中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式

中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式

中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式 ‎ 一、单元知识网络： 　　　　　　　　　　　　 二、考试目标要求： 1．代数式 　　①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义； 　　②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示； 　　③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义； 　　④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算. 2．整式与分式 　　①了解整数指数幂的意义和基本性质； 　②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅 指一次式相乘)； 　③会推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能 　进行简单计算； 　　④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)； 　　⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 3．二次根式 　　了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）. 三、知识考点梳理 1．代数式 　(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式．单个的数字或字母也可 　‎ ‎ 　　以看作代数式． 　　(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来． 　　(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值． 2．整式 (1)单项式： 　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 　　单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (2)多项式： 　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. (3)整式： 单项式和多项式统称整式． (4)同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． (5)整式的加减： 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. (6)整式的乘除：①幂的运算性质： 　　　 　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式． 　　③‎ 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用 　　　式子表达： 　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式 　　　的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 　　　平方差公式： 　　　完全平方公式： 　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各 项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的 　　　字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． (7)因式分解： 　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 　　因式分解的两种基本方法： 　　①提公因式法： 　　②运用公式法： 　　　平方差公式： 完全平方公式： 3．分式 (1)分式的意义： 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中 　　分式无意义；分式有意义． 　　分式的值为‎0‎A=0且这两个条件缺一不可． (2)最简分式：‎ ‎ 　　如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分． (3)分式的基本性质： 　　 (4)分式的运算： 　　①分式的加减： ，． 　　②分式的乘除：，． 　　③分式的乘方：. 4．二次根式： (1)二次根式的概念： 　　式子叫做二次根式．是一个非负数. (2)二次根式的性质： 　　 (3)最简二次根式： 　　①被开方数不含分母； 　　②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (4)二次根式的运算： 　　①二次根式的乘除： 　　　 　　②二次根式的加减： 　　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. ‎ 四、规律方法指导 　　对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让我们探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力.因此，在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想，提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.‎ 经典例题透析 类型一、整式的有关概念及运算 1.同类项 　　1．（1）（2010湖南衡阳）若3sm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm______________． 　　　　（2）若单项式是同类项，则的值是( 　) 　　A、-3 　　　B、-1　　　 C、 　　　D、3 2.整式的运算及整式乘法公式的运用 　　2．(1) （2010湖北咸宁）下列运算正确的是 ( ) 　　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D． 　　(2)下列各式中正确的是( 　) 　　A． 　　　B．a2·a3=a6　　　 C．(-‎3a2)3=-‎9a6 　　　D．a5+a3=a8 　　3．计算：(a2+3)(a-2)-a(a2‎-2a-2) 　　　　4．利用乘法公式计算： 　　(1)(a+b+c)2 (2)(‎2a2-3b2+2)(2‎-2a2+3b2) 　　 　 　　举一反三 　　【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______. 　　　　　【变式2】设，则 ‎=__________. 　 　　【变式3】用相同的方法可以求， 等的值. 　　‎ ‎【变式4】若a2+‎3a+1=0，求的值. 　　‎ ‎ 类型二、因式分解 　　5．因式分解： 　　（1）（2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ） 　　A．　　　 B． 　　　C．　　　 D． 　‎ ‎　　 　　（2）①‎3a3‎-6a2+‎12a； ②(a+b)2-1； ③x2-12x+36； ④(a2+b2)2‎-4a2b2 　　 ‎ ‎　　举一反三 　　【变式1】因式分解： 　　(1)；(2)；(3). 　　‎ 类型三、分式的意义及运算 ‎ ‎1.分式的意义及分式值为零 　6．（1）（2010湖北荆州）分式 的值为０，则（ ） 　　A．ｘ＝－１ 　　 B．ｘ＝１ 　　　C．ｘ＝±１　　　 D．ｘ＝０ 　　（2）（2010山东聊城）使分式无意义的x的值是（ ） 　　A．x=　　　　B．x=　　　　C．　　　D． 　　（3）当x取何值时，分式 有意义？分式的值等于零？ 　‎ 举一反三 　　【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b=______________. 　　‎ ‎2.分式的运算 　　7．（1）（2010 重庆）先化简，再求值： ， 其中.‎ ‎ 　　（2）计算. 　　‎ ‎　　举一反三 　　【变式1】先化简，再求值： 　　，其中满足. 　　‎ ‎　　【变式2】先化简，再求值：()÷，其中x=2005 　‎ ‎【变式3】有这样一道题：“计算：的值，其中.”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？ 　　‎ ‎ 　　【变式4】已知x、y是方程组的解，求代数式的值. 　　　　　　‎ ‎ 类型四、二次根式的有关概念及运算 ‎ 　　8．（1）（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ） 　　A．的平方根是±2　　　　B．是无理数 　　C．是有理数　　　　　 D．是分数 　　 　　（2）下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) 　　A.　　　B.　　　C.　　　D. 　　‎ ‎ 　　9．化简：(1)； (2)； (3). 　　思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简. 　　　(2) 　　　‎ 举一反三 　　【变式1】化简：，其中. 　　‎ 类型五、代数式的综合应用 　　10．（1）（2010 四川自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）。 　　A．3 　　　B．5 　　　C．15　　　 D．25 　　（2）若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是( ) 　　A．2　　　 B．-17　　　 C．-7‎ ‎ 　　　D．7 　　‎ ‎ 　　11．已知：a，b为实数，下列各式中一定为正值的是( ) 　　A．a2‎-2a+2 　　　B．　　　 C．a2+b2 　　　D．(a-1)2+|b+2| 　‎ ‎ 　　12．现规定一种运算：，其中、为实数，则等于( ) 　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D． 　　‎ 探索规律 　　13．观察下列顺序排列的等式： 　　9×0+1=1 　　9×1+2=11 　　9×2+3=21 　　9×3+4=31 　　9×4+5=41 　　…… 　　猜想第n个等式(n为正整数)应为_______. 　　分析：此题观察规律并不难，但要注意n的取值，n为正整数，为了便于观察，我们可以象以下写法： 　　第1行 9×0+1=1 　　第2行9×1+2=11 　　第3行 9×2+3=21 　　第4行9×3+4=31 　　第5行9×4+5=41 　　……‎ ‎ 　　第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9. 　　综合应用 　　14．已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0， b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是( ). 　　A．平行四边形 　　　B．矩形 　　　C．菱形　　　 D．梯形 　　 　　举一反三 　　【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、宽分别为a、b，则图中阴影部分的面积为___.　　‎ ‎　　15．(扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校. 　　(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金； 　　(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1)，试用k、n和b表示(不必证明)； 　　(3)比较和的大小(k=1，2 ，……，)，并解释此结果. ‎ 中 考 题 萃 考点一：幂的运算、整式运算 ‎1. （2010山西）．下列运算正确的是（ ） 　　A．(a－b)2＝a2－b2 　　　 B．(－a2)3＝－a6　　　 C．x2＋x2＝x4 　　　D．‎3a3·‎2a2＝‎6a6 2. （2010黄冈）下列运算正确的是（ ） 　　A．　 B．　 　　C．　 　　D．‎ ‎3．(成都市)下列运算正确的是( ) 　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D. 　　4．(湖北咸宁)化简的结果为( ) 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 　　5．(东莞市)下列式子中是完全平方式的是( ) 　　A．　　　B．　　　 C． 　　　D． 　　6．(河北省)计算：=_________. 　　7．(河北省)(3分)若，则的值为__________. 　　8．(北京)(5分)已知，求代数式的值. 　　9．(南昌市)先化简，再求值： 　　， 其中. 考点二：因式分解 　　1. （2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 　　2．(北京)把代数式分解因式，下列结果中正确的是( ) 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 　　3．(龙岩市)分解因式：______________. 　　4．(贵阳市)分解因式：_______________. 　　5．(福州)因式分解：_____________. 　　6．(上海市)分解因式：___________.‎ ‎ 　　7．（2010广东广州）因式分解：3ab2＋a2b＝_______． 考点三：分式的意义及运算 　　1．(宜宾市)若分式的值为0，则x的值为(　　) 　　A. 1 　　　B. -1 　　　C. ±1　　　 D．2 　　2. （2010 黄冈）化简：的结果是（　　） 　　A．2　　B．　　C．　　D． 　　3．(巴中市)当__________时，分式无意义. 　　4．(上海市)化简：__________. 　　5．(北京)计算：. 　　6．（2010四川凉山）若，则__________。 考点四：二次根式 　　1．(湖北省荆州市)下列根式中属最简二次根式的是(　　) 　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 　　2. （2010广东茂名）若代数式有意义，则的取值范围是 　　A．　　　　B． 　　C．　　　　　　　 D． 　　3．(芜湖市)估计的运算结果应在(　　) 　　A．6到7之间 　　　B．7到8之间 　　　C．8到9之间 　　　D．9到10之间 　　4. （2010 四川成都）若为实数，且，则 的值为___________． 　　5．(安徽省)化简=_________. 　　6．(宁夏回族自治区)计算：=________. 考点五：代数式的综合运用 　　1．(茂名)任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是(　　) 　　 　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D． 　　2．(北京)(4分)若，则m+2n的值为(　　) 　　A.-4 　　　B.-1　　　 C.0　　　 D.4 　　3.(山东淮坊)代数式的值为9，则的值为(　　) 　　A.7 　　　B.18 　　　C.12 　　　D.9 4.(宁夏)某市对一段全长‎1500米的道路进行改造.原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多‎35米，那么修这条路实际用了___ 天. 　　5.(成都市)(3分)已知，那么的值为__________. 　　6.(南宁市)计算： 　　7.(沈阳市)计算：. 　　8.(泰州市)先化简，再求值：，其中. 　　9.(山东烟台)有意道题：“先化简，再求值：，其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事. 　　10.（2010四川达州）如图2，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（‎ ‎ ） 　　A. 　　　　B. 　　C.　　　　　D. 　　　　　　　　　　　　　 考点六：探究归纳 　　1．(安徽省)探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 　　　　 　　当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2； 　　当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5. 　　(1)观察图形，填写下表：‎ 钉子数(n×n)‎ S值 ‎2×2‎ ‎2‎ ‎3×3‎ ‎2+3‎ ‎4×4‎ ‎2＋3＋( )‎ ‎5×5‎ ‎( )‎ ‎　　(2)写出(n-1)×(n-1)和n×‎ n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) 　　(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式. 　　2. （2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子 （ ） 　　　　 　　A．4n枚 　　B．(4n-4)枚 　　C．(4n+4)枚 　　D． n2枚 ‎