中考数学综合训练几何探究题

中考数学综合训练几何探究题

‎2011年中考数学综合训练（几何探究题）‎ ‎1、两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．‎ ‎（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______‎ 和位置关系为_____；‎ ‎（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；‎ A B D E C H F G 图3‎ A B D E C H F G 图1‎ 图2‎ A B D E C H F G ‎（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.‎ ‎2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG。‎ ‎(2)若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；.‎ ‎(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；‎ ‎3. 在中，AC=BC，，点D为AC的中点．‎ ‎（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．‎ ‎（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．‎ ‎4、（1）如图1所示，在四边形中，=，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明； ‎ ‎（2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；‎ ‎（3）如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，联结并延长，与的延长线交于点，若，判断点与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．‎ 图 1 图2 图3‎ ‎5.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放 在D处．‎ ‎(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．‎ ‎(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．‎ 设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎6.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．‎ ‎(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．‎ ‎(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．‎ ‎(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．‎ ‎7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．‎ ‎(1)证明：PC＝2AQ．‎ ‎(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．‎ ‎6.‎ y x A C O D B ‎2011年中考数学训练（与函数有关的综合题）‎ ‎1、如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，‎ 已知OA＝，点B的坐标为(m，－2)，tan∠AOC＝．‎ ‎(1)求反比例函数的解读式；‎ ‎(2)求一次函数的解读式；‎ O A B C B1‎ D y x ‎(3)在y轴上存在一点P，使△PDC与△CDO相似，求P点的坐标．‎ ‎2、如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：‎ ‎|OA－2|＋(OC－2)2＝0．‎ ‎(1)求B、C两点的坐标．‎ ‎(2)把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1线段与x轴交于点D，‎ 求直线BB1的解读式．‎ ‎(3)在直线BB1上是否存在点P使△ADP为直角三角形？若存在，‎ 请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x B A O C D ‎3、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)，‎ 其中m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m＜n，．‎ ‎(1)求抛物线的解读式；‎ ‎(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；‎ ‎(3)P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．‎ ‎4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．‎ ‎ （1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；‎ ‎（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？‎ ‎（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（备用图）‎ y x A C O D B P E ‎1．(1)过点作⊥轴，垂足为.‎ 点的坐标为(3，1)．‎ 点在双曲线上，，．‎ 双曲线的解读式 为．‎ ‎(2)点在双曲线上，‎ ‎．‎ 点的坐标 为． ……‎ 一次函数的解读式 为．‎ ‎(3)两点在直线上，的坐标分别是．‎ ‎，．‎ 过点作，垂足为点．‎ ‎，‎ 又，点坐标为．‎ ‎3．y x B A O C 第25题图 D E (1)解方程，得．‎ 由m＜n，知m=1，n=5．‎ ‎∴A(1，0)，B(0，5)． ………………………1分 ‎∴解之，得 所求抛物线的解读式为 ……3分 ‎(2)由得故C的坐标为(-5，0)． ………4分 由顶点坐标公式，得D(-2，9)．………………………………………………5分 过D作DE⊥x轴于E，易得E(-2，0)．‎ ‎=15．…………………………………………7分 ‎(注：延长DB交x轴于F,由也可求得)‎ ‎(3)设P(a，0)，则H(a，)．‎ 直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点 ‎()在直线BC上．‎ 易得直线BC方程为：‎ ‎∴‎ 解之得(舍去)．故所求P点坐标为(-1，0)．‎ ‎4．解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）‎ ‎（2）∵S△OMP =×OM×，‎ ‎∴S =×（6 -t）×=+2t．‎ ‎ ＝（0 < t <6）．‎ ‎∴当时，S有最大值．‎ ‎（3）存在．‎ 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），‎ 则直线ON的函数关系式为：．‎ ‎（备用图）‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为．‎