中考数学第二轮复习全套精讲精练

中考数学第二轮复习全套精讲精练

第二轮复习一 化归思想 Ⅰ、专题精讲：‎ ‎ 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．‎ ‎ 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点．‎ ‎ （1）求 A、B两点的坐标；‎ ‎ （2）求△AOB的面积．‎ ‎ 解：⑴解方程组 得 ‎ 所以A、B两点的坐标分别为A（－2，4）B(4，－2‎ ‎（2）因为直线y=－x+2与y轴交点D坐标是(0， 2）， ‎ 所以 所以 ‎ 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．‎ ‎【例2】解方程： ‎ ‎ 解：令y= x—1，则2 y2—5 y +2=0．‎ ‎ 所以y1=2或y2=，即x—1＝2或x—1=．‎ ‎ 所以x＝3或x= 故原方程的解为x＝3或x= ‎ 点拨：很显然，此为解关于x－1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x—1）所以可将设为y，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了．‎ ‎【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．‎ ‎ 解：过 D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE．所以BE=BC+CE=8．‎ ‎ 因为 AC⊥BD，所以BD⊥DE．‎ ‎ 因为 AB=CD， 所以AC＝BD．所以GD=DE．‎ ‎ 在Rt△BDE中，BD2＋DE2=BE2‎ ‎ 所以BD＝BE=4，即AC=4.‎ ‎ 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．‎ ‎【例4】已知△ABC的三边为a，b，c，且，试判断△ABC的形状．‎ ‎ 解：因为，‎ 所以，‎ 即： ‎ ‎ 所以a=b，a=c， b=c ‎ 所以△ABC为等边三角形．‎ ‎ 点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．‎ ‎【例5】△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与c2的关系，并证明你的结论．‎ ‎ 证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。‎ 设CD为，则有 ‎ 根据勾股定理，得．‎ 即。 ∵，‎ ‎∴，∴。‎ 点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.‎ Ⅲ、同步跟踪配套试题：‎ ‎（60分 45分钟）‎ 一、选择题（每题 3分，共 18分）‎ ‎1．已知|x+y|+（x－2y）2=0，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2．一次函数y=kx＋b的图象经过点A（0，－2）和B（－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ）‎ ‎ ‎ ‎3．设一个三角形的三边长为3，l－2m，8，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．0＜m＜ B. －5＜m－ 2 C．－2＜m ＜5 D．－＜m＜－l ‎4．已知的值为（ ）‎ ‎ A、 B、－ C、 D、－ ‎5．若是完全平方式，则m=（ ）‎ ‎ A．6 B．4 C．0 D．4或0‎ ‎6．如果表示a、b为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l－8所示，那么化简的结果等于（ ），‎ ‎ A．2a B．2b C．－2a D．－2b 二、填空题（每题2分，共u分）‎ ‎7．已知抛物线的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．‎ ‎8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x＋l写成 y=（x+m）2＋n的形式，则y=____________。‎ ‎9．若分式的值为零，则x=________。‎ ‎10函数y=中自变量x的取值范围是_______.‎ ‎11如果长度分别为5、3、x的三条线段能组成一个三角形，那么x的范围是_______.‎ ‎12 点（1，6）在双曲线y= 上，则k=______．‎ 三、解答题（l题12分，其余每题6分，共30分）‎ ‎13．解下歹方程（组）：‎ ‎ （1）; (2) ‎ ‎ (3) (4) ‎ ‎14．已知 ‎ ‎15．如图3－l－9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60○，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长．‎ ‎16．求直线y=3x＋1与y=1－5x的交点坐标。‎ ‎ Ⅳ、同步跟踪巩固试题 （100分 80分钟） ‎ 一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．若，则xy值等于（ ）‎ ‎ A．－6 B． －2 C．2 D．6‎ ‎2．二元一次方程组的解是（ ）‎ ‎ ‎ ‎3．已知是关于x的二元一次方程，则m、n的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4．下列各组数中既是方程x—2y=4，又是方程2x+2y =1的解的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．函数中，自变量x的取值范围是（ ）‎ ‎ A．x≥2 B．x≥0 C．x≥－2 D．x≤2‎ ‎6．若分式值为零，则x的值是（ ）‎ ‎ A．0或－2 B．－2 C．0 D．2或－2‎ ‎7. 计算:=( )‎ ‎ ‎ ‎8.已知 x,y是实数，且，axy-3x=y,则a=( )‎ ‎ ‎ ‎9. 已知y=kx+b,x=1时,y=1；x=2,y=-2, 则k与b的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10 若的解，则（a＋b）（a－b）的值为（ ）‎ ‎ C．－16 D．16‎ 二、填空题（每题 3分，共21分）‎ ‎12若,则x+ 2 y=______．‎ ‎13两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x(cm）的范围是___________;‎ ‎14 若，则=__________;‎ ‎15 若点关于原点对称，则关于x的二次三项式可以分解为=____________________.‎ ‎16已知点在同一条直线上，则m=____________.‎ ‎17 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：‎ ‎.‎ 三、解答题（18、19题各10分，20、21 题各8分，22题13分，共49分）‎ ‎18已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板 ABCDEF，其中∠A＝∠D＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F=120°，AB=10cm，BC=70cm，CD=20cm，DE=4 0cm，求A F和EF的长．‎ ‎19已知：如图3-1－12所示，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC＝100°，∠DEC=80°，求.‎ ‎20 如图 3－1－13所示，正方形边长为山以各边为直径在正方形内画半圆．求所围成图形（阴影部分）的面积。‎ ‎21 △ABC的三边长为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长．‎ ‎22 已知二次函数的图象经过点A（－3，6）并且与x轴相交于点B（－1，0）和点C，顶点为P（如图3－1－14）‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）设D为线段OC上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标 第二轮复习二 分类讨论 Ⅰ、专题精讲：‎ ‎ 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．‎ ‎ 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．‎ ‎ 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD＝2OB＝4OA＝4，‎ 得A（0，－1），B（－2，0），D（－4，0）．‎ 设一次函数解析式为y＝kx＋b．　　　　　　　 点A，B在一次函数图象上，‎ ‎∴ 即 则一次函数解析式是　　　　 ‎ 点C在一次函数图象上，当时，，即C（－4，1）． ‎ 设反比例函数解析式为．　　　　　 点C在反比例函数图象上，则，m＝－4． 故反比例函数解析式是：．　　‎ 点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。‎ ‎【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D. ‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；‎ ‎（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。‎ 解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0，），‎ 设解析式为y＝kx＋b，则b＝，k＝，‎ 所以直线l的解析式为. ‎ ‎（2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。‎ 在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－＝30－，‎ 所以直线l平移的速度为每秒（6－）个单位。‎ ‎（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2‎ 于是可得：‎ 所以FG·A O2＝，即其值不变。‎ 点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．‎ ‎【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．‎ ‎(1)求过A、C两点直线的解析式；‎ ‎(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；‎ ‎(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．‎ 解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x－‎ ‎(2)抛物线y=ax2－5x+4a．∴顶点N的坐标为(－，－a)．‎ 由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，‎ 又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．‎ ‎(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x 在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF= ‎【例4】在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) ‎ ‎ 解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；‎ 以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得，‎ ‎，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和。‎ 点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．‎ Ⅲ、同步跟踪配套试题 ‎（60分 45分钟）‎ 一、选择题（每题 3分，共 15分）‎ ‎1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（ ） ‎ ‎ A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650‎ ‎2．若 ‎ A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1‎ ‎3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）‎ ‎ A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定 ‎4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ）‎ ‎ A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500‎ ‎5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（ ）‎ A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14‎ 二、填空题（每题3分，共15分）‎ ‎6．已知_______. ‎ ‎7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.‎ ‎8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为__________.‎ ‎9．已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________.‎ ‎10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的值是______.‎ 三、解答题（每题10分，共30分）‎ ‎11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．‎ ‎12 解关于x的方程．‎ ‎13 已知：如图3－2－8所示，直线切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？‎ Ⅳ、同步跟踪巩固试题 ‎（10分 60分钟） ‎ 一、选择题（每题4分，共20分）‎ ‎1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ）‎ ‎ A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18‎ ‎2．已知的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3．若值为（）‎ ‎ A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或0‎ ‎4．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5．在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（ ）‎ ‎ A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个 二、填空题（每题4分，共24分）‎ ‎6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．‎ ‎7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．‎ ‎8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．‎ ‎9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．‎ ‎10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．‎ ‎11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.‎ 三、解答题（56分）‎ ‎12．（8分）化简.‎ ‎13．（9分）抛物线 与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．‎ ‎14．（13分）已知关于 x的方程.‎ ‎⑴ 当k为何值时，此方程有实数根；‎ ‎⑵ 若此方程的两实数根x1，x2满足，求k的值．‎ ‎15．(13分)抛物线经过点A (1，0)．‎ ‎⑴ 求b的值；‎ ‎⑵ 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．‎ ‎16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． ‎ 第二轮复习三 数形结合 Ⅰ、专题精讲：‎ ‎ 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：‎ ‎ （1）求y1与y2的函数解析式；‎ ‎ （2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？‎ ‎ （3）果你是推销员，应如何选择付费方案？‎ ‎ 解：（1）y1=20x，y2=10x+300．‎ ‎ （2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．‎ ‎ （3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．‎ 点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.‎ ‎【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？‎ 答题要求：‎ ‎（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．‎ 解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同． ‎ 点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．‎ ‎【例3】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示的条形统计图：‎ ‎⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；‎ ‎⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－3所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？‎ ‎⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。 ‎ 解：⑴：参加调查的人数为5000人；‎ ‎ 说明：只要符合题意，均得满分．‎ ‎ ⑵如图3－3－5所示：‎ ‎ 条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．‎ ‎ 说明：第二版、第三版所对应的两个扇形中非公共边不在一条直线上的得0分．‎ ‎ ⑶如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．‎ ‎ 说明：只要意义说到、表达基本正确即可得满分．‎ ‎ 点拨。统计分布图在中考中出现的越来越多，而统计图又分为：条形。扇形、折线，从统计图中获得的信息是我们必须掌握的．‎ Ⅲ、同步跟踪配套试题：‎ ‎（60分 45分钟）‎ 一、选择题（每题3分，共18分）‎ ‎1．实数a、b上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则等于（ ）‎ ‎ A．a B．a－2b C．－a D．b－a ‎2．不等式组的解集在数轴上，图3－3－7所示）表示应是（ ）‎ ‎3．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ）‎ ‎ A．8 B．64 C．16 D．32‎ ‎ ‎ ‎4．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 c ‎（件）关于时间t（月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说（ ）‎ ‎ A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少；‎ ‎ B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平；‎ ‎ C、1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产；‎ ‎ D、1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产。‎ ‎5．某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图 3－3－10所示，正确的是（ ）‎ ‎6、如图3－3－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90○，AB=13，BC=5，则以AC为直径的半圆的面积为（ ）‎ ‎ A．6π B．12π C．36π D．18π 二、填空题（每题3分，共12分）‎ ‎7．a，b，c是三角形的三条边，则关于x的一次函数的图象不经过第_______限．‎ ‎8．若一次函数的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是_______.‎ ‎9．若点P（1，a）和Q（－1，,b）都在抛物线上，则线 段PQ的长是_______。‎ ‎10 已知抛物线经过A（－1，0），B （3，0）， C(2，6）三点，与y轴的交点为D，则△ABD的面积为________.‎ 三、解答题（每题10分，共30分）‎ ‎11 甲、乙、丙三人共解出100道数学题．每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫难题，三人都解出的题叫容易题．试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道？‎ ‎12 如图3－3－12所示，ΔAOB为正三角形，点A、B的坐标分别为，求a，b的值及△AOB的面积． ‎ ‎13 在直径为AB的半圆内，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8．现要建造一个内接于△ABC的矩形水池 DEFN，其中，DE在 AB上，如图3－3－13所示的设计方案是使AC=8，BC=6．‎ ‎⑴ 求△ABC中AB边上的高h；‎ ‎⑵ 设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？‎ ‎⑶ 实际施工时，发现在AB上距B点l．85处有一棵大树．问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．‎ Ⅳ、同步跟踪巩固试题 ‎（80分 70分钟）‎ 一、选择题（每题4分，共36分）‎ ‎1．实数a、b、c在数轴上的位置如图3－3－14 所示，化简 的结果是（ ）‎ ‎ A．a＋c B．－a－2b+c C．a+2b －c D．－a－c ‎2．若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是（ ）‎ ‎ A．－ B．－ C．－ D．－2‎ ‎3．如图3－3－15中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（ ）‎ ‎4．如图3－3－16所示，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A坐标为（－2，0），点B在x轴上方，设A B=a，那么点B的横坐标为（ ）‎ ‎ A．2－ B．2＋ C．－2－ D．－2+ ‎5．实数a、b、c在数轴上对应点位置如图3－3－17所示，下式中正确的是（ ）‎ ‎ A．b+c＞0 B．a+b＜a＋c C．ac＞bc D．ab＞ac ‎ ‎ ‎6．在边长为a。的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)（如图3－3－18（l）），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图3－3－18⑵），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）‎ ‎ A．； B．；‎ C．； D．‎ ‎7．已知关于x的不等式2x－a＞－3的解集如图3－3－19所示，则a的值等于（ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．－1 D．2‎ ‎8．如图3－3－20所示，在反比例函数y= (k＞0）的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴，y轴围成的面积分别为S1，S2，S3，则（ ）‎ ‎ A．S1＞S2＞S3 B．S1＜S2 ＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S1=S2 =S3‎ ‎9．如图3－3－21（1）所示，在大房间一面墙壁上，边长为15 cm的正六边形A如图3－3－21（2）所示）横排20片和以其一部分所形成的梯形B，三角形C、D上，菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起．已知墙壁高3．3m，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F瓷砖需使用（ ） ‎ ‎ A．220片 B．200片 C．180片 D．190片 ‎ ‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎10 如图3－3－22所示，在平面直角坐标系中，∠AOB =150○，OA＝OB=2，则点A、B的坐标分别是______________和_________．‎ ‎11实数p在数轴上的位置如图3－3－23所示，化简。‎ ‎12已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．‎ ‎⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.‎ ‎⑵ 方程组的解是_____________。‎ ‎13 已知二次函数与一次函数 y2=kx+ m（k≠0）的图象相交于点 A（－2，4），B（8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．‎ 三、解答题(28分)‎ ‎14 (8分)如图3－3－26，以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9，16，求以斜边为边长的正方形DEFG的面积．‎ ‎15 (8分)如图3－3－27所示，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，求两转盘静止后恰为如图情形(即大转盘与小转盘的标号相对应）的概率________．‎ ‎16 (10分）如图3－3－28所示，在梯形 ABCD中，BC∥AD，∠A= 90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点(不与 B、C重合〕设 BP=x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取 ‎ 值范围．‎ 第二轮复习四 怎样解选择题 Ⅰ、专题精讲：‎ ‎ 选择题是中考试题中必有的固定题型，它具有考查面宽、解法灵活、评分客观等特点．选择题一般由题干（题没）和选择支（选项）组成．如果题干不是完全陈述句，那么题干加上正确的选择支，就构成了一个真命题；而题干加上错误的选择支，构成的是假 命题，错误的选择支也叫干扰支，解选择题的过程就是通过分析、判断、推理用除干扰支，得出正确选项的过程.‎ ‎ 选择题的解法一般有七种：‎ ‎1．直接求解对照法：直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项．‎ ‎2．排除法：有些选择题可以根据题设条件和有关知识，从4个答案中，排除3个答案，根据答案的唯一性，从而确定正确的答案，这种方法也称为剔除法或淘汰法或筛选法．‎ ‎3．特殊值法：根据命题条件．’选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答案．‎ ‎4．作图法：有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的直观性从中找出正确答案．这种应用“数形结合”来解数学选择题的方法，我们称之为“作图法”．‎ ‎5．验证法：直接将各选择支中的结论代人题设条件进行检验，从而选出符合题意的答案．‎ ‎6．定义法：运用相关的定义、概念、定理、公理等内容，作出正确选择的一种方法．‎ ‎7．综合法：为了对选择题迅速、正确地作出判断，有时需要综合运用前面介绍的几种方法．‎ ‎ 解选择题的原则是既要注意题目特点，充分应用供选择的答案所提供的信息，又要有效地排除错误答案可能造成的于抗，须注意以下几点：（1）要认真审题；（2）要大胆猜想；（3）要小心验证；（4）先易后难，先简后繁．‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（ ）‎ ‎ A．2 B．8 C．2或8 D．1或4‎ ‎ 解：C 点拨：本题可采用“直接求解对照法”．两圆相切分为内切和外切，当两圆内切时，它们的圆心距为：5—3=2，当两圆外切时，它们的圆心距为：3+5=8．‎ ‎【例2】如图3－4－1所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（ ）‎ ‎ A．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c ‎ 解：C 点拨：根据图形可知：2a=3b，2b=3c，所以a＞b，b＞c．因此a＞c，所以选择C．‎ ‎【例3】已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）‎ ‎ A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限 ‎ C第二、三、四象限； D．第一、三、四象限 ‎ 解：B 点拨：本题可采用“定义法”．因为y随x的增大而减小，所以k＜0．因此必过第二、四象限，而－k＞0．所以图象与y轴相交在正半轴上，所以图象过第一、二、四象限.‎ ‎【例4】下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 解：B 点拨：本题可采用“定义法”分别计算每个自变量x的取值范围，A．x≤2； B．x≥2；C．－2≤x≤2； D．x＞2．通过比较选择B．‎ ‎【例5】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图3－4－2表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）‎ A、 B、； C、 D、‎ 解：本可用定义法，选A.‎ ‎【例6】在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 解：B 点拨：本题可用“特殊值”法，在△ABC中，∠C=90°，故选B．‎ ‎【例7】在中，最简二次根式的个数为（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个·D．4个 ‎ 解： B 点拨：对照最简二次根式应满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开方的因数或因式，运用“定义法”可知，此题只有与是最简二次根式，故选B．‎ Ⅲ、同步跟踪配套试 ‎（30分 25分钟）‎ 一、选择题（每题3分，共30分）：‎ ‎1．在△ABC中，∠A＝30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC的外接圆的半径为（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C． D．3‎ ‎2．若x＜－1，则的大小关系是（ ）‎ ‎ A． B．； C． D．‎ ‎3．在△ABC中，AB=24，AC=18．D是 AC上一点，AD=12，在AB上取一点 E，使得以 A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为（ ）．‎ ‎ A．16 B．14 C．16或 14 D．16或 9‎ ‎4．若函数y=是正比例函数，则常数m的值是（ ）‎ ‎ A．－B．± C．士3 D．－3‎ ‎5．如图3－4－3所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）‎ A． 带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 ‎6、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图3－4－4所示，则函数y=ax＋b的图象只可能是图3－4－5中的（ ）‎ ‎7．一个圆台形物体的上底面积是下底面积的1/4，如图3－4－6所示放在桌面上，对桌面的压强是200帕，翻转过来对桌面的压强是（ ）‎ ‎ A．50帕 B．80帕 C．600帕 D．800帕 ‎8．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）‎ ‎ A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 ‎ ‎9．若二次函数y=ax2＋c，当x取x1，x2，（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1，x2时，函数值为（ ）‎ ‎ A．a＋c B．a－c C．－c D．c ‎10 如果的值为（ ）‎ A、0 B、 C、－ D．没有意义 Ⅳ、同步跟踪巩固试题 ‎（10分 60分钟）‎ 一、选择题（每题4分，共100分）‎ ‎1．若，则x的取值范围是（ ）‎ ‎ A、x<0 B、x≥－2 C、－2≤x≤0 D －2＜x＜0‎ ‎2．若的值是（ ）‎ ‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎3．如图3－4－7所示，四个平面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ ‎4．如果水位下降5m，记作－5m，那么水位上升2m，记作（ ）‎ ‎ A．3m B．7m C．2m D．－7m ‎5．已知数轴上的A点到原点的距离为3，那么在数轴上到点A的距离为2的点所表示的数有（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．下列说法中正确的是（ ）‎ ‎ A．绝对值最小的实数是零; B．实数a的倒数是;‎ ‎ C．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数;‎ ‎ D．一个数平方根和它本身相等，这个数是0或1‎ ‎7、将这三个数按从小到大的顺序排列正确的结果是（ ）‎ ‎ ;‎ ‎8．下列因式分解错误的是（ ）‎ ‎ A. ; B. ;‎ C. ; D. ‎ ‎9．一条信息可通过图3－4－8的网络线由上 (A点）往下向各站点传送．例如要将信息传到b2点可由经a1的站点送达，也可由经出的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A到达山的不同途径共有（ ）‎ ‎ A．3条 B．4条 C．6条 D．12条 ‎10. 如图3－4－9所示，在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎11. 如图 3－4－10所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，△ABC的面积为2，则 tanA+tanB等于（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、4‎ ‎12. 关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y=6的解，则k的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎13. 如图3－4－11所示，在同心圆中，。两圆半径分别为2，1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）‎ ‎ A．4π B．2π C．π D．π ‎14. 火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子，按如图3－4－12的方式打包，则打包带的长至少为（打结部分可忽略） （ ）‎ ‎ A．4x+4y+10t B．x+2y+3Z; C．2x+4y+6z D、6x+8y+6z ‎15 .如图3－4－13所示，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）‎ ‎ A．两点之间线段最短; B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角; D．三角形的稳定性 ‎16. 在直角坐标系中，点P（－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（ ）‎ ‎ A．3＜x＜5 B．－3＜x＜5; C．－5＜x＜3 D．－5＜x＜－3‎ ‎17. 如图3－4－14 所示，是按照一定规律画出的一列“树枝型”图，经观察可以发现：图3－4－14（2）比图3－4－14（1）多出2个“树枝”，图3－4－14（3）比图3－4－14（2）多出5个“树枝”，图3－4－14（4）比图 3－4－14（3）多出 10 个“树枝”，照此规律，图3－4－14（7）比图 3－4－14（6）多出“树枝”的个数是（ ）‎ ‎ A．25 B．50 C．80 D．90‎ ‎18. 已知的解，那么k值是( )‎ ‎ A．2 B．－2 C．1 D．－1‎ ‎19 .数据的方差为（）‎ ‎ A．3S2 B．3 S2+1 C．9S2 D．9S2+1‎ ‎20. 当x=－1时，代数式和代数式l－3x的值分别为M、N，则M、N之间的关系为（ ）‎ ‎ A．M＞N B．M＝N; C．M＜N D．以上三种情况都有可能 ‎21.下列能构成直角三角形三边长的是（ ）‎ ‎ A．l，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6‎ ‎22. 四边形ABCD中，∠A： ∠B：∠C：∠D=3：4 ：3：2：4，则四边形是（ ）‎ ‎ A．任意四边形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．等腰梯形 ‎23.点P（m，3）与点Q（1，－n）关于y轴对称，则m，n的值分别是（ ）‎ ‎ A．l，3 B．－1，3 C．l，－3 D．－1，－3‎ ‎24. 若方程组的解中，x的值比y的值的相反数大1，则k的值为（ ）‎ ‎ A．3 B．－3 C．2 D．－2‎ ‎25.王小明同学在银行储蓄400元，两年后从银行取出这笔存款共得441元，则银行存款的年利率是（不扣除利息所得税）（ ） A．3％ B．4 ％ C．5 ％ D.696‎ 第二轮复习五 新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲：‎ ‎ 以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．‎ ‎(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.‎ ‎(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．‎ 解：(1)100；（2）； ‎ ‎⑶作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）‎ ‎∴城市O不会受到侵袭。‎ 点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程． ‎ ‎【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：‎ ‎⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置)‎ ‎⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．‎ 解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t．‎ ‎ （l）在Rt△AOB中，OB2= OA2+ A B2，‎ ‎ 即（26t）2=102 +（24 t）2‎ ‎ 解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l，‎ ‎ 即需要1小时才能追上．‎ ‎ （2）在Rt△AOB中，因为sin∠AOB== =≈0.9231 ，所以∠AOB≈6 7．4°，‎ ‎ 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．‎ ‎ 点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图． ‎ ‎【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。‎ ‎⑴按该公司要求可以有几种购买方案？‎ ‎⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？‎ ‎ 解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。‎ 由题意，得，‎ 解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，‎ 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：‎ 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；‎ 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；‎ 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；‎ ‎（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。‎ ‎【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?‎ 解：根据题意，可有三种购买方案；‎ 方案一：只买大包装，则需买包数为：；‎ 由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元) ‎ 方案二：只买小包装．则需买包数为：‎ 所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元) ‎ 方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装 包．小包装包．所需费用为W元。‎ 则 ‎ ‎∵，且为正整数，‎ ‎∴9时，290(元)．‎ ‎∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。‎ 答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。‎ 点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。 ‎ ‎【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为α，β，OA=2米，tanα=, tanβ=,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。‎ ‎⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；‎ ‎⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标C？‎ ‎ 解：⑴由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为即 ‎ ∵点D在抛物线上，所以2=‎ ‎ ∴抛物线解析式为：‎ ‎ ⑵过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则 ‎ 解得：‎ ‎ 则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y=‎ ‎ 所以能点燃目标C．‎ ‎ 点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决．‎ Ⅲ、综合巩固练习：（100分 90分钟） ‎ 一、 选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．某研究结果显示，由父母的身高预测子女身高的公式为：若父亲的身高为a米，母亲的身高为b米，则儿子成年后的身高约为×1．08米，女儿成年后身高约为米，初一女学生赵楠的父亲身高为1．75米，母亲身高为1．62米，请同学们根据公式预测一下赵楠成年后的身高约为（ ）‎ ‎ A．1．65米 B．1．62米 C．1．7 5米 D．l．6 0米 ‎2．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地，现共有。米长的篱笆材料，他设计了两种方案，一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形的场地，那么选用哪一种方案围成场地的面积较大（ ）‎ ‎ A、围成正方形 B．围成圆形 C、两者一样大 D．不能确定 ‎3、将一张矩形白纸对折，再沿着与折痕方向平行的方向反复对折，问经过n（1≤n≤7）次后，将纸展开共可得到的折痕条数为（ ）‎ ‎ A、2 n －1 B．2 n C、 2 n-1 D．2 n ‎4、在昆明“世博会”期间，为方便游客参观，铁道部门临时加开了南宁至昆明的直达列车．已知南宁至昆明的路程为828km，普快列车与直快列车由昆明到南宁时，直快列车平均速度是普快 的1.5倍，若直快列车比普快列车晚出发2 h而先到4h，求两列车的平均速度分别是多少？设普快列车的速度为x ‎ ‎ Km/h，则直快列车的速度为1．5xkm／h．依题意，所列方程正确的是（ ）‎ ‎ ；‎ ‎ ； ‎ ‎5、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数数关系，其图象如图2-2-5所示，由图给出息可知，营销人员没有销售时的收入是（ ）‎ ‎ A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 ‎6．小美开了一家服装店，有一次去批发市场进货，发现一款牛仔裤，预想能畅销，就用4000元购买了一个批发商的所有这种裤子，还想买二倍数量的这种牛仔裤，又到另一个批发商处用88 00元购进，只是单价比前面购进的贵5元．回来后小美按每件89元销售，销路很好，最后剩下10件，按七五折销售，很快售完，则小美这笔生意盈利（ ）‎ ‎ A．8335元； B．8337．5元； C．8340元； D．8342．5元 ‎7．某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前无产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件．未装箱的产品数量y是时间t的函数，那么这个函数的大致图象（如图2－2－6所示）只能是（ ）‎ ‎8．60名初三学生在毕业典礼晚会上，男女生各自相互握手道别已知男生比女生多2人，班长是一名女生，她与所有男生握过手．那么在这次晚会上，全班学生共握手的次数为（ ）‎ ‎ A．1770 B．902 C．899 D．886‎ ‎9．随着通讯市场竞争日异激烈，某通讯公司的手机市话收费标拍每分钟降低了a元后，再次下调了25％，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（ ）‎ ‎ A．；B．； C．； D．‎ ‎10 某公司员工分别住在 A、B、C三个住宅区，A区有 30人，B区有 15人，C区有10人，三个区在同一条直线上，位置如2－2－7所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）‎ A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间 二、填空题（每题 3分，共 15分）‎ ‎11 经测算，某林场现有生长着的木材存量为a立方米,已知木材生长的年增长率为25％，为满足生产、生活的需要，该林场每年需采伐加工x立方米木材．‎ ‎⑴ 用含a与x的代数式表示一年后该林场的木材存量为_______立方米；‎ ‎⑵ 用含a与x的代数式表示二年后该林场的木材存量为_______立方米；‎ ‎⑶ 若条件中的a=122万，要保证三年后该林场的木材存量至少达到1.5 a立方米，则该林场每年采伐加工的木材最多是__________立方米．‎ ‎12 有一群猴子，在小树林中玩耍，总数的8的平方只猴子在欢乐地蹦跳，还有12只猴子愉快地啼叫，则小树林中的猴子总数为_______只．‎ ‎13 1平方千米的土地，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3 ×105吨煤所产生的能量．已知，我国西部的广大地区约有 6．4×106平方千米的广阔面积，那么，我国西部地区一年内从太阳得到的能量相当于燃烧__________吨煤所产生的能量．‎ ‎14 某小区规划在一个长40米，宽26米的矩形场地上修建三条同样宽的两路，使其中两条与短边平行，另一条与长边平行，其余部分种草．若使每块草坪的面积都是144平方米，则两路宽_________米．‎ ‎15 某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4％，若第x年小明家交房款y元，则y与x的函数解析式为__________．‎ 三、解答题（16～20题各9分，21题10分，共55分）‎ ‎16 .某公司欲招聘甲、乙、丙三个工种的工人，这三个工种每人的月工资分别为800元、1000元、1500元．已知甲、乙两工种合计需聘30人，乙、丙两种工种合计需聘20人，且甲工种的人 数不少于乙工种人数的2倍，丙工种人数不少于12人．问甲、乙、两三个工种各招聘多少人，可使每月所付的工资总额最少？‎ ‎17. 如图2－2－8所示，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l 千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短．抽水站应建在哪里？‎ ‎18 .某商场有一座自下向上运动着的电动扶梯，李明到商场买东西，他从电动扶梯底部走到顶，共走了75级，而当他买完东西向下走时，他的行走速度（以单位时间走多少级计算）是上行时速度的3倍．结果他走了150级到达底部，那么这个电动扶梯露在外面能够看到的有多少级？‎ ‎19.如图2－2－9所示：这是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标的仰角分别为α和β，OA=1千米，tanα=,tanβ= ,于O点正上方km的 D点处的直升飞机向目标 C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度3km时，相应的水平距离为4km (即图中E点).‎ ‎⑴若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵说明问）中轨道运行的导弹能否击中目标 C的理由．‎ ‎21.某园林门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年八年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元几类年票每张440元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．‎ ‎⑴ 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进人该园林的次数最多的购票方式；‎ ‎⑵ 求一年中进人该园林至少超过多少次时，购买A类票比较合算．‎ ‎21.阅读下列材料：‎ ‎ 十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n） 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：‎ ‎ n=‎ ‎ 各类家庭的恩格尔系数如下表所示：‎ ‎ 根据以上材料，解答下列问题：‎ ‎ 小明对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查，从1998年至2003年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加 500元；其中食品消费支出总额平均每年增加200元．1998年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．‎ ‎⑴ 1998年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？‎ ‎⑵ 设从1998年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数nm(m为正整数)，请用m的代数式表示该乡平均每户当年恩格尔系数nm ，则并利用这个公式计算2004年该乡平均每户以恩格尔系数（百分号前保留整数）‎ ‎⑶ 按这样的发展，该乡农民能否实现十六大提出的 2020年我国全面进人小康社会的目标？‎ 第二轮复习六 探索性问题 Ⅰ、综合问题精讲：‎ 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．‎ ‎ 探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．‎ Ⅱ、典型例题剖析 ‎【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．‎ ‎(1)求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．‎ ‎①求证：PB＝PS；‎ ‎②判断△SBR的形状；‎ ‎③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，‎ ‎∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.‎ ‎∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。‎ 设抛物线的解析式为．‎ 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。‎ 得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 ‎ 方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，‎ ‎∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4.‎ ‎∴C点坐标为(一2，2)。 ‎ 根据题意可设抛物线解析式为。‎ 其过点A(0，1)和C(-2．2) ‎ ‎ 解得 此抛物线解析式为 ‎(2)解：‎ ‎①过点B作BN，垂足为N．‎ ‎∵P点在抛物线y=+l上．可设P点坐标为．∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。∴PN=PS—NS= ‎ 在RtPNB中．‎ PB2＝‎ ‎∴PB＝PS＝ ‎ ‎②根据①同理可知BQ＝QR。‎ ‎∴，‎ 又∵ ，‎ ‎∴，‎ 同理SBP＝∠B ‎ ‎∴‎ ‎∴∴.‎ ‎∴ △SBR为直角三角形． ‎ ③方法一：设，‎ ‎∵由①知PS＝PB＝b．，。∴‎ ‎∴。假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。若使△PSM∽△MRQ，‎ 则有。即 ‎∴。 ∴SR＝2‎ ‎∴M为SR的中点. 若使△PSM∽△QRM，‎ 则有。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴M点即为原点O。‎ 综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽ΔMRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ． ‎ 方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，‎ ‎∵，‎ ‎∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。‎ ‎ 当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM． ‎ 由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝90°。∴。 ‎ 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=． ‎ ‎∴MN为直角梯形SRQP的中位线,‎ ‎∴点M为SR的中点 当△PSM∽△QRM时，‎ ‎。又，即M点与O点重合。∴点M为原点O。‎ 综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM。 ‎ ‎ 点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c型即可．而对于点 P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a，a2+1‎ ‎）．这样再过点B作BN⊥PS．得出的几何图形求出PB 、PS的大小．最后一问的关键是要找出△PSM与△MRQ相似的条件．‎ ‎【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．‎ ‎ （1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；‎ ‎ （2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.‎ ‎ 解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．‎ ‎ （1）写出设计方案．并画出相应的图形；‎ ‎ （2）说明方案设计理由．‎ 解：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△ BOP、△CPA和△CPB．‎ ‎ （2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．‎ ‎ 解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．‎ ‎ 连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．‎ ‎ ⑵设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：‎ ‎ SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．‎ ‎ 点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高的三角形的面积相等．‎ ‎【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．‎ ‎⑴求这条抛物线的解析式；‎ ‎⑵求点 B的坐标；‎ ‎⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点 M左方一段上的动点，连结 PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面 PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式；‎ ‎⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）因为抛物线的顶点为M（2，－4）‎ 所以可设抛物线的解析式为y=（x－2）2 －4．‎ 因为这条抛物线过点A（－1，5）‎ 所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．‎ 所以所求抛物线的解析式为y=（x—2）2 －4 ‎ ‎（2）设直线AM的解析式为y=kx+ b．‎ 因为A（－1，5）, M（2，－4）‎ 所以，‎ 解得 k=－3，b=2．‎ 所以直线AM的解析式为 y=3x＋2．‎ 当y=0时，得x= ，即AM与x轴的交点B（,0）‎ ‎（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕‎ 当动点P（x，y）使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q（2x，0）‎ 因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0＜x＜2．‎ 因为当点Q与B（，0）重合时，△PQR不存在，所以x≠，‎ 所以动点P（x，y）应满足条件为0＜x＜2且x≠，‎ 因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，‎ 所以R点的坐标为（2x，－6x+2） ‎ 如图2－6－9所示，作P H⊥OR于H，‎ 则PH= ‎ 而S=△PQR的面积=QR·P H= 下面分两种情形讨论：‎ ‎①当点Q在点B左方时，即0＜x＜时，‎ 当R在 x轴上方，所以－6x＋2＞0．‎ 所以S=（－6x＋2）x=－3x2+x；‎ ‎②当点Q在点B右方时，即＜x＜2时 点R在x轴下方，所以－6x＋2＜0．‎ 所以S=[－（－6x＋2）]x=3x2－x； ‎ 即S与x之间的函数解析式可表示为 ‎（4）当S=2时，应有－3x2+x =2，即3x2 －x+ 2=0，‎ 显然△＜0，此方程无解．或有3x2－x =2，即3x2 －x－2=0，解得x1 =1，x2＝－ 当x=l时，y= x2－4x=－3，即抛物线上的点P（1，－3）可使SΔPQR=2；‎ 当x=－＜0时，不符合条件，应舍去．‎ 所以存在动点P，使SΔPQR=2，此时P点坐标为(1,－3)‎ 点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线 AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B．(3)问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．‎ Ⅲ、综合巩固练习：（100分 90分钟） ‎ 1． 观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．记第n个图中小黑点的个数为y．解答下列问题：‎ ‎⑴ 填下表：‎ ‎⑵ 当n=8时，y=___________；‎ ‎⑶ 根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1≤n≤5；‎ ‎⑷ 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？‎ 如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式．‎ ‎2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．‎ ‎ ‎ ‎3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．‎ ‎⑴ 如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；‎ ‎⑵ 当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由．‎ ‎4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线：y=x及动直线：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方部分的面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应的S的值．‎ ‎5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC的中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由． ‎ ‎6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．‎ ‎⑴ 当 ∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；‎ ‎⑵ 设AE=x， FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；‎ ‎⑶ 图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△ D1EF，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2－6－18为备用图）‎ ‎7．（10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： ‎ ‎ 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图 2－6－19（1）所示； ‎ ‎ ‎ ‎ 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得 Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；‎ ‎ 第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19（4）所示探究：‎ ‎ （l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．‎ ‎ （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．‎ ‎8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的 横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)上．‎ ‎⑴ 请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3(a≠0)的顶点所在直线的解析式；‎ ‎⑵ 问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；‎ ‎⑶ 在他们第二个发现的启发下，运用“一般→特殊→一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。‎ ‎9．已知二次函数的图象过A（－3，0），B（1，0）两点．‎ ‎⑴ 当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式；‎ ‎⑵ 设⑴中所求 M次函数图象的顶点为P，求SΔAPC：SΔABC的值；‎ ‎⑶ 如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD的值确定吗？为什么？‎ ‎10．（13分）如图2－6－20所示，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交 BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．‎ ‎⑴ 求证：四边形ACEF是平行四边形；‎ ‎⑵ 当∠B的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论；‎ ‎⑶ 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？‎ ‎ ‎