中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式

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中考数学总复习专题基础知识回顾二代数式

中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式 ‎ 一、单元知识网络:              二、考试目标要求: 1.代数式   ①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义;   ②能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示;   ③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义;   ④会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算. 2.整式与分式   ①了解整数指数幂的意义和基本性质;  ②了解整式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅 指一次式相乘);  ③会推导乘法公式:,了解公式的几何背景,并能  进行简单计算;   ④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数);   ⑤了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 3.二次根式   了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化). 三、知识考点梳理 1.代数式  (1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们称为代数式.单个的数字或字母也可  ‎ ‎   以看作代数式.   (2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.   (3)用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值. 2.整式 (1)单项式:   数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.   单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (2)多项式:   几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. (3)整式: 单项式和多项式统称整式. (4)同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项. (5)整式的加减: 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.   把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.   如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.   整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. (6)整式的乘除:①幂的运算性质:      ②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则 连同它的指数作为积的一个因式.   ③‎ 单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用    式子表达:  ④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式    的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:    平方差公式:    完全平方公式:   在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各 项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.  ⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的    字母,则连同它的指数作为商的一个因式. ⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. (7)因式分解:   把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.   因式分解的两种基本方法:   ①提公因式法:   ②运用公式法:    平方差公式: 完全平方公式: 3.分式 (1)分式的意义: 一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中   分式无意义;分式有意义.   分式的值为‎0‎A=0且这两个条件缺一不可. (2)最简分式:‎ ‎   如果一个分式的分子、分母没有公因式,那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式).如果一个分式的分子、分母有公因式,那么可根据分式的基本性质,用分子、分母的公因式去除分子和分母,将分式化成最简分式,或者化成整式,这就是约分. (3)分式的基本性质:    (4)分式的运算:   ①分式的加减: ,.   ②分式的乘除:,.   ③分式的乘方:. 4.二次根式: (1)二次根式的概念:   式子叫做二次根式.是一个非负数. (2)二次根式的性质:    (3)最简二次根式:   ①被开方数不含分母;   ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. (4)二次根式的运算:   ①二次根式的乘除:       ②二次根式的加减:    二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. ‎ 四、规律方法指导   对于整式、分式、二次根式等内容,中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查,旨在让我们探索灵活、简捷的解法,提高分析问题的能力.因此,在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想,提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.‎ 经典例题透析 类型一、整式的有关概念及运算 1.同类项   1.(1)(2010湖南衡阳)若3sm+5y2与x3yn的和是单项式,则nm______________.     (2)若单项式是同类项,则的值是(  )   A、-3    B、-1    C、    D、3 2.整式的运算及整式乘法公式的运用   2.(1) (2010湖北咸宁)下列运算正确的是 ( )   A.    B.    C.    D.   (2)下列各式中正确的是(  )   A.    B.a2·a3=a6    C.(-‎3a2)3=-‎9a6    D.a5+a3=a8   3.计算:(a2+3)(a-2)-a(a2‎-2a-2)     4.利用乘法公式计算:   (1)(a+b+c)2 (2)(‎2a2-3b2+2)(2‎-2a2+3b2)        举一反三   【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式,那么m=______.      【变式2】设,则 ‎=__________.     【变式3】用相同的方法可以求, 等的值.   ‎ ‎【变式4】若a2+‎3a+1=0,求的值.   ‎ ‎ 类型二、因式分解   5.因式分解:   (1)(2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )   A.    B.    C.    D.  ‎ ‎     (2)①‎3a3‎-6a2+‎12a; ②(a+b)2-1; ③x2-12x+36; ④(a2+b2)2‎-4a2b2    ‎ ‎  举一反三   【变式1】因式分解:   (1);(2);(3).   ‎ 类型三、分式的意义及运算 ‎ ‎1.分式的意义及分式值为零  6.(1)(2010湖北荆州)分式 的值为0,则( )   A.x=-1    B.x=1    C.x=±1    D.x=0   (2)(2010山东聊城)使分式无意义的x的值是( )   A.x=    B.x=    C.   D.   (3)当x取何值时,分式 有意义?分式的值等于零?  ‎ 举一反三   【变式1】已知x=-2时,分式无意义;当x=4时,分式值为0,则a+b=______________.   ‎ ‎2.分式的运算   7.(1)(2010 重庆)先化简,再求值: , 其中.‎ ‎   (2)计算.   ‎ ‎  举一反三   【变式1】先化简,再求值:   ,其中满足.   ‎ ‎  【变式2】先化简,再求值:()÷,其中x=2005  ‎ ‎【变式3】有这样一道题:“计算:的值,其中.”甲同学把“”错抄成“”,但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事?   ‎ ‎   【变式4】已知x、y是方程组的解,求代数式的值.       ‎ ‎ 类型四、二次根式的有关概念及运算 ‎   8.(1)(2010湖北襄樊)下列说法错误的是( )   A.的平方根是±2    B.是无理数   C.是有理数      D.是分数      (2)下列二次根式中属于最简二次根式的是( )   A.   B.   C.   D.   ‎ ‎   9.化简:(1); (2); (3).   思路点拨:二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简,要注意使二次根式有意义的条件,在允许的取值范围内进行化简.    (2)    ‎ 举一反三   【变式1】化简:,其中.   ‎ 类型五、代数式的综合应用   10.(1)(2010 四川自贡)已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是( )。   A.3    B.5    C.15    D.25   (2)若代数式2x2+3x+7的值为8,则代数式4x2+6x-9的值是( )   A.2    B.-17    C.-7‎ ‎    D.7   ‎ ‎   11.已知:a,b为实数,下列各式中一定为正值的是( )   A.a2‎-2a+2    B.    C.a2+b2    D.(a-1)2+|b+2|  ‎ ‎   12.现规定一种运算:,其中、为实数,则等于( )   A.    B.    C.    D.   ‎ 探索规律   13.观察下列顺序排列的等式:   9×0+1=1   9×1+2=11   9×2+3=21   9×3+4=31   9×4+5=41   ……   猜想第n个等式(n为正整数)应为_______.   分析:此题观察规律并不难,但要注意n的取值,n为正整数,为了便于观察,我们可以象以下写法:   第1行 9×0+1=1   第2行9×1+2=11   第3行 9×2+3=21   第4行9×3+4=31   第5行9×4+5=41   ……‎ ‎   第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.   综合应用   14.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a,b,c,d,且a2+ab-ac-bc=0, b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是( ).   A.平行四边形    B.矩形    C.菱形    D.梯形      举一反三   【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图,每块地砖的长、宽分别为a、b,则图中阴影部分的面积为___.  ‎ ‎  15.(扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下:首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,由1到n排序,第1所民办学校得奖金元,然后再将余额除以n发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.   (1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金;   (2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1),试用k、n和b表示(不必证明);   (3)比较和的大小(k=1,2 ,……,),并解释此结果. ‎ 中 考 题 萃 考点一:幂的运算、整式运算 ‎1. (2010山西).下列运算正确的是( )   A.(a-b)2=a2-b2     B.(-a2)3=-a6    C.x2+x2=x4    D.‎3a3·‎2a2=‎6a6 2. (2010黄冈)下列运算正确的是( )   A.  B.    C.    D.‎ ‎3.(成都市)下列运算正确的是( )   A.    B.    C.    D.   4.(湖北咸宁)化简的结果为( )   A.    B.    C.    D.   5.(东莞市)下列式子中是完全平方式的是( )   A.   B.    C.    D.   6.(河北省)计算:=_________.   7.(河北省)(3分)若,则的值为__________.   8.(北京)(5分)已知,求代数式的值.   9.(南昌市)先化简,再求值:   , 其中. 考点二:因式分解   1. (2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是   A.    B.    C.    D.   2.(北京)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )   A.    B.    C.    D.   3.(龙岩市)分解因式:______________.   4.(贵阳市)分解因式:_______________.   5.(福州)因式分解:_____________.   6.(上海市)分解因式:___________.‎ ‎   7.(2010广东广州)因式分解:3ab2+a2b=_______. 考点三:分式的意义及运算   1.(宜宾市)若分式的值为0,则x的值为(  )   A. 1    B. -1    C. ±1    D.2   2. (2010 黄冈)化简:的结果是(  )   A.2  B.  C.  D.   3.(巴中市)当__________时,分式无意义.   4.(上海市)化简:__________.   5.(北京)计算:.   6.(2010四川凉山)若,则__________。 考点四:二次根式   1.(湖北省荆州市)下列根式中属最简二次根式的是(  )   A.    B.    C.    D.   2. (2010广东茂名)若代数式有意义,则的取值范围是   A.    B.   C.        D.   3.(芜湖市)估计的运算结果应在(  )   A.6到7之间    B.7到8之间    C.8到9之间    D.9到10之间   4. (2010 四川成都)若为实数,且,则 的值为___________.   5.(安徽省)化简=_________.   6.(宁夏回族自治区)计算:=________. 考点五:代数式的综合运用   1.(茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是(  )      A.    B.    C.    D.   2.(北京)(4分)若,则m+2n的值为(  )   A.-4    B.-1    C.0    D.4   3.(山东淮坊)代数式的值为9,则的值为(  )   A.7    B.18    C.12    D.9 4.(宁夏)某市对一段全长‎1500米的道路进行改造.原计划每天修米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多‎35米,那么修这条路实际用了___ 天.   5.(成都市)(3分)已知,那么的值为__________.   6.(南宁市)计算:   7.(沈阳市)计算:.   8.(泰州市)先化简,再求值:,其中.   9.(山东烟台)有意道题:“先化简,再求值:,其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”,但他的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事.   10.(2010四川达州)如图2,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为(‎ ‎ )   A.     B.   C.     D.               考点六:探究归纳   1.(安徽省)探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:        当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;   当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1,,2,,2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.   (1)观察图形,填写下表:‎ 钉子数(n×n)‎ S值 ‎2×2‎ ‎2‎ ‎3×3‎ ‎2+3‎ ‎4×4‎ ‎2+3+( )‎ ‎5×5‎ ‎( )‎ ‎  (2)写出(n-1)×(n-1)和n×‎ n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可)   (3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.   2. (2010广东茂名)用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第n个“口”字需用棋子 ( )        A.4n枚   B.(4n-4)枚   C.(4n+4)枚   D. n2枚 ‎
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