中考数学专题复习资料因式分解 专题检测试卷解析版

中考数学专题复习资料因式分解 专题检测试卷解析版

因式分解 专题检测试卷　‎ 一．选择题（共16小题）‎ ‎1．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（　　）‎ A．392 B．402 C．412 D．422‎ ‎2．把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（　　）‎ A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）‎ ‎3．设681×2019﹣681×2019=a，2019×2019﹣2019×2019=b，，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a ‎4．分解因式：2x2﹣2=（　　）‎ A．2（x2﹣1） B．2（x2+1） C．2（x﹣1）2 D．2（x+1）（x﹣1）‎ ‎5．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（　　）‎ A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2‎ ‎6．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）‎ A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3‎ ‎7．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（　　）‎ A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 ‎8．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（　　）‎ A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）2‎ ‎9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（　　）‎ A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15‎ ‎10．分解因式：16﹣x2=（　　）‎ A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2‎ ‎11．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）‎ A．8是a的因子，8是b的因子 B．8是a的因子，8不是b的因子 C．8不是a的因子，8是c的因子 D．8不是a的因子，8不是c的因子 ‎12．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：‎ ‎①若a@b=0，则a=0或b=0‎ ‎②a@（b+c）=a@b+a@c ‎③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2‎ ‎④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎13．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）‎ A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 ‎14．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）‎ A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎15．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）‎ A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72‎ ‎16．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（　　）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 二．填空题（共5小题）‎ ‎17．在实数范围内分解因式：2x2﹣8x+5=2（x﹣）（x﹣）．此结论是：　 　的．‎ ‎18．分解因式：x2y﹣xy2=　 　．‎ ‎19．分解因式：x2﹣xy﹣2y2﹣x﹣y=　 　．‎ ‎20．分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2=　 　．‎ ‎21．在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣4=　 　．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎22．已知非零实数a，b满足a+b=3， +=，求代数式a2b+ab2的值．‎ ‎23．（1）计算：（﹣2）3+（）﹣2﹣•sin45°‎ ‎（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．‎ ‎24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．‎ 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．‎ ‎（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．‎ 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；‎ ‎（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；‎ ‎（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．‎ ‎25．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．‎ ‎26．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．‎ ‎27．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．‎ ‎28．给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．‎ ‎29．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．‎ 验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？‎ ‎ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．‎ 延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题）‎ ‎1．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（　　）‎ A．392 B．402 C．412 D．422‎ ‎【解答】解：A、当ab+1=392时，ab=392﹣1=40×38，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；‎ B、当ab+1=402时，ab=402﹣1=41×39，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；‎ C、当ab+1=412时，ab=412﹣1=42×40，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；‎ D、当ab+1=422时，ab=422﹣1=43×41，正好与a，b为两质数且相差2符合，故本选项正确，‎ 故选：D．‎ ‎2．把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（　　）‎ A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）‎ ‎【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，‎ 故选：A．‎ ‎3．设681×2019﹣681×2019=a，2019×2019﹣2019×2019=b，，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a ‎【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2019‎ ‎=681×（2019﹣2019）‎ ‎=681×1‎ ‎=681，‎ b=2019×2019﹣2019×2019‎ ‎=2019×2019﹣（2019﹣2）×（2019+2）‎ ‎=2019×2019﹣2019×2019﹣2×2019+2×2019+2×2‎ ‎=﹣4030+4032+4‎ ‎=6，‎ c=‎ ‎= [来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎6＜＜681，‎ ‎∴b＜c＜a．‎ 故选：A．‎ ‎4．分解因式：2x2﹣2=（　　）‎ A．2（x2﹣1） B．2（x2+1） C．2（x﹣1）2 D．2（x+1）（x﹣1）‎ ‎【解答】解：原式=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1），‎ 故选：D．‎ ‎5．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（　　）‎ A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2‎ ‎【解答】解：8a3﹣8a2+2a ‎=2a（4a2﹣4a+1）‎ ‎=2a（2a﹣1）2．‎ 故选：C．‎ ‎6．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（　　）‎ A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3‎ ‎【解答】解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，‎ 则a=﹣2，b=﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎7．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（　　）‎ A．是0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 ‎【解答】解：当n是偶数时，‎ ‎ [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0，‎ 当n是奇数时，‎ ‎ [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）=×（1+1）（n+1）（n﹣1）=，‎ 设n=2k﹣1（k为整数），‎ 则==k（k﹣1），‎ ‎∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，‎ 故选：C．‎ ‎8．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（　　）‎ A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）2‎ ‎【解答】解：a2b﹣b3‎ ‎=b（a2﹣b2）‎ ‎=b（a+b）（a﹣b）．‎ 故选：A．‎ ‎9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（　　）‎ A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15‎ ‎【解答】解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），‎ x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），‎ ‎∴乙为x﹣2，‎ ‎∴甲为x+2，丙为x+17，‎ ‎∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．‎ 故选：A．‎ ‎10．分解因式：16﹣x2=（　　）‎ A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2‎ ‎【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．‎ 故选：A．‎ ‎11．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）‎ A．8是a的因子，8是b的因子 B．8是a的因子，8不是b的因子 C．8不是a的因子，8是c的因子 D．8不是a的因子，8不是c的因子 ‎【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，‎ ‎∴a为12与18的公倍数，‎ 又[12，18]=36，且a介于50与100之间，‎ ‎∴a=36×2=72，即8是a的因子，‎ ‎∵（a，b）=12，‎ ‎∴设b=12×m，其中m为正整数，‎ 又a=72=12×6，‎ ‎∴m和6互质，即8不是b的因子．[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 故选：B．‎ ‎12．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：‎ ‎①若a@b=0，则a=0或b=0‎ ‎②a@（b+c）=a@b+a@c ‎③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2‎ ‎④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2‎ ‎∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，‎ 整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，‎ 解得：a=0或b=0，正确；‎ ‎②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，‎ ‎∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；‎ ‎③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，‎ 令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，‎ 解得，a=0，b=0，故错误；‎ ‎④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，‎ ‎（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，‎ ‎∴a2+b2+2ab≥4ab，‎ ‎∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，‎ 解得，a=b，‎ ‎∴a@b最大时，a=b，故④正确，‎ 故选：C．‎ ‎13．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）‎ A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），‎ ‎∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，‎ ‎∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，‎ 故选：C．‎ ‎14．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）‎ A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1‎ ‎【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），‎ a2+a=a（a+1），‎ a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），‎ ‎（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，‎ ‎∴结果中不含有因式a+1的是选项C；‎ 故选：C．‎ ‎15．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）‎ A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．72‎ ‎【解答】解：原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8），‎ ‎∵可以分解成（ax+b）（8x+c），‎ ‎∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，‎ ‎∴a+b+c=﹣12．‎ 故选：A．‎ ‎16．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（　　）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 ‎【解答】解：二次三项式x2﹣5x+p能分解则必须有：25﹣4p≥0，即p≤，整数范围内能进行因式分解，‎ 因而只要把p能分解成两个整数相乘，且和是﹣5，这样的数有无数组，因而整数p的取值可以有无数个．‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎17．在实数范围内分解因式：2x2﹣8x+5=2（x﹣）（x﹣）．此结论是：　正确　的．‎ ‎【解答】解：∵2x2﹣8x+5=0，‎ ‎∴x1=，x2=，‎ ‎∴2x2﹣8x+5=2（x﹣）（x﹣），‎ 故答案为：正确．‎ ‎18．分解因式：x2y﹣xy2=　xy（x﹣y）　．‎ ‎【解答】解：原式=xy（x﹣y）．‎ ‎19．分解因式：x2﹣xy﹣2y2﹣x﹣y=　（x+y）（x﹣2y﹣1）　．‎ ‎【解答】解：x2﹣xy﹣2y2﹣x﹣y，‎ ‎=（x2﹣xy﹣2y2）﹣（x+y），‎ ‎=（x﹣2y）（x+y）﹣（x+y），‎ ‎=（x+y）（x﹣2y﹣1）．‎ ‎20．分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2=　（a2+b2）（x2+y2）　．‎ ‎【解答】解：（ax+by）2+（bx﹣ay）2，‎ ‎=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2﹣2abxy，‎ ‎=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2，‎ ‎=（a2+b2）x2+（a2+b2）y2，‎ ‎=（a2+b2）（x2+y2）．‎ 故答案为：（a2+b2）（x2+y2）．‎ ‎21．在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣4=　（x﹣1+）（x﹣1﹣）　．‎ ‎【解答】解：x2﹣2x+1﹣1﹣4‎ ‎=x2﹣2x+1﹣5‎ ‎=（x﹣1）2﹣5‎ ‎=（x﹣1）2﹣‎ ‎=（x﹣1+）（x﹣1﹣）．‎ 三．解答题（共8小题）‎ ‎22．已知非零实数a，b满足a+b=3， +=，求代数式a2b+ab2的值．‎ ‎【解答】解：∵+==，a+b=3，‎ ‎∴ab=2，‎ ‎∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．‎ ‎23．（1）计算：（﹣2）3+（）﹣2﹣•sin45°‎ ‎（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣8+9﹣2=﹣1；‎ ‎（2）原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）]‎ ‎=3（x+y）（x﹣y）．‎ ‎24．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．‎ 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．‎ ‎（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．‎ 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；‎ ‎（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；‎ ‎（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），‎ ‎∵|n﹣n|=0，‎ ‎∴n×n是m的最佳分解，‎ ‎∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；‎ ‎（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，‎ ‎∵t是“吉祥数”，‎ ‎∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，‎ ‎∴y=x+4，‎ ‎∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，‎ ‎∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；‎ ‎（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，‎ ‎∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．‎ ‎25．已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．‎ ‎【解答】解：a3b+2a2b2+ab3‎ ‎=ab（a2+2ab+b2）‎ ‎=ab（a+b）2，‎ 将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．‎ 故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．‎ ‎26．已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，‎ ‎∴（a+b）2=4，‎ ‎∴a2+2ab+b2=4，‎ 又∵ab=﹣3，‎ ‎∴a2﹣6+b2=4‎ ‎∴a2+b2=10，‎ ‎∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．‎ ‎27．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．‎ ‎【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；‎ 方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；[来源:Z_xx_k.Com]‎ 方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；‎ 方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）=y2﹣x2=（y+x）（y﹣x）．‎ ‎28．给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．‎ ‎【解答】解：（以下给出三种选择方案，其它方案从略）‎ 解答一：Y+Z=（3a2+3ab）+（a2+ab）‎ ‎=4a2+4ab=4a（a+b）；‎ 解答二：X﹣Z=（2a2+3ab+b2）﹣（a2+ab）‎ ‎=a2+2ab+b2‎ ‎=（a+b）2；‎ 解答三：Y﹣X=（3a2+3ab）﹣（2a2+3ab+b2）‎ ‎=a2﹣b2‎ ‎=（a+b）（a﹣b）．‎ ‎29．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．‎ 验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？‎ ‎ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．‎ 延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．‎ ‎【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．‎ 验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，‎ 即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；‎ ‎（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+‎ ‎1，n+2，‎ 它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2‎ ‎=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4‎ ‎=5n2+10，‎ ‎∵5n2+10=5（n2+2），‎ 又n是整数，‎ ‎∴n2+2是整数，‎ ‎∴五个连续整数的平方和是5的倍数；‎ 延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，‎ 它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2‎ ‎=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1‎ ‎=3n2+2，‎ ‎∵n是整数，‎ ‎∴n2是整数，‎ ‎∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．‎