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点,点B(0,1),点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'. (1)如图①,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标; (2)如图②,当P为AB中点时,求A'B的长; (3)当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可). 25.已知抛物线y=x2+bx﹣3(b是常数)经过点A(﹣1,0). (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'. ①当点P'落在该抛物线上时,求m的值; ②当点P'落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值. 2017年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算(﹣3)+5的结果等于( ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 【考点】19:有理数的加法. 【分析】依据有理数的加法法则计算即可. 【解答】解:(﹣3)+5=5﹣3=2. 故选:A. 2.cos60°的值等于( ) A. B.1 C. D. 【考点】T5:特殊角的三角函数值. 【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案. 【解答】解:cos60°=, 故选:D. 3.在一些美术字中,有的汉子是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】P3:轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 【解答】解:A、不可以看作是轴对称图形,故本选项错误; B、不可以看作是轴对称图形,故本选项错误; C、可以看作是轴对称图形,故本选项正确; D、不可以看作是轴对称图形,故本选项错误. 故选C. 4.据《天津日报》报道,天津市社会保障制度更加成熟完善,截止2017年4月末,累计发放社会保障卡12630000张.将12630000用科学记数法表示为( ) A.0.1263×108 B.1.263×107 C.12.63×106 D.126.3×105 【考点】1I:科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于12630000有8位,所以可以确定n=8﹣1=7. 【解答】解:12630000=1.263×107. 故选:B. 5.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( ) A. B. C. D. 【考点】U2:简单组合体的三视图. 【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【解答】解:从正面看易得第一层有3个正方形,第二层中间有一个正方形. 故选D. 6.估计的值在( ) A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【考点】2B:估算无理数的大小. 【分析】利用二次根式的性质,得出<<,进而得出答案. 【解答】解:∵<<, ∴6<<7, ∴的值在整数6和7之间. 故选C. 7.计算的结果为( ) A.1 B.a C.a+1 D. 【考点】6B:分式的加减法. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案. 【解答】解:原式==1, 故选(A) 8.方程组的解是( ) A. B. C. D. 【考点】98:解二元一次方程组. 【分析】利用代入法求解即可. 【解答】解:, ①代入②得,3x+2x=15, 解得x=3, 将x=3代入①得,y=2×3=6, 所以,方程组的解是. 故选D. 9.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( ) A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠C C.AD∥BC D.AD=BC 【考点】R2:旋转的性质. 【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,推出△ABD是等边三角形,得到∠DAB=∠CBE,于是得到结论. 【解答】解:∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE, ∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD, ∴△ABD是等边三角形, ∴∠DAB=60°, ∴∠DAB=∠CBE, ∴AD∥BC, 故选C. 10.若点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据反比例函数的性质判断即可. 【解答】解:∵k=﹣3<0, ∴在第四象限,y随x的增大而增大, ∴y2<y3<0, ∵y1>0, ∴y2<y3<y1, 故选:B. 11.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( ) A.BC B.CE C.AD D.AC 【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KH:等腰三角形的性质. 【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC≥CE,推出P、C、E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE. 【解答】解:如图连接PC, ∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, ∴PB=PC, ∴PB+PE=PC+PE, ∵PE+PC≥CE, ∴P、C、E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE, 故选B. 12.已知抛物线y=x2﹣4x+ 3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x﹣1 C.y=x2﹣2x+1 D.y=x2﹣2x﹣1 【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H6:二次函数图象与几何变换. 【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A,B,M点坐标,进而得出平移方向,即可得出平移后解析式. 【解答】解:当y=0,则0=x2﹣4x+3, (x﹣1)(x﹣3)=0, 解得:x1=1,x2=3, ∴A(1,0),B(3,0), y=x2﹣4x+3 =(x﹣2)2﹣1, ∴M点坐标为:(2,﹣1), ∵平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上, ∴抛物线向上平移一个单位长度,再向左平移3个单位长度即可, ∴平移后的解析式为:y=(x+1)2=x2+2x+1. 故选:A. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 13.计算x7÷x4的结果等于 x3 . 【考点】48:同底数幂的除法. 【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案. 【解答】解:原式=x3, 故答案为:x3 14.计算的结果等于 9 . 【考点】79:二次根式的混合运算. 【分析】根据平方差公式进行计算即可. 【解答】解: =16﹣7 =9. 故答案为:9. 15.不透明袋子中装有6个球,其中有5个红球、1个绿球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 . 【考点】X4:概率公式. 【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 【解答】解:∵共6个球,有5个红球, ∴从袋子中随机摸出一个球,它是红球的概率为. 故答案为:. 16.若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第二、四象限,则k的值可以是 ﹣2 (写出一个即可). 【考点】F7:一次函数图象与系数的关系. 【分析】据正比例函数的性质;当k<0时,正比例函数y=kx的图象在第二、四象限,可确定k的取值范围,再根据k的范围选出答案即可. 【解答】解:∵若正比例函数y=kx的图象在第二、四象限, ∴k<0, ∴符合要求的k的值是﹣2, 故答案为:﹣2. 17.如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为 . 【考点】LL:梯形中位线定理;KQ:勾股定理;LE:正方形的性质. 【分析】延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H,则PH是△OAE的中位线,求得PH的长和HG的长,在Rt△PGH中利用勾股定理求解. 【解答】解:延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H. 则PH∥AB. ∵P是AE的中点, ∴PH是△AOE的中位线, ∴PH=OA=(3﹣1)=1. ∵直角△AOE中,∠OAE=45°, ∴△AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2, 同理△PHE中,HE=PH=1. ∴HG=HE+EG=1+1=2. ∴在Rt△PHG中,PG===. 故答案是:. 18.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上. (1)AB的长等于 ; (2)在△ABC的内部有一点P,满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度 的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) 如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N.连接DN,EM,DN与EM相交于点P,点P即为所求. . 【考点】N4:作图—应用与设计作图;KQ:勾股定理. 【分析】(1)利用勾股定理即可解决问题; (2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G.连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求. 【解答】解:(1)AB==. 故答案为. (2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G.连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求. 理由:平行四边形ABME的面积:平行四边形CDNB:平行四边形DEMG=1:2:3, △PAB的面积=平行四边形ABME的面积,△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积,△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积, ∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3. 三、解答题(本大题共7小题,共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答. (1)解不等式①,得 x≥1 ; (2)解不等式②,得 x≤3 ; (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (4)原不等式组的解集为 1≤x≤3 . 【考点】CB:解一元一次不等式组;C4:在数轴上表示不等式的解集. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据各不等式解集在数轴上的表示,由公共部分即可确定不等式组的解集. 【解答】解:(1)解不等式①,得:x≥1; (2)解不等式②,得:x≤3; (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (4)原不等式组的解集为1≤x≤3, 故答案为:x≥1,x≤3,1≤x≤3. 20.某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,根据跳水运动员的年龄(单位:岁),绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题: (1)本次接受调查的跳水运动员人数为 40 ,图①中m的值为 30 ; (2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数. 【考点】VC:条形统计图;VB:扇形统计图;W2:加权平均数;W4:中位数;W5:众数. 【分析】(1)频数÷所占百分比=样本容量,m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30; (2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可. 【解答】解:(1)4÷10%=40(人), m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30; 故答案为40,30. (2)平均数=(13×4+14×10+15×11+16×12+17×3)÷40=15, 16出现12次,次数最多,众数为16; 按大小顺序排列,中间两个数都为15,中位数为15. 21.已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D. (1)如图①,求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小. 【考点】MC:切线的性质. 【分析】(1)根据切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径,得∠ TAB=90°,根据三角形内角和得∠T的度数,由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数; (2)如图②,连接AD,根据等边对等角得:∠BCE=∠BEC=65°,利用同圆的半径相等知:OA=OD,同理∠ODA=∠OAD=65°,由此可得结论. 【解答】解:(1)如图①,∵连接AC, ∵AT是⊙O切线,AB是⊙O的直径, ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°, ∵∠ABT=50°, ∴∠T=90°﹣∠ABT=40°, 由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°, ∴∠CDB=∠CAB=40°; (2)如图②,连接AD, 在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°, ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65°, ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD=65°, ∵∠ADC=∠ABC=50°, ∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°. 22.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数). 参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,取1.414. 【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题. 【分析】如图作PC⊥AB于C.分别在Rt△APC,Rt△PCB中求解即可解决问题. 【解答】解:如图作PC⊥AB于C. 由题意∠A=64°,∠B=45°,PA=120, 在Rt△APC中,sinA=,cosA=, ∴PC=PA•sinA=120•sin64°, AC=PA•cosA=120•cos64°, 在Rt△PCB中,∵∠B=45°, ∴PC=BC, ∴PB==≈153. ∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64° ≈120×0.90+120×0.44 ≈161. 答:BP的长为153海里和BA的长为161海里. 23.用A4纸复印文件,在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件,一次复印页数不超过20时,每页收费0.12元;一次复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元. 设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数). (1)根据题意,填写下表: 一次复印页数(页) 5 10 20 30 … 甲复印店收费(元) 0.5 1 2 3 … 乙复印店收费(元) 0.6 1.2 2.4 3.3 … (2)设在甲复印店复印收费y1元,在乙复印店复印收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式; (3)当x>70时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由. 【考点】FH:一次函数的应用. 【分析】(1)根据收费标准,列代数式求得即可; (2)根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y1=0.1x(x≥0);当一次复印页数不超过20时,根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y2=0.12x,当一次复印页数超过20时,根据题意求得y2=0.09x+0.6; (3)设y=y1﹣y2,得到y与x的函数关系,根据y与x的函数关系式即可作出判断. 【解答】解:(1)当x=10时,甲复印店收费为:0,1× 10=1;乙复印店收费为:0.12×10=1.2; 当x=30时,甲复印店收费为:0,1×30=3;乙复印店收费为:0.12×20+0.09×10=3.3; 故答案为1,3;1.2,3.3; (2)y1=0.1x(x≥0); y2=; (3)顾客在乙复印店复印花费少; 当x>70时,y1=0.1x,y2=0.09x+0.6, ∴y1﹣y2=0.1x﹣(0.09x+0.6)=0.01x﹣0.6, 设y=0.01x﹣0.6, 由0.01>0,则y随x的增大而增大, 当x=70时,y=0.1 ∴x>70时,y>0.1, ∴y1>y2, ∴当x>70时,顾客在乙复印店复印花费少. 24.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点,点B(0,1),点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'. (1)如图①,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标; (2)如图②,当P为AB中点时,求A'B的长; (3)当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可). 【考点】RB:几何变换综合题. 【分析】(1)由点A和B的坐标得出OA=,OB=1,由折叠的性质得:OA'=OA=,由勾股定理求出A'B==,即可得出点A'的坐标为(,1); (2)由勾股定理求出AB==2,证出OB=OP=BP,得出△BOP是等边三角形,得出∠BOP=∠BPO=60°,求出∠OPA=120°,由折叠的性质得:∠OPA'=∠OPA=120°,PA'=PA=1,证出OB∥PA',得出四边形OPA'B是平行四边形,即可得出A'B=OP=1; (3)分两种情况:①点A'在y轴上,由SSS证明△OPA'≌△OPA,得出∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°,得出点P在∠AOB的平分线上,由待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+1,即可得出点P的坐标; ②由折叠的性质得:∠A'=∠A=30°,OA'=OA,作出四边形OAPA'是菱形,得出PA=OA=,作PM⊥OA于M,由直角三角形的性质求出PM=PA=,把y=代入y=﹣x+1求出点P的纵坐标即可. 【解答】解:(1)∵点,点B(0,1), ∴OA=,OB=1, 由折叠的性质得:OA'=OA=, ∵A'B⊥OB, ∴∠A'BO=90°, 在Rt△A'OB中,A'B==, ∴点A'的坐标为(,1); (2)在Rt△ABO中,OA=,OB=1, ∴AB==2, ∵P是AB的中点, ∴AP=BP=1,OP=AB=1, ∴OB=OP=BP ∴△BOP是等边三角形, ∴∠BOP=∠BPO=60°, ∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°, 由折叠的性质得:∠OPA'=∠OPA=120°,PA'=PA=1, ∴∠BOP+∠OPA'=180°, ∴OB∥PA', 又∵OB=PA'=1, ∴四边形OPA'B是平行四边形, ∴A'B=OP=1; (3)设P(x,y),分两种情况: ①如图③所示:点A'在y轴上, 在△OPA'和△OPA中,, ∴△OPA'≌△OPA(SSS), ∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°, ∴点P在∠AOB的平分线上, 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把点,点B(0,1)代入得:, 解得:, ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1, ∵P(x,y), ∴x=﹣x+1, 解得:x=, ∴P(,); ②如图④所示: 由折叠的性质得:∠A'=∠A=30°,OA'=OA, ∵∠BPA'=30°, ∴∠A'=∠A=∠BPA', ∴OA'∥AP,PA'∥OA, ∴四边形OAPA'是菱形, ∴PA=OA=,作PM⊥OA于M,如图④所示: ∵∠A=30°, ∴PM=PA=, 把y=代入y=﹣x+1得: =﹣x+1, 解得:x=, ∴P(,); 综上所述:当∠BPA'=30°时,点P的坐标为(,)或(,). 25.已知抛物线y=x2+bx﹣3(b是常数)经过点A(﹣1,0). (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'. ①当点P'落在该抛物线上时,求m的值; ②当点P'落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】(1)把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值,则可求得抛物线解析式,进一步可求得其顶点坐标; (2)①由对称可表示出P′点的坐标,再由P和P′都在抛物线上,可得到关于m的方程,可求得m的值;②由点P′在第二象限,可求得t的取值范围,利用两点间距离公式可用t表示出P′A2,再由点P′在抛物线上,可用消去m,整理可得到关于t的二次函数,利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值,则可求得m的值. 【解答】解: (1)∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A(﹣1,0), ∴0=1﹣b﹣3,解得b=﹣2, ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3, ∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴抛物线顶点坐标为(1,﹣4); (2)①由P(m,t)在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3, ∵点P′与P关于原点对称, ∴P′(﹣m,﹣t), ∵点P′落在抛物线上, ∴﹣t=(﹣m)2﹣2(﹣m)﹣3,即t=﹣m2﹣2m+3, ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3,解得m=或m=﹣; ②由题意可知P′(﹣m,﹣t)在第二象限, ∴﹣m<0,﹣t>0,即m>0,t<0, ∵抛物线的顶点坐标为(1,﹣4), ∴﹣4≤t<0, ∵P在抛物线上, ∴t=m2﹣2m﹣3, ∴m2﹣2m=t+3, ∵A(﹣1,0),P′(﹣m,﹣t), ∴P′A2=(﹣m+1)2+(﹣t)2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=(t+)2+; ∴当t=﹣时,P′A2有最小值, ∴﹣=m2﹣2m﹣3,解得m=或m=, ∵m>0, ∴m=不合题意,舍去, ∴m的值为. 2017年6月29日查看更多