2009年福建省三明市中考数学试题及答案

2009年福建省三明市中考数学试题及答案

‎2009年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试 数 学 试 题 ‎（满分：150分 考试时间：‎6月21日上午8﹕30—10﹕30）‎ ‎★友情提示：‎ ‎1．本试卷共4页．‎ ‎2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上．‎ ‎3．答题要求见答题卡上的“注意事项”．‎ ‎4．未注明精确度、保留有效数字等的计算问题，结果应为准确数．‎ ‎5．抛物线的顶点坐标为，对称轴．‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）‎ ‎1．6的相反数是（ ）‎ A． 6 B． C． D．‎ ‎2．2008年末我市常住人口约为2630000人，将2630000用科学记数法表示为（ ）‎ A． 　　　B．　 C． 　 D．‎ ‎3．下列计算正确的是 （ ）‎ A． 　　B． 　C． 　D．‎ ‎4．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列事件是必然事件的是（ ）‎ A．打开电视机，正在播电视剧 B．小明坚持体育锻炼，今后会成为奥运冠军 C．买一张电影票，座位号正好是偶数 D．13个同学中，至少有2人出生的月份相同 ‎6．九年级（1）班10名同学在某次“1分钟仰卧起坐”的测试中，成绩如下（单位：次）：39，45，40，44，37，39，46，40，41，39，这组数据的众数、中位数分别是（ ）‎ A．39，40 B．39，‎38 C．40，38 D．40，39‎ ‎7．如图, △ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移得到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（ ）‎ A． B．AC⊥BD ‎ ‎ C．四边形ABCD 面积为 D．四边形ABED是等腰梯形 ‎8．点P （2，1）关于直线y=x对称的点的坐标是（ ）‎ A．（，1） B．（2，） C．（，） D．（1，2）‎ ‎9．如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积 是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，直线和双曲线（）交于A、B两点，P是线 段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴 作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC 的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，‎ 则有（ ）‎ A． 　B． ‎ ‎ C． D．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卡的相应位置）‎ ‎11．化简：=　　　　．‎ ‎12． 分解因式：=　　　　．‎ ‎13． 已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是　　　　．‎ ‎14． 如图，△ABC 内接于⊙O，∠C=，AB=5，则⊙O的直径为 　　　　．‎ ‎15．袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外都相同．随机从中 摸出一球，记下颜色后放回袋中，再随机摸出一球，则两次都摸到 红球的概率是　　　　．‎ ‎16．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有　　　　个点．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎……‎ 三、解答题（共7小题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置．作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水笔描黑）‎ ‎17．（每小题8分，满分16分）‎ ‎（1）化简：； ‎ ‎（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎18．（本题满分10分）‎ 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量A、B间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中．．．表示长度，，，．．．表示角度）．‎ ‎（第18题备用图）‎ ‎（1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：‎ 图①AB= ，图②AB= ，图③AB= ；（6分）‎ ‎（2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法,画出示意图（不要求写画法），用字母 标注需测量的边或角,并写出AB的长度． （4分）‎ ‎19．（本题满分10分）‎ ‎2009年4月1日‎《三明日报》发布了“2008年三明市国民经济和社会发展统计公报”，根据其中农林牧渔业产值的情况，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎（1）2008年全市农林牧渔业的总产值为 　　　　　 亿元；（2分）‎ ‎（2）扇形统计图中林业所在扇形的圆心角为 　　　　 度（精确到度）；（2分）‎ ‎（3）补全条形统计图；（2分）‎ ‎（4）三明作为全国重点林区之一，市政府大力发展林业产业，计划2010年林业产值达60.5亿元，求今明两年林业产值的年平均增长率． （4分）‎ ‎ ‎ ‎20． （本题满分12分）‎ 如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．‎ ‎（1）说明点D在△ABE的外接圆上；（6分）‎ ‎（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．（6分）‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：‎ ‎（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润、与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（4分）‎ ‎（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（4分）‎ ‎（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？（4分）‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）． ‎ ‎（1）求证：BM=DN；‎ ‎（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求的值． ‎ ‎23．（本题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A（1，0）、‎ B（5，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（4分）‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为（）．‎ ‎①当等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？（5分）‎ ‎②设，求s与t之间的函数关系式．（5分）‎ ‎2009年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试 数学试卷参考答案及评分标准 说明：以下各题除本卷提供的解法外，其他解法本标准不一一例举，评卷时可参考评分标准，按相应给分段评分．用计算器计算的部分，列式后可直接得到结果．‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ ‎1． B 2． C 3． B 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎11． 12． 13． 7 14． 10 15． 16． ‎ 三、解答题（共86分）‎ ‎17．（1）解法一：原式= 3分 ‎= 5分 ‎ = 7分 ‎ =2 8分 解法二：原式=（） 2分 ‎ =+ 4分 ‎ = 6分 ‎ = 7分 ‎=2 8分 ‎（2）解：解不等式①，得 ， 3分 ‎ 解不等式②，得 ， 6分 ‎ 不等式①、②的解集在数轴上表示如下：‎ ‎ 7分 ‎ ∴不等式组的解集为． 8分 ‎18．解：（1）① ② ③ （每空2分）‎ ‎ （2）示意图正确2分，AB表示正确2分．（注：本题方法多种，下面列出3种供参考）‎ AB=‎ AB=‎ 方法1： ‎ AB=c AB=‎ 方法2： 方法3： ‎ ‎19．解：（1） 221 （2） 81 （每空2分）‎ ‎ （3）补全条形统计图正确（2分）‎ ‎ ‎ ‎ （4）设今明两年林业产值的年平均增长率为． ‎ ‎ 根据题意，得 ‎ 2分 解得：=10% ，（不合题意，舍去） 3分 答：今明两年林业产值的年平均增长率为10%． 4分 ‎20．（1）证法一：∵∠B=90°， ∴AE是△ABE外接圆的直径． …1分 取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD． 2分 ‎∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO，‎ ‎∴△AOB≌△AOD． 4分 ‎∴OD=OB． 5分 ‎∴点D在△ABE的外接圆上． 6分 证法二：∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圆的直径． 1分 ‎∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，‎ ‎∴△ABE≌△ADE． 3分 ‎∴∠ADE=∠B=90°． 4分 取AE的中点O， 则O为圆心，连接OD，则OD=AE． ‎ ‎∴点D在△ABE的外接圆上． 6分 ‎（2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切． 7分 理由：∵AB∥CD， ∠B=90°． ∴∠C=90°． 8分 ‎∴∠CED+∠CDE=90°． 9分 又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED． 10分 又∠AED=∠CED， ∴∠ODE=∠DEC．‎ ‎∴∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°． 11分 ‎∴CD与△ABE的外接圆相切． 12分 证法二： 直线CD与△ABE的外接圆相切． 7分 理由：∵AB∥CD， ∠B=90°． ∴∠C=90°． 8分 又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED． 9分 又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC． 10分 ‎∴OD∥BC．‎ ‎∴． 11分 ‎∴CD与△ABE的外接圆相切． 12分 ‎21．解：（1） （1≤x≤200，x为正整数） 2分 ‎ （1≤x≤120，x为正整数） 4分 ‎（2）①∵3＜a＜8， ∴10-a＞0，即随x的增大而增大 ， 5分 ‎∴当x=200时，最大值=（10-a）×200=2000-200a（万美元） 6分 ‎ ② 7分 ‎∵-0.05＜0， ∴x=100时， 最大值=500（万美元） 8分 ‎（3）由2000-200a＞500，得a＜7.5， ‎ ‎∴当3＜a＜7.5时，选择方案一； 9分 由，得 ，‎ ‎∴当a=7.5时，选择方案一或方案二均可； 10分 由，得 ，‎ ‎∴当7.5＜a＜8时，选择方案二． 12分 ‎22．（1）证法一：连接BD，则BD过点O．‎ ‎∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN． 1分 又OB=OD， ∠BOM=∠DON， 2分 ‎∴△OBM≌△ODN． 3分 ‎∴BM=DN． 4分 证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心． 1分 ‎∴B、D和M、N关于O点中心对称． 3分 ‎ ∴BM=DN． 4分 ‎（2）证法一：∵矩形ABCD，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC． ‎ ‎ 又BM=DN， ∴AN=CM． 5分 ‎ ∴四边形AMCN是平行四边形． 6分 由翻折得，AM=CM， 7分 ‎∴四边形AMCN是菱形． 8分 证法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，‎ ‎∠AMN=∠CMN． 5分 ‎∵AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN．‎ ‎∴∠AMN=∠ANM． ∴AM=AN． 6分 ‎∴AM=MC=CN=NA． 7分 ‎∴四边形AMCN是菱形． 8分 ‎（3）解法一：∵，，‎ 又：=1︰3，‎ ‎∴DN︰CM=1︰3 9分 设DN=k，则CN=CM=3k．‎ 过N作NG⊥MC于点G，‎ 则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． 10分 NG=‎ ‎∴MN= 11分 ‎∴ ． 12分 解法二：∵，，‎ 又：=1︰3， ∴DN︰CM=1︰3 9分 连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN．‎ 设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4 k．‎ CD= 10分 OC=‎ ‎∴MN= 11分 ‎∴ ． 12分 ‎23．解：（1）根据题意，得 1分 ‎ 解得 2分 ‎∴ 3分 ‎ =‎ ‎∴顶点C的坐标为（3，2）． 4分 ‎（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，‎ ‎ ∴∠DCB=∠CBD=45°． 5分 ⅰ）若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5°．‎ ‎∴当=22.5°时，△CPQ是等腰三角形． 6分 ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，‎ 此时点Q与D重合，点P与A重合．‎ ‎∴当=45°时，‎ ‎△CPQ是等腰三角形． 7分 ‎ ⅲ）若PC=PQ， ∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．‎ ‎∴=0°，不合题意． 8分 ‎∴当=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形． 9分 ‎②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，‎ ‎∴∠ACD=∠CAD=， AC= BC= 10分 ⅰ）当时，‎ ‎∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45°．‎ ‎∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45°．‎ ‎∴∠ACQ=∠BPC． 11分 又∵∠CAQ=∠PBC=45°，‎ ‎∴△ACQ∽△BPC． ‎ ‎∴．‎ ‎∴AQ·BP=AC·BC=×=8 12分 ⅱ）当时，同理可得AQ·BP=AC·BC=8 13分 ‎∴． 14分