中考数学专题讲座 代数三角几何综合问题

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中考数学专题讲座 代数三角几何综合问题

中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题 概述:‎ 代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题,其中包括方程、函数、三角与几何等,内容基本上包含所有的初中数学知识,必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题.‎ 典型例题精析 ‎ 例1.有一根直尺的短边长‎2cm,长边长‎10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长‎12cm,如图1,将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合,将直尺沿AB方向平移如图2,设平移的长度为xcm(0≤x≤10),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2.‎ ‎ (1)当x=0时(如图),S=________;当x=10时,S=___________; (2)当01时,y随x的增大而减小.‎ ‎ (1)求k的值及抛物线的解析式;‎ ‎ (2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边),抛物线的顶点为P,试求出A、B、P三点的坐标,并在直角坐标系中画出这条抛物线;‎ ‎ (3)求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标;‎ ‎ (4)设点G(0,m)是y轴上的动点.‎ ‎ ①当点G运动到何处时,直线BG是⊙O′的切线?并求出此时直线BG的解析式.‎ ‎②若直线BG与⊙O相交,且另一个交点为D,当m满足什么条件时,点D在x轴的下方?‎ ‎ 2.如图,已知圆心A(0,3),⊙A与x轴相切,⊙B的圆心在x轴的正半轴上,且⊙B与⊙A外切于点P,两圆的公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N.‎ ‎ (1)若sin∠OAB=,求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎ (2)若⊙A的位置大小不变,⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动,并使⊙B与⊙A始终外切,过M作⊙B的切线MC,切点为C,在此变化过程中探究:‎ ‎ ①四边形OMCB是什么四边形,对你的结论加以证明;‎ ‎②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在,表示出来;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 3.如图,已知直线L与⊙O相交于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连结OP交⊙O于点C,连结BC并延长BC交直线L于点D.‎ ‎ (1)若AP=4,求线段PC的长;‎ ‎ (2)若△PAO与△BAD相似,求∠APO的度数和四边形OADC的面积.(答案要求保留根号)‎ 考前热身训练 ‎ 1.如图,已知A为∠POQ的边OQ上一点,以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点,且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角),当∠MAN为以点A为旋转中心,AM边从与AO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时,M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x≥0),△AOM的面积为S,若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.‎ ‎ (1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时,求点N移动的距离;‎ ‎ (2)求证:AN2=ON·MN;‎ ‎ (3)求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围;‎ ‎(4)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.‎ ‎ 2.如图,已知P、A、B是x轴上的三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),且PA:AB=1:2,以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C.‎ ‎ (1)求证:PC是⊙M的切线;‎ ‎ (2)在x轴上是否存在这样的点Q,使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点?若存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由;‎ ‎ (3)画⊙N,使得圆心N在x轴的负半轴上,⊙N与⊙M外切,且与直线PC相切于D,问将过A、C、B三点的抛物线平移后,能否同时经过P、D、A三点?为什么?‎ 答案:‎ 中考样题看台 ‎1.(1)k=1,抛物线解析式y=-x2+2x+3‎ ‎ (2)A(-1,0),B(3,0),C(1,4)‎ ‎(3)∵⊙O′过A、B两点,‎ ‎∴O′在AB的垂直平分线上,即在抛物线的对称轴上,‎ 设抛物线的对称轴交x轴于M,交⊙O′于N,‎ 则有MP×MN=MA×MB,4MN=2×2,‎ ‎∴MN=1,PN=5,O′P=∠2,∠4=90°,‎ ‎ ∴∠2=∠APO,∴OB=OC,∴∠2=∠3‎ ‎ ∵∠1=∠2+∠3,∴∠2=2∠2=2∠APO ‎ ∴∠4=90°,∴∠1+∠APO=90°‎ ‎ ∴3∠APO=90°,∴∠APO=30°.‎ ‎ 在Rt△BAD中,∠2=∠APO=30°.‎ ‎ ∴AD=6sin30°=6×=2.‎ ‎ 过点O作OE⊥BC于点E ‎ ∵∠2=30°,BO=3,‎ ‎ ∴OE=,BE=3×cos30°=,‎ ‎ ∴BC=2BE=3,‎ ‎∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=AB·AD ‎=BC·OE=×6×2-×3×=6-= .‎ 考前热身训练 ‎1.(1)易知OA=2,cosα=,∠POQ=∠MAN=60°,‎ ‎∴初始状态时,△AON为等边三角形,‎ ‎∴ON=OA=2,当AM旋转到AM′时,点N移动到N′,‎ ‎∵∠OAM′=30°,∠POQ=∠M′AN′=60°,‎ ‎∴∠M′N′A=30°,在Rt△OAN中,ON′=2AO=4,‎ ‎∴NN′=ON′-ON=2,∴点N移动的距离为2.‎ ‎ (2)易知△OAN∽△AMN,∴AN2=ON·MN.‎ ‎(3)∵MN=y-x,∴AN2=y2-xy,‎ 过A点作AD⊥OP,垂足为D,可得OD=1,AD=,‎ ‎∴DN=ON-OD=y-1,‎ 在Rt△AND中,AN2=AD2+DN2=y2-2y+4,‎ ‎∴y2-xy=y2-2y+4,即y=.‎ ‎∴y>0,∴2-x>0,即x<2,‎ 又∵x≥0,∴x的取值范围是:0≤x<2.‎ ‎(4)S=·OM·AD=x,‎ ‎∵S是x的正比例函数,且比例系数>0,‎ ‎∴0≤S<·2.即0≤S<‎ ‎2.(1)易知⊙M半径为2,设PA=x,则x:4=1:2x=2,‎ 由相交弦定理推论得OC=OA.OB=1×3,‎ ‎ ∴OC=,∴PC2=PO2+OC2=32+()2=12,‎ ‎ PM2=42=16,MC2=22=4,‎ ‎ ∴PM2=PC2+MC2,∴∠PCM=90°.‎ ‎(2)易知过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),‎ 假设满足条件的Q点存在,坐标为(m,0),直线QC的解析式为y=-x+,‎ ‎ ∵直线QC与抛物线只有一个公共点,‎ ‎∴方程-(x+1)(x-3)=-x+有相等的实根,‎ ‎∴(2+)2=0,∴m=-,即满足条件的Q点存在,坐标为(-,0);‎ ‎ (3)连结DN,作DH⊥PN,垂足为H,设⊙N的半径为r,则∵ND⊥PC,‎ ‎ ∴ND∥MC,∴,∴,‎ ‎ ∴r=,∵DN2=NH·NP,‎ ‎ ∴()2=NH·(2-),∴NH=,‎ ‎ ∴DH==,∴D(-2,).‎ ‎∵抛物线y=-(x+1)(x-3)平移,使其经过P、A两点的抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x+3)‎ 又经验证D是该抛物线上的点,‎ ‎ ∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点.‎
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