中考数学专题讲座 代数三角几何综合问题
中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题
概述：
代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．
典型例题精析
例1．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________；
（2）当0
1时，y随x的增大而减小．
（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；
（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；
（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．
①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．
②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？
2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；
（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．
3．如图，已知直线L与⊙O相交于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线L于点D．
（1）若AP=4，求线段PC的长；
（2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积．（答案要求保留根号）
考前热身训练
1．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN为以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y>x≥0），△AOM的面积为S，若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根．
（1）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：AN2=ON·MN；
（3）求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
2．如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．
（1）求证：PC是⊙M的切线；
（2）在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切，且与直线PC相切于D，问将过A、C、B三点的抛物线平移后，能否同时经过P、D、A三点？为什么？
答案:
中考样题看台
1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3
（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）
（3）∵⊙O′过A、B两点，
∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，
设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，
则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，
∴MN=1，PN=5，O′P=∠2，∠4=90°，
∴∠2=∠APO，∴OB=OC，∴∠2=∠3
∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO
∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90°
∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°．
在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°．
∴AD=6sin30°=6×=2．
过点O作OE⊥BC于点E
∵∠2=30°，BO=3，
∴OE=，BE=3×cos30°=，
∴BC=2BE=3，
∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=AB·AD
=BC·OE=×6×2-×3×=6-= ．
考前热身训练
1．（1）易知OA=2，cosα=，∠POQ=∠MAN=60°，
∴初始状态时，△AON为等边三角形，
∴ON=OA=2，当AM旋转到AM′时，点N移动到N′，
∵∠OAM′=30°，∠POQ=∠M′AN′=60°，
∴∠M′N′A=30°，在Rt△OAN中，ON′=2AO=4，
∴NN′=ON′-ON=2，∴点N移动的距离为2．
（2）易知△OAN∽△AMN，∴AN2=ON·MN．
（3）∵MN=y-x，∴AN2=y2-xy，
过A点作AD⊥OP，垂足为D，可得OD=1，AD=，
∴DN=ON-OD=y-1，
在Rt△AND中，AN2=AD2+DN2=y2-2y+4，
∴y2-xy=y2-2y+4，即y=．
∴y>0，∴2-x>0，即x<2，
又∵x≥0，∴x的取值范围是：0≤x<2．
（4）S=·OM·AD=x，
∵S是x的正比例函数，且比例系数>0，
∴0≤S<·2．即0≤S<
2．（1）易知⊙M半径为2，设PA=x，则x：4=1：2x=2，
由相交弦定理推论得OC=OA．OB=1×3，
∴OC=，∴PC2=PO2+OC2=32+（）2=12，
PM2=42=16，MC2=22=4，
∴PM2=PC2+MC2，∴∠PCM=90°．
（2）易知过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3），
假设满足条件的Q点存在，坐标为（m，0），直线QC的解析式为y=-x+，
∵直线QC与抛物线只有一个公共点，
∴方程-（x+1）（x-3）=-x+有相等的实根，
∴（2+）2=0，∴m=-，即满足条件的Q点存在，坐标为（-，0）；
（3）连结DN，作DH⊥PN，垂足为H，设⊙N的半径为r，则∵ND⊥PC，
∴ND∥MC，∴，∴，
∴r=，∵DN2=NH·NP，
∴（）2=NH·（2-），∴NH=，
∴DH==，∴D（-2，）．
∵抛物线y=-（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为
y=-（x+1）（x+3）
又经验证D是该抛物线上的点，
∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．
