中考数学解题方法及提分突破训练构造法专题

中考数学解题方法及提分突破训练构造法专题

解题方法及提分突破训练：构造法专题 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。‎ ‎ 一 真题链接 ‎1.（2012 青海）若m,n为实数，且的值为 ‎2.（2012 莆田）‎ ‎3.（2012•铁岭）如果，那么xy= ‎ ‎4.（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC （1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？‎ ‎5. （2012•佳木斯）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：‎ ‎ ‎ ‎（1）求这两种货车各用多少辆？‎ ‎（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．‎ 10‎ 二．名词释义 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法：‎ 一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。‎ 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？‎ ‎ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ‎ ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0‎ ‎ 分别解得a=4，b=15‎ 二．构建几何图形 ‎ 对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。‎ ‎ 例2：已知，则x 的取值范围是（ ）‎ ‎ A    1≤≤5   B ≤1    C 1＜＜ 5   D ≥5‎ 分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤≤5，故选A.‎ ‎4‎ 10‎ 三、构造函数模型，解数学实际问题 在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。‎ 例3：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。‎ ‎（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；‎ ‎（2）设生产A、B两种产品获总利润为（元），生产A种产品件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？‎ 解；（1）设需生产A种产品件，那么需生产B种产品件，由题意得：‎ ‎ 解得：30≤≤32‎ ‎ ∵是正整数 ‎ ∴＝30或31或32‎ ‎∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。‎ ‎（2）由题意得；＝‎ ‎ ∵随的增大而减小 ‎ ∴当＝30时，有最大值，最大值为：‎ ‎ ＝45000（元）‎ ‎ 答：与之间的函数关系式为：＝，（1）中方案①获利最大，最大利润为45000元。‎ ‎ 三．典题示例 一．构造方程解题 例1 若代数式m2 + 3与4m + 1互为相反数，则m-2等于（ ）‎ A. 4 B. - 4 C. D. -‎ 解 由相反数的性质（互为相反数的两个数或两个式子之和为零），得m2 + 3 + 4m + 1 =‎ 10‎ ‎ 0，即m2 + 4m + 4 = 0，(m + 2)2 = 0，解之得：m = - 2，所以m-2 = (-2)-2 =，故本题应选C。‎ 例2 当x =_____时，分式无意义；当x =______时，此分式的值为零。‎ 解 要使此分式无意义，只需x2 - 7x – 8 = 0，解之得x1 = 8，x2 = -1，即当x = 8或x = -1时，该分式无意义。‎ 要使该分式的值为零，只须分子x2 – 1 = 0且分母x2 -7 x – 8 ≠ 0；由x2 – 1 = 0，得x = ±1，但当x = -1时，分母x2 -7x - 8 = 0，分式无意义。故当x = 1时，此分式的值为零。‎ 例3 已知x、y是正整数，并且xy + x + y = 23①，x2y + xy2 = 120②，求x2 + y2的值。‎ 解 因①、②可化为xy + (x + y) = 23，xy(x + y) = 120，则由一元二次方程根与系数的关系知：xy、x + y是方程t2 - 23t + 120 = 0的两个实数根，解之得xy = 8，x + y = 15或xy = 15，x+y = 8。又x、y是正整数，所以只能是xy = 15，x + y = 8。所以x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 64 – 30 = 34。‎ 二．构造几何图形解题 例4. 如图1，过正方形ABCD的顶点C作任意一条直线与AB、AD的延长线分别交于点E、F。求证：。‎ 分析：注意到要证明的不等式的形式，可联想到一元二次方程的判别式。‎ 证明：设正方形的边长为a，连AC。‎ 因为，所以有 ‎。‎ 即。‎ 从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程的两个实数根。所以该方程的判别式 得，即。‎ 注：应用构造一元二次方程的方法解决一些几何中的不等式问题，的确让我们有耳目一新的感觉，有益于训练大家思维的发散性、创新性。‎ 10‎ 三．构建函数解决问题 例5 (2012年，辽宁省营口市)（10分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．‎ ‎（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？‎ ‎（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？‎ ‎（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？‎ ‎（成本＝进价×销售量）‎ 答案：解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·()‎ ‎.‎ 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ‎ ‎（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．‎ 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. ‎ ‎（3）∵，∴抛物线开口向下.‎ ‎∴当30≤x≤40时，w≥2000．‎ ‎∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000． ‎ 设成本为P（元），由题意，得：‎ ‎∵，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.‎ 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．‎ 四 巩固强化 ‎1. （2012 常州）已知关于x的方程2x-mx-6=0的一个根2，则m= ，另一个根为 ‎ ‎2. （2012 大庆）‎ ‎3.（2012•广西）使式子 有意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≥-1 B．-1≤x≤2 C．x≤2 D．-1＜x＜2‎ ‎4.若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为( )‎ A. 2或3 B. -2或3 C. 3 D. 2‎ ‎5. 已知实数x、y满足9x2 + 12x + 4+=0，求代数式2xy的值。‎ ‎6.若(= 5 - m是关于x的一元二次方程，则m =_________。‎ ‎7.已知(b - c)2 = (a - b)(c - a)且a ≠ 0，则=______。 ‎ ‎8.（2012•‎ 10‎ 郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．‎ ‎（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ ‎（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？‎ ‎（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？‎ ‎9.（2012•佳木斯）如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，则∠ACB=70°‎ ‎10. 如图2，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若。求证：。‎ ‎ 五 参考答案 真题链接答案：‎ ‎1.‎ ‎2.‎ 10‎ ‎3.解：根据题意得，x+1=0，y-2=0，‎ 解得x=-1，y=2，‎ 所以，xy=（-1）×2=-2．‎ 故答案为：-2．‎ ‎4.证明：（1）连接AD，‎ 在△BAD和△CDA中 ‎ AB=CD ‎ DB=AC ‎ AD=AD ‎ ‎∴△BAD≌△CDA（SSS）‎ ‎∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）‎ ‎（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．‎ ‎5.解：（1）解法一、设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得 ‎ x+y=18‎ ‎ 16x+10y=228 …（2分）‎ 解得 x=8 y=10 ‎ 答：大货车用8辆，小货车用10辆．…（1分）‎ 解法二、设大货车用x辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意得 ‎16x+10（18-x）=228 …（2分）‎ 解得x=8‎ ‎∴18-x=18-8=10（辆）‎ 答：大货车用8辆，小货车用10辆；…（1分）‎ ‎（2）w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]…（2分）‎ ‎=70a+11550，‎ ‎∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数） …（1分）‎ ‎（3）16a+10（9-a）≥120，‎ 解得a≥5，…（1分）‎ 又∵0≤a≤8，‎ ‎∴5≤a≤8且为整数，…（1分）‎ ‎（3）16a+10（9-a）≥120，‎ 解得a≥5，…（1分）‎ 又∵0≤a≤8，‎ ‎∴5≤a≤8且为整数，…（1分）‎ ‎∵w=70a+11550，‎ k=70＞0，w随a的增大而增大，‎ ‎∴当a=5时，w最小，‎ 最小值为W=70×5+11550=11900（元） …（1分）‎ 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．…（1分）‎ 10‎ 巩固强化的答案：‎ ‎1.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ ‎3..解：根据题意，得 ‎ x+1≥0‎ ‎ 2-x≥0 ，‎ 解得，-1≤x≤2；‎ 故选B．‎ ‎4.解 由同类二次根式的定义可知：5a – 3 = a2 + 3，解之得a1 = 2，a2 = 3。但当a = 3时，已知为，它不是最简二次根式，所以a只能取2，故本题应选D。‎ ‎5. 因9x2 + 12x + 4 = (3x+2)2 ≥ 0，≥ 0，且(3x + 2)2 += 0，则由非负数的性质（几个非负数之和为零，则每个非负数为零）得(3x + 2)2 = 0且= 0，解之得x = -，y = 2。故所求代数式2xy的值：2 × (-)2 = 。‎ ‎6. 根据一元二次方程的定义，得m2 – 2 = 2，解之得m = ±2。但当m = 2时，此方程二次项系数为零，不是一元二次方程，故m = -2。‎ ‎7. 由已知得：(b - c)2 - 4(a - b)( c- a) = 0。‎ ‎⑴当a – b = 0时，则b – c = 0，a = b = c，所以= 2；‎ ‎⑵当a – b ≠ 0时，由(b - c)2 - 4(a - b)( c - a) = 0可知关于x的方程(a - b)x2 + (b - c) + (c - a) = 0有两个相等的实数根。又(a – b) + (b - c) + (c – a) = 0，则x1 = x2 = 1，x1x2 = 1，所以，即= 2。‎ 10‎ 综上所述，知= 2。‎ ‎8.解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，‎ y=20x+80（100-x）=8000-60x； （2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100-x），根据题意得：‎ ‎ 100-x≥3x 20x+80(100-x)≤6620 ，‎ 解得：23≤x≤25，‎ 所以x取25，24，23，‎ 当买排球25个时，篮球的个数是75个，‎ 当买排球24个时，篮球的个数是76个，‎ 当买排球23个时，篮球的个数是77个，‎ 所以有3种购买方案．‎ ‎（3）根据（2）得：‎ 当买排球25个，篮球的个数是75个，总费用是：25×20+75×80=6500（元），‎ 当买排球24个，篮球的个数是76个，总费用是：24×20+76×80=6560（元），‎ 当买排球23个，篮球的个数是77个，总费用是：23×20+77×80=6620（元），‎ 所以采用买排球25个，篮球75个时更合算．‎ ‎9.解：连接AD，‎ ‎∵BD是直径，‎ ‎∴∠BAD=90°，‎ ‎∵∠ABD=20°，‎ ‎∴∠D=90°-∠DBD=70°，‎ ‎∴∠ACB=∠D=70°．‎ 故答案为：70°．‎ ‎10.分析：若设，问题转化为求的最小值问题。设，再求出的值即可构造出符合条件的方程。‎ 证明：设。‎ 因为，所以，即。‎ 于是m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根。则 ‎，‎ 注意k为正数，得，‎ 于是。‎ 10‎ 因此。‎ ‎ ‎ 10‎